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相关试卷

1、已知P为棱长为 $\sqrt{6}$ 的正四面体 $A - B C D$ 各面所围成的区域内部（不在表面上）一动点，记P到面 $A B C$ ，面 $A C D$ ，面 $B C D$ ，面 $A B D$ 的距离分别为 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ， $h_{3}$ ， $h_{4}$ ，若 $h_{3} + h_{4} = 1$ ，则 $\frac{1}{2 h_{1}} + \frac{8}{h_{2}}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{25}{2}$ C、 $\frac{9 + 4 \sqrt{2}}{2}$ D、 $12 + 4 \sqrt{2}$

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2、某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为20mm，卫生纸厚度约为0.1mm，若未使用时直径为80mm，则这个卷筒卫生纸总长度大约为（）（参考数据 $π \approx 3.14$ ）

A、47m B、51m C、94m D、102m

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3、已知函数 $g (x) = e^{x} - \frac{a}{2} x^{2}$ 有两个不同极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, e)$ B、 $(0, \frac{1}{e})$ C、 $(e, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$

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4、已知函数 $f (x) = 2 cos (3 x + \frac{π}{6})$ 在 $[0, \frac{a}{3}]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{5π}{6}$ C、 $\frac{5 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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5、若直线 $l : x + \sqrt{3} y = 0$ 与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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6、设复数 $z = a + i$ （ $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位），若 $(1 + i) \cdot z$ 为纯虚数，则复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、 $- i$

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7、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = 8$ ， $C D = 3$ ， $A D = 6$ ， $E$ 在线段 $B C$ 上．

(1)、若 $C E = 2 E B$ ，用向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ 表示 $\vec{C B}$ ， $\vec{A E}$ ；

(2)、若AE与BD交于点F， $\vec{D F} = x \vec{D B} (0 < x < 1)$ ， $\cos ∠ D A B = \frac{1}{3}$ ， $|\vec{C F}| = 2 \sqrt{2}$ ，求 $x$ 的值．

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8、如图，在高为2的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2, D$ 是棱 $A B$ 的中点．

(1)、求该正三棱柱的体积；

(2)、求三棱锥 $D - A_{1} B_{1} C$ 的体积；

(3)、设 $E$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $F$ 为棱 $B B_{1}$ 上一点，求 $A F + E F$ 的最小值．

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9、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B < {sin}^{2} C$ ．

(1)、证明： $△ A B C$ 为钝角三角形．

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{7}}{4}, sin C = \frac{3 \sqrt{7}}{8}, c = 3$ ，求 $a, b$ ．

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10、若函数 $f (x) = |2^{x} - 3| - 1 - m$ 只有1个零点，则 $m$ 的取值范围是．

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (1, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ ；若 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{4}$ ，则 $|\vec{b}| =$ ．

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12、函数 $f (x) = {cos}^{2} x + \frac{1}{2 {cos}^{2} x}$ 是（填入“奇”或“偶”或“非奇非偶”）函数，当 $f (x)$ 取得最小值时， $cos 2 x =$ ．

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13、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D, A D ⊥ A B, C D = 2, A D = 4, A B = 5, E, F$ 分别在线段 $A D, A B$ 上，且线段 $D E$ 与线段 $B F$ 的长度相等，则（）

A、 $\vec{C E} \cdot \vec{C F}$ 的最小值为 $- 4$ B、 $\vec{C E} \cdot \vec{C F}$ 的最大值为18 C、 $\vec{C E} \cdot \vec{E F}$ 的最大值为 $- 1$ D、 $△ C E F$ 的面积的最大值为 $\frac{41}{8}$

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14、已知复数 $z = \frac{6 + 8 i}{1 - 3 i}$ 则（）

A、 $\bar{z}$ 的虚部为 $- \frac{13}{5}$ B、 $|z| = \sqrt{10}$ C、 $z - 2 i$ 为实数 D、 $z + \frac{9}{5}$ 为纯虚数

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15、在高为3的正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = 4$ ，且上底面的面积为 $\sqrt{3}$ ，则（）

A、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的下底面的面积为 $4 \sqrt{3}$ B、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的下底面的面积为 $3 \sqrt{3}$ C、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $7 \sqrt{3}$ D、正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $8 \sqrt{3}$

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16、永丰文塔位于湖南省双峰县城永丰镇，修建于清朝同治年间，巍巍七层文塔，塔形呈六角形，塔底用高达五尺八寸的青条石奠基，永丰文塔与双峰书院遥相呼应，象征双峰文运昌隆．如图，某测绘小组为了测量永丰文塔的实际高度 $A B$ ，选取了与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C, D$ ，现测得 $∠ C B D = 120 °, ∠ B D C = 47 °, C D = 10 \sqrt{3} m$ ，在点 $C$ 测得塔顶A的仰角为 $71.6 °$ ，则塔高 $A B =$ （）（取 $tan 71.6 ° = 3$ ， $sin 47 ° = 0.73$ ）

A、 $44.3 m$ B、 $44.1 m$ C、 $43.6 m$ D、 $43.8 m$

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17、若 $a = {0.7}^{0.3}, b = {log}_{2} a, c = {log}_{0.7} 0.3$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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18、已知函数 $f (x) = sin (2 ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $f (x)$ 图象的一个对称中心的坐标为（）

A、 $(- \frac{5 π}{12}, 0)$ B、 $(- \frac{π}{4}, 0)$ C、 $(\frac{π}{12}, 0)$ D、 $(- \frac{7 π}{12}, 0)$

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19、如图，四边形 $O^{'} A^{'} C^{'} B^{'}$ 表示水平放置的四边形 $O A C B$ 根据斜二测画法得到的直观图， $O^{'} A^{'} = 2, B^{'} C^{'} = 4, O^{'} B^{'} = 2 \sqrt{2}, O^{'} A^{'}$ $∥$ $B^{'} C^{'}$ ，则 $A C =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、6 D、 $4 \sqrt{2}$

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20、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 不共线，向量 $\vec{c} = \vec{a} + 6 \vec{b}, \vec{d} = - 2 \vec{a} + x \vec{b}, \vec{c} ∥ \vec{d}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- 12$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、12

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