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相关试卷

1、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ .
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 $(μ - 3 σ, μ + 3 σ)$ 之外的零件数，求 $P (X \geq 1)$ 及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(μ - 3 σ, μ + 3 σ)$ 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得 $\bar{x} = \frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} x_{i} = 9.97$ ， $s = \sqrt{\frac{1}{16} \sum_{i = 1}^{16} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{16} (\sum_{i = 1}^{16} x_{i}^{2} - 16 {\bar{x}}^{2})} \approx 0.212$ ，其中x_i为抽取的第i个零件的尺寸， $i = 1, 2, \dots, 16$ .
用样本平均数 $\bar{x}$ 作为μ的估计值 $\hat{μ}$ ，用样本标准差s作为σ的估计值 $\hat{σ}$ ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 $(\hat{μ} - 3 \hat{σ}, \hat{μ} + 3 \hat{σ})$ 之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - 3 σ < Z < μ + 3 σ) = 0.9974$ ， ${0.9974}^{16} \approx 0.9592$ ， $\sqrt{0.008} \approx 0.09$ .

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2、如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧 $B C$ 上一动点（点P与点B，C不重合），E为弧 $B C$ 的中点， $A B = A D = 4$ .

(1)、证明： $P A ⊥ P C$ ；

(2)、若平面 $P A C$ 与平面 $C D E$ 所成的锐二面角的平面角为 $45 °$ ，求此时点D到平面 $P A C$ 的距离.

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3、已知数列{ $a_{n}$ }中， $a_{1}$ =1，前n项和 $S_{n} = \frac{n + 2}{3} a_{n}$ ．
（Ⅰ）求 $a_{2}, a_{3}$
(Ⅱ)求{ $a_{n}$ }的通项公式．

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4、游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为 $\frac{1}{4}$ ，停在不同区域的概率为 $\frac{3}{4}$ ，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为 $X$ ，若开始时指针停在红色区域，则 $E (X) =$ .

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5、已知函数f(x)的导函数为f^'(x)，且满足f(x)＝2xf^'(e)＋ln x，则f(e)＝.

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6、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列 $\{a_{n}\}$ ，正方形数构成数列 $\{b_{n}\}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{n + 1} = a_{n} + n (n \in N^{*})$ B、1225既是三角形数，又是正方形数 C、若 $c_{n} = {(- 1)}^{n - 1} b_{n}$ ，则数列 ${c_{n}}$ 的前100项和为 $- 5050$ D、 $\frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \frac{1}{b_{3}} + \dots + \frac{1}{b_{n}} < 2$

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7、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sqrt{3} \cos x \sin x + \frac{1}{2}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值为2 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ 对称

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{3 a_{n} + 1}$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $\frac{1}{2 n + 3}$ B、 $\frac{1}{3 n + 2}$ C、 $\frac{1}{2 n - 1}$ D、 $\frac{1}{3 n - 2}$

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9、式子 $\frac{n (n + 1) (n + 2) \dots (n + 100)}{100!}$ 可表示为（）

A、 $A_{n + 100}^{100}$ B、 $C_{n + 100}^{100}$ C、 $101 C_{n + 100}^{100}$ D、 $101 C_{n + 100}^{101}$

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10、设向量 $\vec{a} = (1, 0), \vec{b} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ B、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

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11、已知 $z = 1 + i$ ，则 $\frac{1}{z - 1} =$ （）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $- 1$ D、1

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12、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为1的正方形，其中 $P A \neq P C$ ，二面角 $B - P C - A$ 的大小为 $60^{\circ}$ ，平面 $P D B ⊥$ 平面 $P A C$ .

(1)、证明： $P A ⊥ B D$ ；

(2)、若 $P A = 1$ ，求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的大小；

(3)、如图，若 $P A ⊥ A B$ ，平面 $P A D \cap$ 平面 $P B C = l, Q$ 为 $l$ 上一动点.平面 $A B Q$ 与平面 $C D Q$ 夹角的大小为 $θ$ ，求 $\cos θ$ 的最小值.

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13、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} + a ln x$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的零点个数；

(3)、若对任意的 $x \in [1, + \infty)$ ，都有 $f (x) \leq x$ ，求实数 $a$ 的最大值．

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14、已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) + \frac{k x}{x + 2} (k \in R)$ ．

(1)、若 $k = - 3$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 在其定义域上单调递增，求k的取值范围．

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15、设函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{4})$ ， $(ω > 0)$ 已知方程 $|f (x)| = 1$ 在 $[0, 2 π]$ 上有且仅有2个不相等的实数根，则 $ω$ 的取值范围是.

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16、设函数 $f (x) = x e^{x}$ 的图象与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程为.

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17、已知 $x > 0, y > 0$ ，若 $a, x, y, b$ 成等差数列， $c, x, y, d$ 成等比数列，则 $\frac{{(a + b)}^{2}}{2 c d}$ 的最小值是.

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18、已知函数 $f (x) = \ln (e^{2 x} - a e^{- x}) - \frac{1}{2} x$ ，其中e是自然对数的底数，则下列选项正确的是（）

A、若 $a = 1$ ，则 $f (x)$ 为奇函数 B、若 $a = - 1$ ，则 $f (x)$ 为偶函数 C、若 $f (x)$ 具备奇偶性，则 $a = - 1$ 或 $a = 0$ D、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则a的取值范围为 $[- 1, + \infty)$

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19、下面说法正确的有（）

A、角 $\frac{π}{3}$ 与角 $- \frac{5 π}{3}$ 的终边相同 B、终边在直线 $y = - x$ 上的角 $α$ 的取值集合可表示为 $\{α |α = k \cdot 360 ° - 45 °, k \in Z\}$ C、若角 $α$ 的终边在直线 $y = - 3 x$ 上，则 $\cos α$ 的取值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $67 ° 3 0^{'}$ 化成弧度是 $\frac{3 π}{8} rad$

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20、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ， $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}, (x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，若 $f [f (x) + \frac{2}{x}] = 1$ ，则 $f (x)$ 的零点为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95