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相关试卷

1、已知 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, k)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $k =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2、已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a x}{e^{x}}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x)$ 有且仅有一个零点．

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) \leq x$ 恒成立，求a的取值范围．

(3)、证明： $\frac{\ln 2}{2} + \frac{\ln 3}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{\ln n}{n} \leq n - \frac{e (1 - e^{- n})}{e - 1} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ．

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3、小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为 $10$ 分，每场比赛胜则加 $5$ 分，负则减 $5$ 分，平则积分不变；当积分达到 $0$ 分（淘汰出局）或 $20$ 分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜､负､平的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ .

(1)、比赛终止时小明积分为 $0$ 分的概率；

(2)、在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率.

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4、甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．

(1)、从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；

(2)、掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，则从甲箱随机抽出1个球；如果点数大于等于5，则从乙箱中随机抽出1个球，
（i）求抽到的是红球的概率；
（ii）若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．

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5、在 ${(2 \sqrt{x} - \frac{3}{x})}^{n}$ 二项展开式中，所有项的二项式系数之和为 $32$ .

(1)、求展开式中 $x$ 的系数；

(2)、求展开式中二项式系数最大的项.

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6、若不等式 $ln x + \frac{a}{x} \geq 2 b (a > 0)$ 对 $\forall x > 0$ 恒成立，则 $\frac{b}{a}$ 的最大值为．

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7、若 ${(3 x - 2)}^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ ．

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8、已知函数 $f (x) = x \ln x + a x$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $(e, f (e))$ 处的切线与 $3 x - y = 0$ 相互平行 B、函数 $f (x)$ 在[1，4]上单调递增的必要不充分条件是 $a \geq - 1 - \ln 4$ C、记函数 $f (x)$ 的最小值为 $φ (a)$ ，则 $φ (a) \leq a$ D、若 $a = 2$ ， $\exists k \in Z$ ，使得 $\frac{f (x) + 2 k}{x} > k + 1$ 在 $x \in (2, + \infty)$ 恒成立，则 $k$ 的最大值为3

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9、设 $A$ ， $B$ ， $C$ 是同一概率空间中的随机事件，满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B |A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B |\bar{A}) = \frac{1}{4}$ ， $P (C |B) = \frac{1}{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A B) = \frac{1}{6}$ B、 $P (B) = \frac{7}{24}$ C、 $P (A + B) = \frac{5}{8}$ D、 $P (B C) = \frac{5}{48}$

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10、下列结论正确的是（）

A、 $A_{n}^{m} = n A_{n - 1}^{m - 1} (m, n$ 为正整数且 $n > m > 1)$ B、满足方程 $C_{16}^{x^{2} - x} = C_{16}^{5 x - 5}$ 的 $x$ 值可能为 $x = 1$ 或 $x = 3$ C、甲、乙、丙等 $5$ 人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有 $36$ 种排法 D、把 $6$ 个相同的小球分到 $3$ 个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有 $10$ 种

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11、已知 $x = 0$ 是函数 $f (x) = ln (x + 1) + \frac{a}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x$ 的极大值点，则实数 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{1}{2}$

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12、已知函数 $f (x) = a e^{- x} + \ln x$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 2)$ 上单调递减，则实数a的最小值为（）

A、 $e^{2}$ B、 $\frac{e^{2}}{2}$ C、 $2 \sqrt{e}$ D、e

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13、 $(x + y) {(x - y)}^{6}$ 的展开式中 $x^{4} y^{3}$ 的系数是（）

A、10 B、 $- 10$ C、5 D、 $- 5$

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14、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $A P B ⊥$ 平面 $P B C$ ，平面 $A P C ⊥$ 平面 $P B C$ .

(1)、求证： $A P ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P B = P C$ ，二面角 $A - B C - P$ 的大小为 $60^{\circ} ， P A = 3 \sqrt{3} ， B C = 6$ . 若 $Q$ 为平面 $P B C$ 内一动点，满足
$Q B + Q C = 2 \sqrt{11}$ ，求 $A Q$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值的最小值.

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15、已知 $a, b, c$ 分别为锐角 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边， $S$ 为三角形 $△ A B C$ 的面积，且满足 $c c o s A + \sqrt{3} c s i n A = b + a .$

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $S = 4 \sqrt{3}$ ，求 $b$ 的取值范围.

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16、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求Γ的方程；

(2)、若直线 $y = x + m$ 与 $Γ$ 交于A，B两点，且 $| A B | < \frac{8 \sqrt{10}}{9}$ ，求m的取值范围．

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17、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4． $M$ 为棱 $D C$ 的中点， $N$ 为侧面 $A D_{1}$ 的中心，过点 $M$ 的平面 $α$ 垂直于 $C_{1} N$ ，则平面 $α$ 截正方体 $A C_{1}$ 所得的截面面积为．

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18、如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有种．

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19、数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.曲线 $C$ ： ${|x|}^{\frac{1}{2}} + {|y|}^{\frac{1}{2}} = 1$ 就是其中之一，P为曲线 $C$ 上一点，则下列结论正确的有（）

A、曲线 $C$ 恰有2条对称轴和1个对称中心 B、若P在第一象限内，则点P到点 $N (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 的距离和到直线 $y = - x$ 的距离相等 C、曲线 $C$ 所围成的封闭图形的面积小于 $4 - π$ D、若P不在坐标轴上，则曲线 $C$ 在点P处的切线的横纵截距之和为1

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20、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $θ$ 以坐标原点 $O$ 为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点 $P (x_{0}, y_{0})$ ， $| O P | = r (r > 0)$ ，定义 $μ (θ) = \frac{y_{0} + x_{0}}{r}, v (θ) = \frac{y_{0} - x_{0}}{r}$ ，则（）

A、 $μ (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ B、 $μ (θ)$ 的最大值为 $2$ C、 $μ^{2} (θ) + v^{2} (θ) = 2$ D、 $μ (π + θ) = v (θ)$

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