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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = - 2 a \ln x + \frac{1}{2} x^{2} + x (1 - 2 a) (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求证： $f (x) - \frac{1}{2} x^{2} + e^{x} - 2 > 0$ ．

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2、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} = \frac{1}{(n - 1) n}$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ，并证明： $\{n S_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、设 $f (x) = S_{1} x + S_{2} x^{2} + S_{3} x^{3} + \dots + S_{n} x^{n}$ ，求 $f^{'} (2)$ ．

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线的倾斜角为 $30 °$ ，抛物线 $y^{2} = - 12 x$ 的焦点 $F$ 在双曲线 $C$ 上，过点 $B (- 2, 0)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、证明：直线 $F M$ 与直线 $F N$ 的斜率之积为定值．

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4、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C ⊥$ 底面 $A B C$ ，且 $A B = A C$ ， $A_{1} B = A_{1} C$ ．

(1)、求证： $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(2)、若 $A A_{1} = \sqrt{2} A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的正弦值．

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5、二项式 ${(2 x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式前三项的二项式系数和为46．

(1)、求n的值及展开式中所有项的系数和；

(2)、求展开式中的常数项．

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6、已知函数 $f (x) = x \ln x$ ， $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}} < m$ 恒成立，则实数m的取值范围．

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7、将函数 $f (x) = \sin (3 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到奇函数 $g (x)$ 的图像，则 $φ =$ ．

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8、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，下列关于首项 $a_{1}$ 和公比 $q$ 的条件中， $S_{n}$ 一定取到最小值的有（）．

A、 $a_{1} > 0$ ， $q > 0$ B、 $a_{1} > 0$ ， $q < 0$ C、 $a_{1} < 0$ ， $q > 0$ D、 $a_{1} < 0$ ， $- 1 < q < 0$

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9、已知 $(2 x + 1) {(x - 2)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ ， $(a_{7} \neq 0)$ ，则（）．

A、 $n = 6$ B、 $a_{5} = 108$ C、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{7} = 3$ D、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} = - 363$

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10、函数 $f (x) = a e^{x} - \frac{1}{2} x^{2}$ 在 $(\frac{1}{2}, 2)$ 内存在2个极值点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2 \sqrt{e}}, \frac{1}{e})$ B、 $(\frac{1}{8 \sqrt{e}}, \frac{2}{e^{2}})$ C、 $(\frac{2}{e^{2}}, \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{1}{8 \sqrt{e}}, \frac{1}{2 \sqrt{e}})$

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11、已知 ${(x^{2} - x + 2)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{10} x^{10}$ ，则 $a_{3} =$ （）．

A、 $- 120$ B、 $- 160$ C、 $- 200$ D、 $- 440$

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12、若 $x^{10} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{10} {(x - 1)}^{10}$ ，则 $a_{8}$ 的值为（）

A、10 B、45 C、 $- 9$ D、 $- 45$

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13、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $|\vec{a} - 2 \vec{b}| = 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）．

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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14、已知集合 $A = \{x |- 2 < x < 3\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 5 x < 0, x \in N\}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 $\{x |0 < x < 3\}$ B、 $\{x |- 2 < x < 5\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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15、已知函数 $f (x) = k \cdot 2^{x} + 2^{- x}$ 是定义域为 $R$ 上的偶函数．

(1)、求 $f (2)$ 的值；

(2)、解不等式 $f (5 - 3 x) > f (x + 3)$ ；

(3)、若 $g (x) = 2^{2 x} + 2^{- 2 x} - 2 m f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上的最小值为 $- 2$ ，求 $m$ 的值．

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16、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，且满足 $f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 5 x + \frac{4}{x}$ ，则 $f (x)$ 的最小值为．

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17、设 $a, b \in R$ ，集合 $A = \{- 1, a\}, B = \{b, 1\}$ ，若 $A = B$ ，则 $a + b =$ ．

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18、（多选题）关于函数 $y = - \frac{5}{x}$ 的单调性的叙述正确的是（）

A、函数在 $(- \infty, 0)$ 上是递增的 B、函数在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上是递增的 C、函数在 $[0, + \infty)$ 上是递增的 D、函数的递增区间是 $(- \infty, 0)$ 和 $(0, + \infty)$

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19、已知正数 $x$ 满足 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{5}$ ，则 $x + x^{- 1} =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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20、已知 $- 1 \leq x + y \leq 2$ ， $0 \leq 2 x - y \leq 3$ ，则 $5 x + 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $2 \leq 5 x + 2 y \leq 7$ B、 $- 3 \leq 5 x + 2 y \leq 8$ C、 $- 2 \leq 5 x + 2 y \leq 6$ D、 $- 3 \leq 5 x + 2 y \leq 9$

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