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相关试卷

1、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2^{n + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{(n + 3) \cdot 2^{n - 1}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = {log}_{2} \frac{a_{n}}{n + 1}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ．

(1)、证明： $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 为等差数列，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，求 $[\sum_{k = 1}^{2025} \frac{1}{\sqrt{c_{k}}}]$ ．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是边长为6的正三角形， $E$ ， $F$ 分别是线段 $A B$ 和 $P D$ 上的点， $A E = 4$ .

(1)、试确定点 $F$ 的位置，使得 $A F / /$ 平面 $P E C$ ，并证明；

(2)、若直线 $C F$ 与平面 $P A D$ 所成角的正切值为 $\frac{3}{2}$ ，求平面 $A B C$ 与平面 $A F C$ 夹角的余弦值.

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3、设函数 $f (x) = \ln x + \ln (2 - x) + a x$ $(a > 0)$ ．
（1）当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若 $f (x)$ 在 $(0, 1]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$ ，求 $a$ 的值．

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4、若 $f (x) = \frac{9^{x}}{9^{x} + 3}$ ，则 $f (- 3) + f (- 2) + f (- 1) + f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4) =$ ．

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5、设函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3} + a x$ ，则（）

A、当 $a = - 3$ 时， $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上单调递增 B、当 $a \geq 0$ 时， $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递增 C、当 $a = 0$ 时，直线 $y = 0$ 不是 $y = f (x)$ 的切线 D、对 $\forall a \in R$ ，点 $(1, f (1))$ 是 $y = f (x)$ 的对称中心

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6、已知定义域为R的奇函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) > f (x)$ .若 $a = \frac{f (- \log_{2} 3)}{- \log_{2} 3}, b = \frac{f (\log_{4} 6)}{\log_{4} 6}, c = \frac{f (\sin \frac{π}{8})}{\sin \frac{π}{8}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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7、函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x}{e^{x}}$ 的大致图象是

A、 B、 C、 D、

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8、若 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数，且 $f^{'} (a) = - 1$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (a + Δ x) - f (a)}{2 Δ x} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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9、对于一组向量 $\vec{a_{1}}$ ， $\vec{a_{2}}$ ， $\vec{a_{3}}$ ， ……， $\vec{a_{n}}$ ，（ $n \in N$ 且 $n \geq 3$ ），令 $\vec{S_{n}} = \vec{a_{1}} + \vec{a_{2}} + \vec{a_{3}} + \dots + \vec{a_{n}}$ ，如果存在 $\vec{a_{p}}$ （ $p \in \{1, 2, 3, \dots, n\}$ ），使得 $|\vec{a_{p}}| \geq |\vec{S_{n}} - \vec{a_{p}}|$ ，那么称 $\vec{a_{p}}$ 是该向量组的“长向量”.

(1)、设 $\vec{a_{n}} = (n, x + 2 n)$ ， $n \in N$ 且 $n > 0$ ，若 $\vec{a_{3}}$ 是向量组 $\vec{a_{1}}$ ， $\vec{a_{2}}$ ， $\vec{a_{3}}$ 的“长向量”，求实数x的取值范围；

(2)、若 $\vec{a_{n}} = (\sin \frac{n π}{2}, \cos \frac{n π}{2})$ ， $n \in N$ 且 $n > 0$ ，向量组 $\vec{a_{1}}$ ， $\vec{a_{2}}$ ， $\vec{a_{3}}$ ， ……， $\vec{a_{7}}$ 是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；

(3)、若对于一组向量 $\vec{a_{1}}$ ， $\vec{a_{2}}$ ， $\vec{a_{3}}$ ， ……， $\vec{a_{n}}$ （ $n \in N$ 且 $n \geq 3$ ），记 $T = \{\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}, \vec{a_{3}}, \dots, \vec{a_{n}}\}$ 已知T中的每一个向量都为该向量组的“长向量”，求证： $\vec{a_{1}} + \vec{a_{2}} + \dots + \vec{a_{n}} = \vec{0}$ .

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10、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (b, a + c)$ ， $\vec{n} = (b - c, c - a)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、若边 $a = 8$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6$ ， $∠ B A C$ 的平分线交BC边于点D.求AD的长；

(2)、若E为BC边上任意一点， $A E = 1$ ， $\frac{B E}{E C} = \frac{2 c}{b}$ .
（ⅰ）用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A E}$ ；
（ⅱ）求 $2 b + c$ 的最小值.

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11、如图，正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S A = 4$ ， $A B = 2$ ， E为SC中点.

(1)、求证： $S A ∥$ 平面BDE；

(2)、求该正四棱锥的外接球的表面积；

(3)、求三棱锥 $E - B C D$ 的表面积和体积.

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12、如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $C C_{1}$ 的中点，过A， $D_{1}$ ， E三点的平面 $α$ 与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.

(1)、在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）；

(2)、平面 $α$ 将正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 分成两部分，求这两部分的体积之比 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ （其中 $V_{1} \leq V_{2}$ ）；

(3)、若点P是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的动点，且 $A_{1} P ∥ α$ ，当 $A_{1} P$ 最小时，求 $A_{1} P$ 长度的最小值.

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13、在 $Δ A B C$ 中，已知 $A = 15^{\circ}$ ， $B = 45^{\circ}$ ， $c = 3 + \sqrt{3}$ ，解这个三角形．

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14、在圆内接四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A D = 3$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ .则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的值为.

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15、如图，为了测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得 $∠ B C D = 30 °$ ， $∠ B D C = 105 °$ ， $C D = 20 m$ ，在点C处测得塔顶A的仰角为 $60 °$ ，则塔高 $A B =$ $m$ ．

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16、若3+2i是关于x的方程2x²+px+q=0的一个根，则q的值是.

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17、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 1$ ， $A B = B C = \sqrt{3}$ ， $\cos ∠ A B C = \frac{1}{3}$ ，点D是 $A_{1} C_{1}$ 的中点，点P为线段 $A_{1} B$ 上的一个动点，下列说法正确的是（）

A、平面 $B_{1} C D$ 与底面ABC的交线平行于 $B_{1} D$ B、三棱锥 $P - B_{1} C D$ 的体积为定值 C、直线 $A_{1} B$ 与直线CD可能相交 D、 $A P + P C_{1}$ 的最小值为 $\sqrt{7}$

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18、欧拉公式： $e^{i θ} = cosθ + i sinθ (i$ 是虚数单位， $e = 2.718 \dots$ ， $θ \in R)$ 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令 $θ = π$ 可得 $e^{i π} + 1 = 0$ .它又将自然界中的两个重要的无理数 $π$ 和 $e$ 、实数单位 $1$ 、虚数单位 $i$ 以及复数中的 $0$ 巧妙地结合在一起 $.$ 被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等 $.$ 下列关于欧拉公式的叙述正确的有（）

A、 $e^{2025 π i} - 1 = 0$ B、复数 $e^{3 i}$ 对应的点位于第二象限 C、 $|e^{x i}| = 1$ D、 $\bar{(e^{i θ})} = e^{\bar{i θ}}$

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19、在锐角 $△ A B C$ 中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $c = b (1 + 2 cos A)$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是（）

A、 $(1, \sqrt{3})$ B、 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ C、 $(\sqrt{2}, 2)$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

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20、如图，两个底面半径相同的圆锥组合的一个几何体，若底面圆的半径为1，两个圆锥的母线长分别为 $2, \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则该几何体内切球的半径为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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