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相关试卷

1、已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = sin (π x + φ)$ ， $(- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ ．

(1)、 $f (0) = \frac{3}{5}$ ，求 $f (\frac{1}{4})$ 的值；

(2)、若 $f (\frac{1}{2})$ ， $f (1)$ ， $f (2)$ 依次成等比数列，求 $φ$ 的值．

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2、已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = (x - 1) (x - a) (x - b)$ ， $x \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的零点的个数一定是3个 B、若集合 $A = \{x | f (x) \geq 0\}$ 的解集是 $[0, + \infty)$ ，则实数对 $(a, b)$ 有2对 C、函数 $y = f (x)$ 必存在极值 D、函数 $y = f (x)$ 在 $(b, 0)$ 处的切线方程为 $y = 0$ ，则 $b = 1$

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3、音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受， $1807$ 年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如 $y = A \sin w x$ 的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图 $1, 2, 3$ 三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（）

A、 $f (t) = 0. 06 \sin 1000 π t + 0. 02 \sin 1500 π t + 0. 01 \sin 3000 π t$ B、 $f (t) = 0. 06 \sin 500 π t + 0. 02 \sin 2000 π t + 0. 01 \sin 3000 π t$ C、 $f (t) = 0. 06 \sin 1000 π t + 0. 02 \sin 2000 π t + 0. 01 \sin 3000 π t$ D、 $f (t) = 0. 06 \sin 1000 π t + 0. 02 \sin 2500 π t + 0. 01 \sin 3000 π t$

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4、已知双曲线的方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = λ$ ，则（）

A、渐近线与 $λ$ 无关 B、实轴长与 $λ$ 无关 C、焦距与 $λ$ 无关 D、焦点与 $λ$ 无关

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5、在平面直角坐标系xOy中，点 $A (cos θ,sin θ)$ ， $B (- sin θ,cos θ)$ ， $θ \in [0, 2 π)$ ．若点 $P (x, y)$ 满足： $\vec{O P} \cdot \vec{O A} = 1$ ， $\vec{O P} \cdot \vec{O B} = 2$ ，则xy的最大值是．

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6、如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为 $α = 29.3 °$ ， $β = 38.2 °$ ， $γ = 25.1 °$ ．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得 $A D = 277$ 米， $B E = 49$ 米， $B C = 320$ 米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为米．（结果精确到1米）

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7、已知复数 $z = cos θ + isin θ$ ， $θ \in [0, 2 π)$ ， i是虚数单位，则 $| z + 6 |^{2} + | z - 8 i |^{2}$ 的取值范围是．

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8、从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件 $A :$ 至少抽到一名女生，事件 $B :$ 恰好抽到一名男生，则 $P (B | A) =$ ．

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9、点 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，若 $△ P O F$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ （ $O$ 为坐标原点），则 $|P F| =$ ．

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10、某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布 $N (65, {2.2}^{2})$ ，记作 $X \sim N (65, {2.2}^{2})$ ．规定：这种零食的质量在62.8~69.4g之间的为合格品；则这种零食的合格率为．（结果精确到0.001）；
参考数据：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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11、已知函数 $y = \{\begin{array}{l} x (x - b), x \geq 0 \\ x (b x + 1), x < 0 \end{array}$ 是奇函数，则 $b =$ ．

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12、若直线 $(a - 1) x + y - 1 = 0$ 与直线 $3 x - y = 0$ 平行，则实数a的值为．

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13、在 ${(x + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x$ 的系数为．

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14、不等式 $|x - 2| > 1$ 的解集为．

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15、已知集合 $A = \{3 a\}$ ， $B = \{9, a^{2}\}$ ，若 $A \subseteq B$ ，则实数 $a =$ ．

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16、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $A, B$ 是椭圆 $E$ 的左、右顶点， $F$ 是椭圆 $E$ 的右焦点．过点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $M, N$ 两点（点 $M$ 在 $x$ 轴的上方），直线 $A M, B N$ 分别与 $y$ 轴交于点 $P, Q$ ，试判断 $\frac{|O P|}{|O Q|}$ 是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由．

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17、已知函数 $f (x) = x (1 - \ln x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = e$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、设 $a, b$ 为两个不相等的正数，且 $b \ln a - a \ln b = a - b$ ，证明： $2 < \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < e$ ．

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18、在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是边长为4的菱形， $∠ D A B = 60 °$ ， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A F // D E$ ，且 $A F = \frac{1}{3} D E$ ．

(1)、证明：平面 $A C E ⊥$ 平面 $B D E$ ．

(2)、若平面 $B E F$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{10}$ ，求 $D E$ ．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n} = \frac{2 n - 1}{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

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20、“素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如2､3､ $5 \dots \dots$ 都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如 $(3, 5), (5, 7), (11, 13) \dots \dots$ 都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率=.

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