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相关试卷

1、已知实数 $a, b$ 满足 $a + b = 2$ ，则 $\frac{a + 2 b - 1}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ 的最大值为.

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2、一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为.

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3、若 $(a - x) {(1 + x)}^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为6，则实数 $a$ 的值为.

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4、设正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别为棱 $A B$ 、 $A D$ 上的动点（含端点），且 $E F = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $A_{1} - A E F$ 的体积有最大值 B、三棱锥 $A_{1} - A E F$ 的外接球的体积为定值 C、三棱锥 $A_{1} - E F C_{1}$ 的体积为定值 D、三棱锥 $A_{1} - E F C_{1}$ 的外接球的体积有最大值

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5、已知函数 $f (x) = {sin}^{4} x - {cos}^{2} x$ ，则下列正确的是（）

A、 $π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{4}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减

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6、下列结论正确的是（）

A、若随机变量 $X \sim N (2, 1)$ ，则 $P (x \geq 3) > 0.5$ B、若随机变量 $X \sim N (2, 1)$ ，则 $P (3 < x < 4) < P (1 < x < 2)$ C、若随机变量 $X \sim B (n, \frac{1}{2})$ ，且 $E (X) = 2$ ，则 $D (X) = 1$ D、若随机变量 $X \sim B (n, \frac{1}{2})$ ，且 $D (X) = 1$ ，则 $D (2 X - 1) = 4$

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7、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (\frac{1}{x}) = - f (x), f (\frac{2}{x}) = - f (2 x)$ ，当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = (x - 1) (x - 2)$ ，则函数 $y = f (x) + \frac{1}{4}$ 在区间 $[1, 100]$ 内的零点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点， $A$ 为左顶点， $B$ 是双曲线在第四象限上一点， $B F_{2}$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ ，且 $A B ⊥ B F_{2}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $S_{n} > 0$ ，则 $a_{n} > 0$ B、若 $S_{n} > 0$ ，则 $a_{n} + S_{n} > 0$ C、若 $S_{n} \geq a_{n}$ ，则 $a_{n} > 0$ D、若 $a_{n} + S_{n} \geq 0$ ，则 $S_{3} \geq a_{3}$

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10、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{3}{2} \vec{b}$ C、 $\vec{b}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{b}$

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11、尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 $E$ （单位：焦耳）与地震里氏震级 $M$ 之间的关系为： $lg E = 4.8 + 1.5 M$ .若记2025年1月7日西藏日喀则发生里氏6.8级地震释放出来的能量为 $E_{1}$ ， 2022年5月20日四川雅安发生里氏4.8级地震释放出来的能量为 $E_{2}$ ，则 $\frac{E_{1}}{E_{2}} =$ （）

A、 $100$ B、 $200$ C、 $1000$ D、 $2000$

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12、“ $k = 0$ ”是“直线 $y = k x + 2$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ 相切”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知复数 $z$ 满足 $i z = 1 + i (i$ 为虚数单位 $)$ ，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $2 \sqrt{2}$

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14、已知集合 $M = \{x \in Z ∣ 2^{x} < 8\}, N = {x ∣ |x - 2| < 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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15、将所有正整数按照如下规律形成数阵：
第1行   1   2   3   ……   7   8   9
第2行   10   11   12   ……   97   98   99
第3行   100   101   102   ……   997   998   999
第4行   1000   1001   1002   ……   9997   9998   9999
…………

(1)、将数列 $\{3 n + 1\}$ 与数列 $\{2^{n}\}$ 的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列 $\{a_{n}\}$ ，试确定 $a_{6}$ 在该数阵中的位置；

(2)、将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第 $n$ 行中正整数的个数为 $b_{n}$ .
（i）求 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ；
（ii）求 $b_{n}$ .

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16、已知函数 $f (x) = x e^{x} - a$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 零点的个数；

(2)、若 $|f (x)| > a x (ln x + 1)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $E$ 为 $P C$ 的中点， $P A = A D$ ， $P D ⊥ B E$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $P D = A D$ ，直线 $P B$ 与平面 $P D A$ 所成角的正切值等于2，求平面 $A B E$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值.

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18、已知 $N (N \geq 3)$ 项数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{N}$ ，对于给定 $i (i = 1, 2, \dots, N)$ ，定义变换 $f_{i}$ ：将数列 $A$ 中的项 $a_{i}$ 替换为 $t$ ，其余项均保持不变，记得到的新数列为 $f_{i} (A)$ ．其中，当 $i = 1$ 时， $t = \frac{a_{1} + a_{2}}{2}$ ；当 $2 \leq i \leq N - 1$ 时， $t = \frac{a_{i - 1} + a_{i} + a_{i + 1}}{3}$ ；当 $i = N$ 时， $t = \frac{a_{N - 1} + a_{N}}{2}$ ．若将数列 $f_{i} (A)$ 再进行上述变换 $f_{j} (j = 1, 2, \dots, N)$ ，记得到的新数列为 $f_{j} f_{i} (A), \dots$ ，重复操作，得到数列 $f_{k} \dots f_{j} f_{i} (A) (k = 1, 2, \dots, N)$ ，并称 $f_{i}$ 为第一次 $f$ 变换， $f_{j}$ 为第二次 $f$ 变换，⋯．

(1)、若数列 $A$ ： $1, - 1, 3, - 4$ ，求数列 $f_{2} (A)$ 和 $f_{1} f_{2} f_{2} (A)$ ；

(2)、设 $A$ 为递增数列，对 $A$ 进行有限次 $f$ 变换后得到数列 $B$ ．证明： $B$ 为递增数列；

(3)、当第 $m (m \in N^{*})$ 次 $f$ 变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令 $ω_{m} = 1$ ；否则 $ω_{m} = 0$ ．对于给定的 $N$ 项数列 $A$ ，进行2025次 $f$ 变换，证明： $ω_{1} + ω_{2} + \dots + ω_{2025} \leq N - 1$ ．

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19、已知函数 $f (x) = a (x - 1) e^{x} - ln x$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线经过点 $(2, 2)$ ，求 $a$ 的值；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 存在极小值；

(3)、记函数 $f (x)$ 的最小值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的最大值．

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20、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，直线 $x + \sqrt{2} y + 2 \sqrt{2} = 0$ 经过椭圆 $E$ 的左顶点 $A$ 和下顶点 $B$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程和离心率；

(2)、设过点 $G (0, s) (s > 0)$ 且斜率不为0的直线交椭圆 $E$ 于 $C, D$ 两点，直线 $B C, B D$ 与直线 $y = t$ 的交点分别为 $P, Q$ ，线段 $C D, P Q$ 的中点分别为 $M, N$ ．若直线 $M N$ 经过坐标原点，求 $s + t$ 的取值范围．

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