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相关试卷

1、已知甲、乙、丙、丁四名学生利用假期的某周周一到周五去敬老院参加志愿者活动，每天去一人，且甲参加两天活动，其余三名学生每人一天，则安排甲不在相邻两天做志愿者的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, \frac{n + 1}{a_{n + 1}} = \frac{n + 2 a_{n}}{a_{n}}$ ，则数列 $\{\frac{n}{a_{n}}\}$ 的前10项和为（）

A、9 B、10 C、100 D、99

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3、已知直线 $l ： x - 2 y + 4 = 0$ 的倾斜角为 $α$ ，直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为点 $A$ ， $l$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转 $45 °$ 得到直线 $l_{1}$ ， $l_{1}$ 与 $x$ 轴的交点为点 $B$ ，则点 $B$ 的坐标是（）

A、 $(\frac{2}{3}, 0)$ B、 $(8, 0)$ C、 $(4, 0)$ D、 $(6, 0)$

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4、已知函数 $f (x) = |tan (3 x + \frac{π}{3})|$ 图象的对称轴为直线 $x = a$ ，其中 $a > 0$ ，则 $a$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{18}$ B、 $\frac{π}{9}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的渐近线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$ 或 $\frac{7 π}{12}$

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6、已知集合 $U = R, A = \{x ||x - 2| > 3\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (5, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1]\cup[5, + \infty)$ C、 $(- 1, 5)$ D、 $[- 1, 5]$

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7、已知复数 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ （ $i$ 是虚数单位）的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- 1$

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8、已知过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A, B$ 两点，则下列结论正确的是（）

A、以 $|A B|$ 为直径的圆与准线相切 B、若点 $M (4, 3)$ ，则 $|A F| + |A M|$ 的最小值为5 C、若直线 $l$ 的倾斜角为 $30^{\circ}$ ，则 $S_{△ A O B} = 16$ D、点 $N$ 为线段 $A B$ 中点，则点 $N$ 的坐标可以是 $(3, 2)$

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9、设 $θ \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，若 $tan θ + \frac{1}{tan θ} = \frac{5}{2}$ ，则 $sin (2 θ + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$

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10、已知函数 $f (x) = 1 - (x + 1) e^{x}$ ， $g (x) = a x - \sin x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若 $g (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 单调递增，求a的取值范围；

(2)、求 $f (x)$ 函数的零点；

(3)、已知 $min \{m, n\} = \{\begin{matrix} m, m \leq n \\ n, n < m \end{matrix}$ ，记 $F (x) = min \{f (x), g (x)\}$ ．
问是否存在实数a，使得对任意 $x \in R$ ， $F (x) \leq 0$ 恒成立？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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11、2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为 $p$ ，且每局比赛相互独立．

(1)、在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计 $p$ ．
（ⅰ） $p$ 为多少？
（ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数 $X$ 的分布列．

(2)、如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求 $p$ 的取值范围？

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12、已知函数 $f (x) = x - \frac{2 a}{x} - (a + 2) ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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13、某袋中装有大小相同质地均匀的6个球，其中4个白球和2个红球．从袋中随机一次取出3个球．

(1)、求至少有一个红球的概率；

(2)、记取出白球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的概率分布、数学期望 $E (X)$ 和方差 $D (X)$ ．

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14、直线 $y = k x + b$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切也与曲线 $y = g (x)$ 相切，则称直线 $y = k x + b$ 为曲线 $y = f (x)$ 和曲线 $y = g (x)$ 的公切线，已知函数 $f (x) = a x^{2}$ ， $g (x) = ln x$ ，其中 $a \neq 0$ ，若曲线 $y = f (x)$ 和曲线 $y = g (x)$ 的公切线有两条，则 $a$ 的取值范围为．

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15、在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.96；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6．某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.25，处于嘈杂环境的概率为0.75，则该天测试结果为语音识别成功的概率为．

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16、如果随机变量 $X ～ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，那么 $P (X \leq 0)$ 的值为．

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17、已知随机事件 $A, B$ 满足： $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $P (B |A) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (A B) = \frac{1}{4}$ B、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{6}$ C、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (\bar{A} B) = \frac{1}{6}$ D、若 $P (\bar{A}) P (B |\bar{A}) = \frac{1}{12}$ ，则 $P (B |A) = \frac{1}{2}$

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18、现有4个编号为 $1, 2, 3, 4$ 的不同的球和4个编号为 $1, 2, 3, 4$ 的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（）

A、共有24种不同的放法 B、恰有一个盒子不放球，共有144种放法 C、每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有8种 D、将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有12种

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19、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的极大值是1 B、函数 $f (x)$ 有三个零点 C、函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ D、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, - 1)$ 对称

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20、如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用6种颜色给5个小区域（ $A, B, C, D, E$ ）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（）

A、480种 B、720种 C、1080种 D、1560种

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