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1、函数 $f (x) = x^{3} + a x + b (a, b \in R)$ 在点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线分别记为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，且 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，过点 $A$ 作 $y$ 轴的平行线与 $l_{2}$ 交于点 $C$ ，则 $\frac{|A C|}{{|x_{1} - x_{2}|}^{3}} =$ .

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2、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点 $E$ ， $F$ 在 $B C$ 边上且 $\vec{B E} = λ \vec{B C}$ ， $\vec{B F} = μ \vec{B C}$ .

(1)、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A E}$ ，并求线段 $A E$ 的长；

(2)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ， $μ = \frac{2}{3}$ ，求 $\cos ∠ E A F$ 的值.

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3、已知 $m \in R$ ，复数 $z_{1} = (m^{2} + m) + (m^{2} - 1) i$ ， $z_{2} = 2 m + i$ .

(1)、若 $z_{1} - z_{2}$ 在复平面内对应的点位于第三象限，求 $m$ 的取值范围；

(2)、设 $O$ 为坐标原点， $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $A$ ， $B$ （不与 $O$ 重合），若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，求 $| z_{1} - \bar{z_{2}} |$ .

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4、如图，菱形 $A B C D$ 的边长为6， $\vec{D E} = \frac{1}{4} \vec{D C}$ ， $\vec{C F} = \frac{3}{4} \vec{C B}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围为．

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5、如图，某直径为 $5 \sqrt{5}$ 海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里， $\cos ∠ B A D = - \frac{4}{5}$ .则小岛B与小岛D之间的距离为海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为平方海里.

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6、在以 $O$ 为顶点的三棱锥中，过 $O$ 的三条棱两两的交角都是 $30 °$ ，在一条侧棱上有 $A$ ， $B$ 两点， $O A = 4$ ， $O B = 3$ ，以 $A$ ， $B$ 为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），则此绳在 $A$ ， $B$ 之间的最短绳长为.

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7、已知函数 $f (x) = \log_{a} (x - 1) (a > 0, a \neq 1)$ ， $g_{1} (x) = f (|x|)$ ， $g_{2} (x) = |f (x)|$ ， $g_{3} (x) = |f (|x|)|$ ，下列选项中正确的有（）

A、函数 $g_{1} (x)$ 、 $g_{2} (x)$ 、 $g_{3} (x)$ 都是偶函数 B、若 $g_{1} (x_{1}) = g_{1} (x_{2}) = a$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{2} - x_{1} > 4$ C、若 $g_{2} (x_{1}) = g_{2} (x_{2}) = a$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}}$ + $\frac{1}{x_{2}}$ =1 D、若 $g_{1} (x_{1}) = g_{3} (x_{2}) = g_{2} (x_{3}) = g_{3} (x_{4}) (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} + \frac{1}{x_{4}} = 0$

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8、窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形 $A B C D E F G H$ 的边长为 $\sqrt{2}, P$ 是正八边形 $A B C D E F G H$ 边上任意一点，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{B G} = (\sqrt{2} + 1) \vec{A H}$ B、 $\vec{A D}$ 在 $\vec{A B}$ 向量上的投影向量为 $(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) \vec{A B}$ C、若 $\vec{O A} \cdot \vec{F C} = (1 + \sqrt{2}) \vec{P A} \cdot \vec{E D}$ ，则P为 $E D$ 的中点 D、若P在线段 $B C$ 上，且 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A H}$ ，则 $x + y$ 的取值范围为 $[1, 2 + \sqrt{2}]$

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9、设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1}$ 是纯虚数，则 $z_{1}^{2} < 0$ B、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ C、若 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ ，则 $|z_{1}| = |\bar{z_{2}}|$ D、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = z_{2} \cdot \bar{z_{2}}$

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{- x}, x \leq 0 \\ \frac{1}{x} - x, x > 0 \end{array}$ ， $g (x) = f (x) - x - a$ ．若 $g (x)$ 有2个零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- 1, 0)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $[- 1, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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11、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (t, 2 \sqrt{2} - t)$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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12、如图，已知点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，过点 $G$ 作直线分别与 $A B$ ， $A C$ 两边交于 $M$ ， $N$ 两点，设 $\vec{A M} = x \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = y \vec{A C}$ ，则 $x + 9 y$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、4 C、 $\frac{16}{3}$ D、3

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13、若向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 2)$ 与 $\overset{⃑}{b} = (t - 1, \frac{3}{2} t)$ 的夹角为锐角，则t的取值范围为（）

A、 $(4, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{1}{4})$ D、 $(\frac{1}{4}, 4) \cup (4, + \infty)$

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14、 $\sqrt{2} \cos 75 ° \cos 45 ° - \sqrt{2} \sin 75 ° \sin 45 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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15、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120 °$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120 °$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120 °$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面的问题：

(1)、若 $△ A B C$ 是边长为的6等边三角形，求该三角形的费马点 $O$ 到各顶点的距离之和；

(2)、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{a}{b} = \sin A$ ，点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点．
（i）若 $a c = 4 \sqrt{3}$ ，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ；
（ii）求 $\frac{| P A | + | P C |}{| P B |}$ 的最小值．

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16、陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为 $16 {πcm}^{2}$ 的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点 $S$ 在该球的球面上.

(1)、若圆柱的高为 $2 cm$ ，求该陀螺的体积及表面积；

(2)、规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面 $D C$ 距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 \sin B - \sin C = 2 \sin A \cos C$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18、已知复数 $z = (m^{2} - 1) + (m - 1) i (m \in R)$

(1)、若复数 $z$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、已知 $- 3 + 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，其中 $p$ ， $q \in R$ ，求 $p + q$ 的值．

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19、如图1，这是清风楼，位于河北省邢台市，始建于唐、宋年间，是邢台市地标性建筑之一，也是邢台历史人文的一个缩影．某数学兴趣小组成员为测量清风楼的高度，在与楼底 $O$ 位于同一水平面上共线的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三处进行测量，如图2．已知在 $A$ 处测得塔顶 $P$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $B$ 处测得塔顶 $P$ 的仰角为 $45 °$ ，在 $C$ 处测得塔顶 $P$ 的仰角为 $60 °$ ， $B C = A B = 22$ 米，则清风楼的高度 $O P =$ ．

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20、已知向量 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 2$ ， $| \overset{⇀}{b} | = \sqrt{3}$ ，且 $(\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为.

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