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相关试卷

1、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = n^{2} a_{n}$ .

(1)、求 $a_{3}$ ；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、证明： $S_{n} < a_{n} + n$ .

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2、已知函数 $f (x) = \frac{x}{\ln^{3} x} (x \neq 1)$

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、证明： $27 e^{x - 4} > \ln^{3} x$ .

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3、已知某早餐牛奶店甲推出了A和B两款新口味牛奶，另外一家早餐包子铺乙推出了一款新品包子C.且早餐牛奶店甲向某小区的一名用户配送A款新口味牛奶的概率为0.7，配送B款新口味牛奶的概率为0.5，同时配送A和B的概率为0.3；早餐包子铺乙向该用户配送新品包子C的概率为0.6，且甲店与乙店的配送结果互不影响.

(1)、在甲店没有向该用户配送A款新口味牛奶的条件下，求它向该用户配送B款新口味牛奶的概率；

(2)、求这两家店至少向该用户配送A、B、C中的一种的概率.

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4、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线交x轴于点Q，斜率为2的直线 $l$ 交 $C$ 于第一象限的点M，N，M在N的左侧，若第三象限内存在点P，满足 $\vec{P M} = \vec{M N}$ ，且 $\vec{P Q}$ 在 $\vec{M N}$ 上的投影数量为 $- \sqrt{5}$ ，则 $p$ 的取值范围为．（平面内向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影数量为 $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ ）

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5、已知函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 在 $x = 2$ 处的切线方程为 $5 x - y - 4 = 0$ ，则 $f (x)$ 的最小值为.

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6、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $6 a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $4 a_{2}$ 成等差数列，则其公比为.

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7、三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C = B C = P C = 6$ ， $P A = P B = 4$ ，其各顶点均在球O的表面上，则（）

A、 $P A ⊥ P B$ B、点A到平面 $P B C$ 的距离为 $\sqrt{14}$ C、二面角 $A - P C - B$ 的余弦值为 $- \frac{1}{6}$ D、球O的表面积为 $\frac{324}{7} π$

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8、已知甲组样本数据： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}$ ，乙组样本数据： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}}{4}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，且甲、乙两组样本数据的平均数相同，则（）

A、两组样本数据的样本中位数相同 B、两组样本数据的样本极差相同 C、两组样本数据的样本第30百分位数相同 D、两组样本数据的样本方差相同

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9、已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{18} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，则（）

A、 $E$ 的实轴长是虚轴长的9倍 B、 $E$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{3} x$ C、 $E$ 的焦距为4 D、 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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10、已知动点P到坐标原点O，x轴，y轴的距离之和为2，则 $|O P|$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{3} - 1, 1]$ B、 $[2 \sqrt{2} - 2, 1]$ C、 $[\sqrt{3} - 1, \sqrt{2}]$ D、 $[2 \sqrt{2} - 2, \sqrt{2}]$

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11、若 $x^{4} = a_{0} + a_{1} (1 + x) + a_{2} {(1 - x)}^{2} + a_{3} {(1 + x)}^{3} + a_{4} {(1 - x)}^{4}$ ，则 $a_{0} + 4 a_{2} =$ （）

A、-15 B、-2 C、2 D、15

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12、若复数 $z$ 满足 $\frac{z + 1}{\bar{z} + 1} = \frac{z + \bar{z}}{z - \bar{z}}$ ，则 $|z - \frac{1}{2}| =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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13、下列函数是奇函数且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的为（）

A、 $y = \frac{1}{x^{3}}$ B、 $y = 3^{x}$ C、 $y = \lg (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ D、 $y = \sin x$

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14、“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足 $v^{2} = \frac{4 H}{1 - H v^{2}}$ 的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（）

A、 $0.2$ 米 B、 $0.25$ 米 C、 $0.45$ 米 D、 $0.7$ 米

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15、已知向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ，则 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{a} - 2 \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{65}}{65}$ B、 $\frac{2 \sqrt{35}}{35}$ C、 $\frac{\sqrt{65}}{65}$ D、 $\frac{4 \sqrt{35}}{35}$

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16、已知集合 $A = \{x | |x - 1| > 1\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap N^{*} =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 2\}$

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17、函数 $f (x) = 2025 |\tan x|$ 的最小正周期是（）

A、 $2 π$ B、 $π$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4}$

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18、已知数列 $P$ ： $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n_{0}} (n_{0} \geq 3)$ 各项为正整数.对任意正整数 $k$ ，定义： $S_{k} (P) = card \{n |a_{n} \leq k\}$ ， $T_{k} (P) = card \{n |a_{n} \geq k\}$ ，其中 $card A$ 表示有限集 $A$ 中的元素个数，规定 $card \emptyset = 0$ .

(1)、对于数列 $P$ ：1，3，2，2，写出 $S_{1} (P)$ ， $S_{2} (P)$ ， $T_{3} (P)$ ， $T_{4} (P)$ 的值；

(2)、若数列 $P$ ： $a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n_{0}}$ 满足 $a_{i} \leq a_{i + 1} \leq a_{n_{0}} = m (1 \leq i \leq n_{0} - 1)$ .
（i）若 $S_{k} (P) = 2 k (1 \leq k \leq m)$ ，令 $P_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ ，当 $1 \leq n \leq 2 m$ 时，求 $P_{n}$ ；
（ii）求证： $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n_{0}}^{2} = T_{1} (P) + 3 T_{2} (P) + \cdot \cdot \cdot + (2 m - 1) T_{m} (P)$ .

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19、已知函数 $f (x) = 3 \sin x - x \cos x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、设 $g (x) = f^{'} (x)$ ，求证： $g (x)$ 是 $(0, π)$ 上的单调递减函数；

(3)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) < 2 x$ .

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20、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (- 2, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求 $E$ 的方程和短轴长；

(2)、直线 $l$ ： $y = k x + 1$ 与E相交于不同的两点B，C，直线 $A B$ ， $A C$ 分别与直线 $x = 4$ 交于点M，N.当 $|M N| = 6$ 时，求 $k$ 的值.

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