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相关试卷

1、已知函数 $y = e^{x}$ 的图象与函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称，则 $f (1) =$ （）

A、 $e$ B、 $\frac{1}{e}$ C、 $0$ D、 $1$

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2、已知复数为纯虚数 $z = \frac{a + i}{1 + i} (i$ 虚数单位 $)$ ，则实数 $a = ($ 　　 $)$

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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3、设集合 $M = \{x |x^{2} - x < 0\}, N = \{x |- 2 < x < 2\}$ ，则（）

A、 $M \cap N = \emptyset$ B、 $M \cap N = M$ C、 $M \cup N = M$ D、 $M \cup N = R$

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ，且点 $A (4, 3)$ 在双曲线 $C$ 上，

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 交 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点， $∠ P A Q$ 的平分线与 $x$ 轴垂直，求证： $l$ 的倾斜角为定值.

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5、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a (2 - cos B) = b (1 + cos A)$ .

(1)、证明： $b + c = 2 a$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} b c$ ，证明 $△ A B C$ 为等边三角形.

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6、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 为 $C$ 上的动点，点 $A (1, - 1)$ ，则 $\frac{|P F|}{|P A|}$ 取最小值时，直线 $P A$ 的斜率为.

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 4^{x} + 1, x \leq 1, \\ - {log}_{2} (x + 1), x > 1, \end{array}$ 则 $f (f (\frac{1}{2}))$ 的值为.

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8、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $P$ 在正方体的内切球表面上运动，且满足 $B P / /$ 平面 $A C D_{1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $B P ⊥ B_{1} D$ B、点 $P$ 的轨迹长度为 $π$ C、线段 $B P$ 长度的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\vec{B P} \cdot \vec{B C_{1}}$ 的最小值为 $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

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9、已知函数 $f (x) = cos x - sin (cos x) - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $2 π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上为增函数 D、 $f (x) < - \frac{\sqrt{2}}{2}$

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10、已知 $A$ ， $B$ 为随机事件，且 $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.4$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $A$ ， $B$ 互斥，则 $P (A \cup B) = 0.9$ B、若 $A$ ， $B$ 相互独立，则 $P (A \bar{B}) = 0.2$ C、若 $A$ ， $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) = 0.7$ D、若 $P (B ∣ A) = 0.5$ ，则 $P (B ∣ \bar{A}) = 0.3$

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11、已知 $F$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，直线 $y = \frac{4}{3} x$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $A F ⊥ B F$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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12、若圆 $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 y - 1 = 0$ 关于直线 $x + b y - 2 = 0$ 对称，其中 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4 a + 1}{b}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、4 D、 $2 + 2 \sqrt{5}$

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13、已知函数 $f (x) = sin ω x - \sqrt{3} cos ω x + \sqrt{3} (ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有且仅有3个零点，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{14}{3}, \frac{20}{3})$ B、 $[4, \frac{16}{3})$ C、 $[4, \frac{22}{3}]$ D、 $[4, \frac{22}{3})$

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14、已知 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 1$ ，则“ $a_{5} = 2$ ”是“ $a_{9} = 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、若函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} - a x}$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 2$ B、 $a \geq 2$ C、 $a \leq 1$ D、 $a \geq 1$

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16、已知圆锥的体积为 $\frac{2 \sqrt{2} π}{3}$ ，其侧面展开图是一个圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的底面半径为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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17、已知 $1 - 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0 (a, b \in R)$ 的一个根，则 $|a + b i| =$ （）

A、2 B、3 C、5 D、 $\sqrt{29}$

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18、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - x - 2 > 0\}$ ， $B = \{x ∣ y = lg (x - 1)\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(1, 2]$ D、 $[- 1, + \infty)$

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19、如图，三棱锥 $A - B C D$ 中，点 $B$ 在平面 $A C D$ 的射影 $H$ 恰在 $C D$ 上， $M$ 为 $H C$ 中点， $∠ B A H = \frac{π}{6}$ ， $A B = 2$ ， $S_{△ A B M} = S_{△ A B D} = 1$ .

(1)、若 $C D ⊥$ 平面 $B A H$ ，证明： $M$ 是 $C D$ 的三等分点；

(2)、记 $D$ 的轨迹为曲线 $W$ ，判断 $W$ 是什么曲线，并说明理由；

(3)、求 $C D$ 的最小值.

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20、已知 $△ A B C$ 内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $\sin^{2} A + \sin^{2} B = 2 + \cos 2 C$ .

(1)、证明： $\cos α + \cos β = 2 \cos \frac{α + β}{2} \cos \frac{α - β}{2}$ ；

(2)、求 $\frac{\sin C}{\sin A \sin B}$ 的最值；

(3)、若 $c = 6$ ， $A \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ ，求 $△ A B C$ 的面积S的取值范围.

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