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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $A D = 1, A B = 2$ ， $△ P A D$ 为等边三角形， $P A ⊥ C D$ ．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

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2、已知正整数 $n$ ，欧拉函数 $φ (n)$ 表示 $1$ 、 $2$ 、 $\dots$ 、 $n$ 中与 $n$ 互质的整数的个数，例如， $φ (4) = 2$ ， $φ (10) = 4$ ，且 $a$ 、 $b$ 互质时， $φ (a b) = φ (a) φ (b)$ ．若从 $1$ 、 $2$ 、 $\dots$ 、 $10$ 中随机取一个数 $m$ ，则满足 $φ (2 m) = φ (3 m)$ 的概率为．

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3、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过 $F_{2}$ 与 $C$ 长轴垂直的直线交 $C$ 于 $P, Q$ 两点， $P F_{1}$ 交 $y$ 轴于 $M$ 点，若 $|Q M| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ P Q F_{1}$ 的周长为．

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4、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的均值为10，则样本数据 $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1, \dots, 2 x_{n} - 1$ 的均值为．

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5、三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D = 2 \sqrt{3}, A B = B C = C D = 2, A B ⊥ B C, B C ⊥ C D$ ，则（）

A、三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ B、三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为 $3 π$ C、过 $B C$ 中点 $E$ 的平面截三棱锥 $A - B C D$ 外接球所得最小截面的半径为1 D、当 $P \in A C, Q \in B D$ 时， $| P Q |$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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6、设函数 $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有3个零点 B、过原点作曲线 $y = f (x)$ 的切线，有且仅有一条 C、 $y = f (x)$ 与 $y = a x - 2$ 交点的横坐标之和为0 D、 $f (x)$ 在区间 $(- 2, 2)$ 上的取值范围是 $[- 4, 0)$

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7、已知 $a > b > c$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{1}{a - c} < \frac{1}{a - b}$ B、 $a b^{2} > c b^{2}$ C、 $a + b > c$ D、 $a^{2} + c^{2} > b^{2}$

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8、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 为 $C$ 左支上一点，满足 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ， $P F_{2}$ 与 $C$ 的右支交于点 $Q$ ，若 $∠ F_{1} Q F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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9、已知 $\sin α = 2 \cos β, \sin β = 3 \cos α$ ，若向量 $\vec{m} = (\tan α + \tan β, \tan (α + β))$ 与向量 $\vec{n} = (1, λ)$ 互相垂直，则 $λ =$ （）

A、 $- \frac{32}{9}$ B、 $\frac{32}{9}$ C、5 D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10、已知随机变量 $ξ ~ N (0, \frac{2}{a})$ ，为使 $ξ$ 在 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 内的概率不小于 $0.9545$ （若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (|X - μ| < 2 σ) = 0.9545$ )，则 $a$ 的最小值为（）

A、8 B、16 C、32 D、64

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11、将函数 $f (x) = \sin (2 x + φ), (|φ| < \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象．若 $g (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ =$ （）

A、 $- \frac{π}{12}$ B、 $- \frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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12、已知 $\{a_{n}\}$ 为正项等差数列，若 $4 a_{3} - a_{7} = 8$ ，则 $a_{1} a_{3}$ 的最大值为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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13、已知实数 $x, y$ 满足 $\log_{2} (\log_{3} x) = \log_{3} (\log_{2} y) = 1$ ，则 $x + y =$ （）

A、11 B、12 C、16 D、17

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14、若复数 $z_{1} = i, z_{2} = 2 - i$ ，则 $\frac{z_{1} + z_{2}}{z_{1} z_{2}}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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15、已知集合 $A = \{x |(x + 1) (x - 3) \leq 0\}, B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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16、若数列中某相邻三项成等差数列，则称该三项为“等差组”；若数列中某相邻三项成等比数列，则称该三项为“等比组”.现有一个12项的正项数列 $\{a_{n}\} : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{12}$ ，其共有10组相邻三项，记第 $i$ 组相邻三项为 $A_{i} = (a_{i}, a_{i + 1}, a_{i + 2}), i = 1, 2, \dots, 10$ .

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ ，
① $A_{1}$ 为“等差组”， $A_{2}$ 为“等比组”，求 $a_{4}$ ；
② $A_{1}$ 为“等比组”， $A_{2}$ 为“等差组”，求 $a_{4}$ .

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{4} = 4$ ，且 $A_{i} (i = 1, 2, \dots, 10)$ 为“等差组”或“等比组”，求满足条件的数列 $\{a_{n}\}$ 的个数；

(3)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ ，且 $A_{i} (i = 1, 2, \dots, 10)$ 中恰有5组“等差组”和5组“等比组”，求 $a_{12}$ 的最大可能值.

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17、已知 $F$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，椭圆离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，且椭圆上任意一点与点 $F$ 距离的最大值为3.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、点 $M (x_{1}, y_{1}) (x_{1} > 0, y_{1} > 0)$ 在椭圆 $E$ 上，椭圆在点 $M$ 处的切线 $l : \frac{x x_{1}}{4} + \frac{y y_{1}}{3} = 1$ 交 $x$ 轴于点 $P$ .
①求 $|F P| - 4 |F M|$ 的最小值；
②设 $A_{1}, A_{2}$ 分别为椭圆 $E$ 的左､右顶点，不垂直 $x$ 轴的直线 $M F$ 交椭圆于另一点 $N$ ，直线 $N A_{1}$ 与直线 $M A_{2}$ 交于点 $Q$ ，问直线 $M N$ 与直线 $P Q$ 的交点 $R$ 是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.

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18、已知函数 $f (x) = x (e^{x - 1} - 1)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 图象在点 $(1, 0)$ 处的切线方程；

(2)、若不等式 $f (x) \geq ln x + a x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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19、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形， $A D$ $∥$ $B C, A B ⊥ A D, B C = 2, A B = A D = A P = 1$ ， $△ A P B$ 是等腰直角三角形， $E$ 为棱 $P C$ 上一点.

(1)、当 $E$ 为 $P C$ 中点时，求证： $E D$ $∥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $P D = \sqrt{3}$ ，当 $C E = 2 E P$ 时，求平面 $E B D$ 与平面 $C B D$ 夹角的余弦值.

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20、 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对应的边分别为 $a, b, c, A + B = 2 C, a cos (C - A) = b cos C + c cos B$ ，

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若点 $D$ 在边 $A C$ 上， $B D = \frac{2 \sqrt{7}}{3}$ 且 $cos ∠ B D C = - \frac{\sqrt{7}}{14}$ ，求 $△ B C D$ 的面积.

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