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相关试卷

1、设n个不同的元素1，2，3，…，n的一个排列中，若每个元素都不在原来的位置，则称该排列为一个错位排列（也叫“错排”），记 $D_{n}$ 为n个元素的错位排列的总数．

(1)、求 $D_{1} ， D_{2} ， D_{3} ；$

(2)、求证： $\{D_{n + 1} - (n + 1) D_{n}\}$ 是等比数列；

(3)、求证： $D_{n} = n! \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{{(- 1)}^{i + 1}}{(i + 1)!} (n \geq 2)$ .

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2、已知 ${(x + \frac{1}{2 x^{2}})}^{n}, (n \geq 4, n \in N^{*})$ 的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为 $15 : 2$ ．

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中系数最大项．

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3、一座五层高的灯塔，底层所开灯的数量为3盏，每一层开灯的数量都是下面一层的两倍，则一共开了盏灯．

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4、下列求导数的运算正确的是（）

A、 ${(x^{3} - \frac{1}{x})}^{'} = 3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ B、 $(\ln 2)^{'} = \frac{1}{2}$ C、 ${(x e^{x})}^{'} = (x + 1) e^{x}$ D、 $(x \cdot \cos x)^{'} = - \sin x$

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5、若函数 $f (x) = x - \frac{1}{3} \sin 2 x + a \sin x$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是

A、 $[- 1, 1]$ B、 $[- 1, \frac{1}{3}]$ C、 $[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ D、 $[- 1, - \frac{1}{3}]$

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6、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} + a_{9} = 12$ ，则 $S_{11}$ 的值为（）

A、33 B、44 C、66 D、132

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7、已知实数 $m$ 是1，4的等比中项，则 $m =$ （）

A、 $\pm 4$ B、 $- 4$ C、 $\pm 2$ D、 $- 2$

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8、如图，从 $A \to C$ （图中不能折返回 $A$ ）不同的走法有（）

A、8种 B、6种 C、4种 D、2种

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9、某分布式存储系统中，数据块容量上限为 $N (N \in N^{*}, N \geq 2)$ ，数据块的初始数量为 $M (M \in N, M \leq N)$ .系统运行遵循以下规则：
①在每一时间步，系统以概率 $p (0 < p < 1)$ 执行清理操作（数据块的数量减 $1$ ），以概率 $1 - p$ 执行写入操作（数据块的数量加 $1$ ）；
②当数据块的数量为 $0$ （成功复位）或为 $N$ （内存溢出）时，系统运行立即终止.
记当数据块的数量为 $k (0 \leq k \leq N, k \in N)$ 时，系统最终以“成功复位”状态终止的概率为 $a_{k}$ .

(1)、直接写出 $a_{0}$ 、 $a_{N}$ 的数值，并写出 $a_{k - 1}$ 、 $a_{k}$ 、 $a_{k + 1} (1 \leq k \leq N - 1)$ 的关系式；

(2)、当 $p = \frac{1}{2}$ 时，比较系统最终以“成功复位”与“内存溢出”状态终止的概率大小关系；

(3)、已知：若随机变量 $X$ 的取值不会影响随机变量 $Y$ 的概率分布列，则称 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且满足 $E (X Y) = E (X) \cdot E (Y)$ .记 $X_{n}$ 为系统运行 $n$ 步后的数据块的数量（假设系统在此期间未终止）.当 $p \neq \frac{1}{2}$ 时，若 $E (λ^{x_{n}})$ 与 $n$ 无关，求正实数 $λ (λ \neq 1)$ 的值.

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10、如图，在圆柱 $O O_{1}$ 中， $A B$ 是圆 $O$ 的一条直径， $C D$ 是圆柱 $O O_{1}$ 的母线，其中点 $C$ 与 $A$ ， $B$ 不重合， $\vec{B M} = \vec{M N} = \vec{N D}$ ， $A B = 2$ ， $C D = 3$ .

(1)、若平面 $C O M$ 和平面 $C A N$ 的交线为 $l$ ，证明： $l //$ 平面 $A B D$ ；

(2)、设平面 $C O M$ 、平面 $C A N$ 和底面圆 $O$ 所成的锐二面角分别为 $α$ 和 $β$ ，若 $α = β$ ，求平面 $A B D$ 和底面圆 $O$ 所成的锐二面角 $γ$ 的正切值.

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11、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ .

(1)、若 $a = 3$ ，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) - f (- x) \geq 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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12、已知动圆 $Q$ 过定点 $P (4, 0)$ ，且在 $y$ 轴上截得的弦长为8，设动圆圆心 $Q$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $F (2, 0)$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，在 $x$ 轴上是否存在点 $N$ ，使得 $△ A B N$ 为等边三角形？若存在，求出相应直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.

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13、在 $△ A B C$ 中，设内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 $c \cos B + (2 a + b) \cos C = 0$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ， $a + b = 4$ ，求 $\sin A \sin B$ 的值.

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14、已知 $M$ 是边长为7的等边三角形 $A B C$ 内一点（含边界）， $\vec{A M} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ， $\frac{7}{3} m + \frac{7}{5} n = 1$ ，则 $|\vec{A M}|$ 的取值范围为.

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15、已知点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 4$ 的左、右焦点， $M$ 为双曲线 $C$ 右支上任意一点，点 $N$ 的坐标为 $(2 \sqrt{2}, 1)$ ，则 $|M N| + |M F_{2}|$ 的最小值为.

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16、已知 $(x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - a)$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的系数为-10，则 $a =$ .

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17、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = a_{n} + 1$ ，在数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n + 2 (n \in N^{*})$ 项中任取两项都是正数的概率记为 $P_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{n} = {(- 1)}^{n - 1}$ B、 $P_{2} = \frac{1}{6}$ C、 $P_{2 n - 1} < P_{2 n}$ D、 $P_{2 n} < P_{2 n + 2}$

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18、已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $0 < b < a$ 且 $c > 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$

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19、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所有棱长都相等， $A B = 4$ ，点 $A_{1}$ 在底面 $A B C D$ 的投影为 $B D$ 中点，且直线 $A A_{1}$ 与底面 $A B C D$ 夹角为 $45^{\circ}$ ，则三棱锥 $A - A_{1} B D$ 的外接球被平面 $B C C_{1} B_{1}$ 截得的截面面积为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $4 π$ C、 $2 π$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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20、公园某处有一个半径为40米的圆形水池，准备在水池中建两个喷泉.如图，设该圆形水池的圆心为O，A，B两点为喷泉， $C$ 为该圆形水池边缘任意一点，要求O，A，B三点共线，且 $O A = O B$ .若在该水池边缘任意一点 $C$ 处观察喷泉，观察角度 $∠ A C B$ 的最大值不小于 $\frac{π}{3}$ ，则A，B这两个喷泉间距离的最小值为（）

A、 $\frac{80 \sqrt{3}}{3}$ 米 B、 $\frac{40 \sqrt{3}}{3}$ 米 C、80米 D、40米

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