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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 120 °$ ， $P A = A B = 2$ ， $P B = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、若平面 $A C E$ 与棱 $P D$ 交于点 $E$ ，且 $P B / /$ 平面 $A C E$ ，求证： $E$ 是 $P D$ 中点；

(2)、若 $F$ 是棱 $P D$ 上一点，且满足 $\frac{P F}{P D} = \frac{2}{3}$ ，当 $B D ⊥ P C$ 时，求 $P C$ 与平面 $A C F$ 所成角的正弦值.

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{x}, 0 < x \leq 1, \\ x - 1, x > 1. \end{array}$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = m (m > 0)$ ， $a_{n + 1} = f (a_{n})$ .
给出下列四个结论：
①若 $a_{3} = 3$ ，则 $m$ 有3个不同的可能取值；
②若 $m = \sqrt{2} - 1$ ，则 $a_{n + 3} = a_{n} (n \in N^{*})$ ；
③对于任意 $m > 2$ ，存在正整数 $T$ ，使得 $a_{n + T} = a_{n} (n \in N^{*})$ ；
④对于任意大于2的正整数 $T$ ，存在 $m > 1$ ，使得 $a_{n + T} = a_{n} (n \in N^{*})$ ；
其中所有正确结论的序号是.

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3、在 $△ A B C$ 中， $2 b = 3 c$ ， $∠ A = 2 ∠ C$ ，则 $\cos C =$ .

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4、已知直线 $l$ ： $y = k x - 1$ 与圆 $O$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 有两个交点，则 $k$ 可以是.（写出满足条件的一个值即可）

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5、若 ${(1 - 2 x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{n} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{0} =$ ； $a_{1} + a_{3} + a_{5} =$ .

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6、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且过点 $M (2, \sqrt{3})$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为.

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7、已知直线 $y = - x + 4$ 分别与函数 $y = 2^{x}$ 和 $y = {log}_{2} x$ 的图象交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，给出下列三个结论：① $2^{x_{1}} > x_{2}$ ；② $2^{x_{1}} + 2^{x_{2}} > 8$ ；③ $x_{1} \log_{2} x_{2} - x_{2} \log_{2} x_{1} > 0$ .其中正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于不同的两点A，B， $O$ 为坐标原点，直线 $B O$ 与 $l$ 交于点M，若 $|A F| = 2 |F B|$ ，则 $△ A B M$ 的面积等于（）

A、 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、2

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9、设 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，则“存在 $i > j > k$ ，使得 $a_{i} < a_{j} < a_{k}$ ”是“ $\{a_{n}\}$ 为递减数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为 $S F_{6}$ ，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为 $P - A B C D - Q$ ，各棱长均相等，则平面 $P A B$ 与平面 $Q A B$ 夹角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11、已知 $A (1, 0), B (0, 1), C (0, 3)$ ，点M满足 $\vec{M B} \cdot \vec{M C} = 0$ ，则 $|A M|$ 的可能取值是（）

A、4 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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12、在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等 $m$ 是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等 $m$ 和绝对星等M满足 $m - M = 5 \lg (\frac{d}{10})$ ，其中 $d$ 是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足 $m_{B} - m_{A} = 4$ ，则（）

A、 $M_{B} = M_{A} + 4$ B、 $M_{B} = M_{A} + 6$ C、 $M_{A} = M_{B} + 1$ D、 $M_{A} = M_{B} + 6$

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13、复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，且满足 $2 z + \bar{z} = 3 + i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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14、下列函数中，单调递增且值域为 $[0, + \infty)$ 的是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = \sqrt{x + 1}$ C、 $y = 3^{x - 1}$ D、 $y = \log_{2} x$

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15、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $\vec{b} = (1, 0)$ ， $|2 \vec{a} - \vec{b}| = 5$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、6 B、3 C、 $- 4$ D、 $- 2$

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16、已知集合 $U = \{x |x + 3 \geq 0\}$ ，集合 $A = \{x |- 2 < x < 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $[- 3, - 2) \cup (2, + \infty)$ B、 $[- 3, 2)$ C、 $[- 3, - 2] \cup [2, + \infty)$ D、 $[- 2, 3)$

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17、已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 为圆 $x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1$ 上的动点， $|P F|$ 的最大值为 $\frac{9}{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $M_{1} (1, \frac{1}{2})$ ，按照如下方式构造点 $M_{n} (n = 1, 2, 3, 4, \dots)$ ，设直线 $l_{n}$ 为 $C$ 在点 $M_{n}$ 处的切线，过点 $M_{n}$ 作 $l_{n}$ 的垂线交 $C$ 于另一点 $M_{n + 1}$ ，记 $M_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ．
①证明：当 $n \geq 1$ 时， $|M_{n} F| \geq 2 n - 1$ ；
②设 $△ M_{n} F M_{n + 1}$ 的面积为 $S_{n}$ ，证明： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{S_{k}^{2}} < \frac{3}{8}$ ．

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18、对集合 $A, B$ ，定义集合 $A △ B = \{x |x \in A, x \notin B 或 x \in B, x \notin A\}$ ，记 $|X|$ 为有限集合 $X$ 的元素个数．

(1)、若 $A = \{1, 2\}, B = \{2, 3, 4\}$ ，求 $A △ B$ ；

(2)、给定集合 $S = \{1, 2, 3, 4\}$ 的子集 $M$ ，求集合 $\{X |X \subseteq S, |X △ M| = 1\}$ 的元素个数；

(3)、设 $A, B, C$ 为有限集合，证明： $|A △ C| \leq |A △ B| + |B △ C|$ ．

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19、已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 2) x + \ln x$ ．

(1)、当 $a > 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + a x$ ，已知 $g (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ．
①求 $a$ 的取值范围；
②求证： $g (x_{1}) + g (x_{2}) < - 3$ ．

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20、体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表：

喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男生
40
$a$

女生
$b$
25

合计

100
已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为 $\frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？

(3)、用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为 $Z$ ，求使事件“ $Z = k$ ”概率最大的 $k$ 的值．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$α$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$x_{α}$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

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	喜爱足球运动	不喜爱足球运动	合计
男生	40	$a$
女生	$b$	25
合计			100

$α$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$6.635$	$7.879$	$10.828$