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相关试卷

1、已知二次函数 $f (x)$ 的最小值为1，且 $f (0) = f (2) = 3$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[2 a, a + 1]$ 上不单调，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $x \in [t, t + 2]$ ，试求 $y = f (x)$ 的最小值.

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2、2021年8月3日，旅居法国的中国大熊猫欢欢，在法国博瓦勒动物园顺利地产下了一对双胞胎，暂时取名为“棉花”和“小雪”.为了让妈妈更好地喂养两个小幼崽，动物园决定在原来的矩形居室 $A B C D$ 的基础上，拓展建成一个更大的矩形居室 $A M P N$ ，使活动的空间更大.为不影响现有的生活环境，建造时要求点B在 $A M$ 上，点D在 $A N$ 上，且对角线 $M N$ 过点C，如图所示.已知 $A B = 6 m, A D = 4 m$ .设 $D N = x m$ （单位： $m$ ），矩形 $A M P N$ 的面积为 $y m^{2}$ .

(1)、写出y关于x的表达式，并求出x为多少米时，y有最小值；

(2)、要使矩形 $A M P N$ 的面积大于 $128 m^{2}$ ，则 $D N$ 的长应在什么范围内？

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3、已知函数 $f (x) = m + \sqrt{x + 2}$ ，若存在实数a， $b (a < b)$ ，使 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的值域为 $[a, b]$ ，则实数m的取值范围是．

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4、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别由下表给出，则方程 $g [f (x)] = 3$ 的解集为.
x 1 2 3
$f (x)$ 1 3 1
x 1 2 3
$g (x)$
3 2 1

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5、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})] > 0$ 成立，且 $f (4) = 2$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x} > \frac{1}{2}$ 的解集为（）

A、 $(4, + \infty)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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6、函数 $y = \frac{x}{1 + x}$ 在区间 $[2, 4]$ 上的最大值､最小值分别为（）

A、最大值为 $\frac{5}{4}$ ，最小值为 $\frac{2}{3}$ B、最大值为 $\frac{4}{5}$ ，最小值为 $\frac{2}{3}$ C、最大值为1，最小值为 $\frac{1}{3}$ D、最大值为 $\frac{4}{5}$ ，最小值为 $\frac{1}{3}$

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7、不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $\{x |- \frac{1}{2} < x < 3\}$ ，则不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集为（）．

A、 $\{x | x < - 2 或 x > \frac{1}{3}\}$ B、 $\{x |- 2 < x < \frac{1}{3}\}$ C、 $\{x |- \frac{1}{3} < x < 2\}$ D、 $\{x | x < - \frac{1}{3} 或 x > 2\}$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \{\begin{cases} 3 n - 1, n 为奇数 \\ {(- 2)}^{n}, n 为偶数 \end{cases}$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{6} = 17$ B、 $a_{4} > a_{5}$ C、 $S_{5} = 42$ D、 $S_{6} > S_{5}$

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9、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为2，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列，则 $S_{10} =$ （）

A、10 B、8 C、0 D、 $- 6$

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10、下列四组函数中表示同一个函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}, g (x) = x + 1$ B、 $f (x) = x^{2}, g (x) = {(x + 1)}^{2}$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (x) = |x|$ D、 $f (x) = 0, g (x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x}$

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11、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x + \sqrt{3} sin x cos x$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期；
（Ⅱ）若 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, m]$ 上的最大值为 $\frac{3}{2}$ ，求 $m$ 的最小值.

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12、不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对 $A, B$ 两款不同 $A I$ 大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

甲学院
乙学院

使用
不使用
使用
不使用
A款
40人
80人
60人
20人
$B$ 款
70人
50人
30人
50人
假设所有学生对 $A, B$ 两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率．

(1)、分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率；

(2)、从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用 $A$ 款大模型的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ；

(3)、从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用 $B$ 款大模型的人数为 $Y_{1}$ ，其方差估计值为 $D (Y_{1})$ ，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用 $B$ 款大模型的人数为 $Y_{2}$ ，其方差估计值为 $D (Y_{2})$ ，比较 $D (Y_{1})$ 与 $D (Y_{2})$ 的大小．

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13、若命题“ $\forall x \in R, x^{2} + a + 1 \neq 0$ ”的否定是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14、已知集合 $A = \{1, 2\}, B = \{x |- 1 < x < 6, x \in N\}$ ，则满足条件 $A ⫋ C \subseteq B$ 的集合C的个数为（）

A、3 B、5 C、7 D、15

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15、已知 $x < 0, 0 < y < 1$ ，则（）

A、 $x y^{2} < x y < x$ B、 $x y < x < x y^{2}$ C、 $x < x y < x y^{2}$ D、 $x y^{2} < x < x y$

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16、已知空间向量 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - 2, 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是.

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，点 $O$ 为坐标原点，过 $C$ 的右焦点的直线 $l$ 交 $C$ 的右支于 $P, Q$ 两点，当 $l ⊥ x$ 轴时， $|P Q| = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P$ 作直线 $x = 1$ 的垂线，垂足为 $N$ .
①证明：直线 $Q N$ 过定点；
②求 $△ O Q N$ 面积的最小值.

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18、将函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象.若 $g (x)$ 的图象关于y轴对称，则 $|φ|$ 的最小值为.

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19、已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x - 1}} - a x - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a \leq - 1$ B、若 $0 < a < 2$ ，设 $f (x) > a - 1$ 的解集为 $(m, n)$ （ $n > m$ ），则 $n - m > 2$ C、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{2} > 2 x_{1}$ ，则 $a \in (- \frac{e \ln 2}{2}, 0)$ D、若 $a = 1$ ，则过 $(0, 3)$ 仅能做曲线 $y = f (x)$ 的一条切线

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x, x > 0 \\ ln (- x + 1) + 3, x \leq 0 \end{array}$ ，函数 $g (x) = f (f (x)) - m$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $m = 0$ ，则 $g (x)$ 有1个零点 B、若 $m = 3$ ，则 $g (x)$ 有6个零点 C、若 $g (x)$ 有5个零点，则 $m$ 的取值范围为 $(0, 3)$ D、 $g (x)$ 一定有零点

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	甲学院		乙学院
	使用	不使用	使用	不使用
A款	40人	80人	60人	20人
$B$ 款	70人	50人	30人	50人

x	1	2	3
$f (x)$	1	3	1
x	1	2	3
$g (x)$	3	2	1