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相关试卷

1、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} = 8, a_{8} = a_{1} + a_{2} + a_{3}$ ；记 $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = 2 b_{n} + 1$ .

(1)、分别求数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和.

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2、已知函数 $f (x) = {log}_{2} x, g (x) = \sqrt{x^{3} + x - a}$ .

(1)、若直线 $x = t (t > 0)$ 与直线 $y = 2 x$ 交于点 $P$ ，与 $f (x)$ 的图象交于点 $Q$ ，求 $|P Q|$ 的最小值；

(2)、设函数 $y = \sqrt{f (x) - 1}$ 的定义域为 $A, g (x)$ 的定义域为 $B$ ，且 $A \cap B = A$ ，求 $a$ 的取值集合.

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3、在 $△ A B C$ 中，设角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 成等差数列，且 $b = \sqrt{5}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆的面积；

(2)、若 $a = \frac{\sqrt{30}}{3}$ ，求 $A$ ， $C$ .

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{5} = a_{4} + 7, a_{10} = 19$ ，则数列 $\{a_{n} \cos n π\}$ 的前10项和为.

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5、 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, 3)$ 的夹角为.

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6、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d (d \neq 0)$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 的公比为 $q (q \neq 1)$ ，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} = b_{2} ， a_{5} = b_{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $d = 2$ B、数列 $\{b_{n}\}$ 是递增数列 C、存在正整数 $m$ ，使得 $a_{m} = b_{m + 1}$ D、存在正整数 $k$ ，使得 $a_{k + 1} - a_{k} = b_{k + 1} - b_{k}$

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7、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x) = 3 sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 C、若方程 $f (x) = \frac{3}{2}$ 在 $(0, m)$ 上有且只有6个根，则 $m \in (3 π, \frac{10 π}{3}]$ D、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x) = 3 cos 2 x$

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8、下列不等式成立的是（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{- 2.1} < {(\frac{1}{2})}^{- 1.3}$ B、 ${(\sqrt{2})}^{3} > {(\sqrt{2})}^{2 \sqrt{2}}$ C、 $2^{- \frac{1}{3}} < 3^{- \frac{1}{3}}$ D、 ${(- 1.2)}^{3} < {(- 0.8)}^{3}$

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9、若 $α \in (0, π)$ ，且 $sin α - cos α = sin α cos α$ ，则 $sin α - cos α =$ （）

A、 $- 1 + \sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2} + 1$ C、 $- \sqrt{2} \pm 1$ D、 $- 1 \pm \sqrt{2}$

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10、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x + b (a, b \in R), g (x) = x^{2} + x$ ，若这两个函数的图象在公共点 $A (1, 2)$ 处有相同的切线，则 $a + b$ 的值为（）

A、 $e - 4$ B、 $e + 2$ C、e D、 $e^{2}$

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11、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}, a_{19}$ 是方程 $x^{2} + 6 x + 4 = 0$ 的两根，则 $a_{3} a_{17} + a_{10}$ 等于（）

A、 $6$ B、 $2$ C、 $2$ 或 $6$ D、 $- 2$

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12、已知 $f (x)$ 是定义在 $[0, 2]$ 上的函数，则“对 $\forall x \in (0, 2]$ ， $f (x) > f (0)$ 都成立”是 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上是增函数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、设 $M = \{x |x = 6 k - 2 . k \in Z\}$ ， $N = \{x |x = 3 k + 1, k \in Z\}$ ，则（）

A、 $M \subseteq N$ B、 $N \subseteq M$ C、 $M = N$ D、 $M ⊄ N$

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14、若复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 满足： $z + i \bar{z} = 2 + 2 i$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $0$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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15、下列函数中，既是偶函数又在 $(0, + \infty)$ 上单调递减的为（）

A、 $y = x^{- 1}$ B、 $y = x^{- 4}$ C、 $y = ln x$ D、 $y = 2^{|x|}$

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16、设函数 $f (x) = a x^{2} + (1 - a) x + a - 2 (a \in R) ．$

(1)、若关于x的不等式f（x）≤0的解集为[0，b]，求实数a，b的值；

(2)、若不等式 $f (x) \geq - 2$ 对于实数a∈[-1，2]恒成立，求x的取值范围；

(3)、解关于x的不等式：f（x）＜a-1．

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17、如图甲，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2 \sqrt{2}, E$ 为线段 $D C$ 的中点， $△ A D E$ 沿直线 $A E$ 折起，使得 $D C = \sqrt{6}$ ，如图乙.

(1)、求证： $B E ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、线段 $A B$ 上是否存在一点 $H$ ，使得平面 $A D E$ 与平面 $D H C$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ？若不存在，说明理由；若存在，求出 $H$ 点的位置.

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18、已知函数 $f (x) = |x + \frac{1}{x}| - |x - \frac{1}{x}|$ .

(1)、指出函数 $f (x)$ 的基本性质：定义域，奇偶性，单调性，值域（结论不需证明），并作出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $k \cdot f^{2} (x) - 2 k f (x) + 6 (k - 7) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + m \cdot |f (x)| + n = 0 (m, n \in R)$ 恰有 $6$ 个不同的实数解，求实数 $n$ 的取值范围.

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19、大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销 $A, B$ 两种商品，据市场调查统计，当投资额为 $t (t \geq 0)$ 万元时，经销 $A, B$ 商品所获得的收益分别为 $f (t)$ 万元与 $g (t)$ 万元，其中 $f (t) = t + 1$ ， $g (t) = \{\begin{cases} \frac{10 t + 1}{t + 1}, 0 \leq t \leq 5 \\ - \frac{t^{2}}{2} + 6 t - 9, 5 < t \leq 10 \end{cases}$ ，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．

(1)、假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益；

(2)、如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．

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20、已知函数 $f (x) = \frac{3 x}{2 x^{2} + 2}$ ， $x \in (- 1, 1)$ ．

(1)、单调性的定义证明 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上是增函数；

(2)、解关于 $t$ 的不等式： $f (t + \frac{1}{2}) < f (\frac{1}{2} - t)$ ．

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