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相关试卷

1、数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.曲线 $C$ ： ${|x|}^{\frac{1}{2}} + {|y|}^{\frac{1}{2}} = 1$ 就是其中之一，P为曲线 $C$ 上一点，则下列结论正确的有（）

A、曲线 $C$ 恰有2条对称轴和1个对称中心 B、若P在第一象限内，则点P到点 $N (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 的距离和到直线 $y = - x$ 的距离相等 C、曲线 $C$ 所围成的封闭图形的面积小于 $4 - π$ D、若P不在坐标轴上，则曲线 $C$ 在点P处的切线的横纵截距之和为1

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $θ$ 以坐标原点 $O$ 为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点 $P (x_{0}, y_{0})$ ， $| O P | = r (r > 0)$ ，定义 $μ (θ) = \frac{y_{0} + x_{0}}{r}, v (θ) = \frac{y_{0} - x_{0}}{r}$ ，则（）

A、 $μ (\frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ B、 $μ (θ)$ 的最大值为 $2$ C、 $μ^{2} (θ) + v^{2} (θ) = 2$ D、 $μ (π + θ) = v (θ)$

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3、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $O$ 为坐标原点，已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a >$ $0 ， b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，左、右顶点分别为 $A_{1} 、 A_{2} ， P$ 点为双曲线左支上一点且满足 $P F ⊥ x$ 轴，点 $M$ 为线段 $P F$ 上一点，直线 $M A_{1}$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，直线 $M A_{2}$ 交 $y$ 轴于点 $G$ ，若 $|\vec{O E}| = 3 |\vec{O G}|$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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4、设 $a = \log_{0.3} 0.2, b = \log_{2} 0.2$ ，则（）

A、 $a + b < 0 < a b$ B、 $a b < 0 < a + b$ C、 $a + b < a b < 0$ D、 $a b < a + b < 0$

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5、正四面体 $P - A B C$ 中，二面角 $P - A B - C$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6、已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2, 4}, B = \{x \in Z ∣ x^{3} \leq 3 x\}$ ，则如图所示的阴影部分表示的集合为（）

A、 ${- 1, 2, 4}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${- 2, 4}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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7、设函数 $f (x) = x \ln x - a (x^{2} - 1)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线方程为 $x + y - 1 = 0$ ，求 $a$ 的值；

(2)、当 $x > 1$ 时 $f (x) < 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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8、已知公差不为零的正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 15$ ， $a_{3}$ ， $a_{6}$ ， $a_{13}$ 成等比数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = a_{n} \cdot 2^{n}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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9、已知函数 $f (x) = (x^{2} - a x - 1) e^{x - 2}$ ，且 $f^{'} (2) = 4$ .

(1)、求a的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值.

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10、已知在 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是 $\frac{2}{5}$ .

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中的常数项；

(3)、求展开式中的有理项.

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11、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则不等式 $e^{4} f (3 x - 4) > e^{2 x} f (x)$ 的解集为.

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12、设 ${(2 x - 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + a_{4} {(x - 1)}^{4}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ ．

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13、对于函数 $f (x) = \frac{x}{\ln x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, e)$ 上单调递减，在 $(e, + \infty)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 既没有最大值也没有最小值 C、若方程 $f (| x |) = k$ 有4个不等的实数根，则 $k > e$ D、设 $g (x) = | f (x) | - 2 k + 1$ 有3个不同的零点，则 $k > \frac{e + 1}{2}$

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14、现在安排甲、乙、丙、丁、戊五位学生去实习，有3间工厂a、b、c可供选择，每个学生去哪间工厂可自由选择，每位学生只能去其中1间工厂实习，则下列说法正确的有（）

A、五位学生去实习的不同安排方案有125种 B、若每间工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有150种 C、若a工厂必须要有学生去，则不同的实习安排方案有211种 D、若每间工厂必须要有学生去，且甲、乙不去同一间工厂，则不同的实习安排方案有114种

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15、在 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，下列说法正确的是（）

A、各项系数之和为 $1$ B、二项式系数之和为 $32$ C、展开式中二项式系数最大的项是第 $4$ 项 D、展开式中第 $5$ 项为常数项

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16、中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中4块五仁月饼、6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{30}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{6}$

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17、已知 $C_{16}^{x} = C_{16}^{3 x - 4}$ ，则 $C_{7}^{x} =$ （）

A、7 B、21 C、35 D、42

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为点A，B，且 $| A B | = 4$ ，椭圆C离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过椭圆C的右焦点的直线l交椭圆C于M，N两点（异于A、B），直线 $A M$ ， $B N$ 的交于点Q，求证：点Q在直线 $x = 4$ 上．

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq x^{2} - x + 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D,$ $P A = P B = 3$ ， $A B = 2, ∠ A B C = 60 °, M$ 为 $A D$ 的中点．

(1)、证明： $P M ⊥ A C$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $P M C$ 所成角的正弦值．

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