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相关试卷

1、已知在 $△ O A B$ 中，点 $D$ 在线段 $O B$ 上，且 $O D = 2 D B$ ，延长 $B A$ 到 $C$ ，使 $B A = A C$ .设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{O C}$ 、 $\vec{D C}$ ；

(2)、若向量 $\vec{O C}$ 与 $\vec{O A} + k \vec{D C}$ 共线，求 $k$ 的值.

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2、18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体 $Ω$ 的统一体积公式 $V = \frac{1}{6} h (L + 4 M + N)$ （其中 $L$ ， $N$ ， $M$ ， $h$ 分别为 $Ω$ 的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为 $R$ ，可得该球的体积为 $V = \frac{1}{6} \times 2 R (0 + 4 \times π R^{2} + 0) = \frac{4}{3} π R^{3}$ ；已知正四棱锥的底面边长为 $a$ ，高为 $h$ ，可得该正四棱锥的体积为 $V = \frac{1}{6} \times h [0 + 4 \times {(\frac{a}{2})}^{2} + a^{2}] = \frac{1}{3} a^{2} h$ .类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球 $O$ 的表面积为 $16 {πcm}^{2}$ ，若用距离球心 $O$ 都为1cm的两个平行平面去截球 $O$ ，则夹在这两个平行平面之间的几何体 $Π$ 的体积为 ${cm}^{3}$ .

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3、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则函数 $y = g (x)$ 的解析式为.

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4、设 $x 、 y$ 均为正数，且 $x + y = 1$ ，则 $5^{x} + 5^{y}$ 的最小值为.

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5、已知一个正八面体 $A B C E D F$ 如图所示， $A B = \sqrt{2}$ ，则（）

A、 $B E / /$ 平面 $A D F$ B、点 $D$ 到平面 $A F C E$ 的距离为1 C、异面直线 $A E$ 与 $B F$ 所成的角为 $45 °$ D、四棱锥 $E - A B C D$ 外接球的表面积为 $4 π$

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, m)$ ，则（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 5$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = - 1$ C、若 $m = - 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ D、若 $m = 1$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{13}$

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 3, x \leq 0 \\ - 2 + \ln x, x > 0 \end{array}$ ，令 $h (x) = f (x) - k$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的增区间为 $(0, + \infty)$ B、当 $h (x)$ 有3个零点时， $k \in (- 4, - 3)$ C、当 $k = - 2$ 时， $h (x)$ 的所有零点之和为 $- 1$ D、当 $k \in (- \infty, - 4)$ 时， $h (x)$ 有1个零点

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8、已知 $a =$ $\log_{0.2} 0.3$ ， $b = \ln a$ ， $c = 2^{a}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c > b > a$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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9、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 3), \vec{b} = (- 4, 2, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{16}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $- 1$

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10、某学生参与一种答题游戏，需要从A，B，C三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得奖品.若该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其获得奖品的概率为（）

A、0.5 B、0.55 C、0.6 D、0.75

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11、已知 $tan α = - \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{sin α + 2 cos α}{5 cos α - sin α}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $\frac{5}{16}$ D、 $\frac{5}{4}$

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12、已知集合 $A = {3, m}, B = {1, 3, 5}$ ，则 $m = 1$ 是 $A \subseteq B$ 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、既不充分又不必要条件 D、充要条件

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13、复数 $\frac{1 + 3 i}{1 - i}$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $2 i$ D、2

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{2} = 5, a_{n + 2} = 4 a_{n + 1} - 4 a_{n}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求实数 $t$ 的值，使得数列 $\{\frac{S_{n} + t}{2^{n}}\}$ 是等差数列；

(3)、对于数列 $\{b_{n}\}$ ，规定 $\{Δ b_{n}\}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的一阶差分数列，其中 $Δ b_{n} = b_{n + 1} - b_{n}$ ．如果 $\{b_{n}\}$ 的一阶差分数列满足 $|Δ b_{i}| \neq |Δ b_{j}| (\forall i, j \in N^{*}, i \neq j)$ ，则称 $\{b_{n}\}$ 是“绝对差异数列”．判断数列 $\{a_{n}\}$ 是否为“绝对差异数列”并给出证明．

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15、已知点P为圆 $C : (x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 上任意一点， $A (- 2, 0),$ 线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.

(1)、求曲线H的方程；

(2)、若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 $\frac{2}{| O S |} + \frac{1}{| O T |}$ 的取值范围.

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16、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $△ S A D$ 为正三角形，底面 $A B C D$ 为矩形，且平面 $S A D ⊥$ 平面 $A B C D, M, N$ 分别为棱 $S C, A B$ 的中点．

(1)、证明： $M N / /$ 平面 $S A D$ ；

(2)、若 $A B > A D$ ，且二面角 $C - M N - D$ 的大小为120°，求 $\frac{A B}{A D}$ 的值．

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17、2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：
年龄
周平均锻炼时长
合计
周平均锻炼时间少于4小时
周平均锻炼时间不少于4小时
50岁以下
40
60
100
50岁以上（含50）
25
75
100
合计
65
135
200

(1)、试根据 $α = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？ $(χ^{2}$ 精确到0.001 $)$ ；

(2)、现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} \sin B - 2 \sin^{2} \frac{B}{2} = 1$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 边上的一点， $B D = 3$ ，且______，求 $△ A B C$ 的周长.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）
① $B D$ 是 $∠ B$ 的平分线；
② $D$ 为线段 $A C$ 的中点

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19、已知 $x_{1}, x_{2}$ 是函数 $f (x) = 2 sin (\begin{matrix} ω x + φ \end{matrix}) - \sqrt{3} (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的两个零点，且 $| x_{1} - x_{2} |_{min} = \frac{π}{6}$ ，若将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后得到的图象关于 $y$ 轴对称，且函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, θ)$ 恰有2个极值点，则实数 $θ$ 取值范围为.

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20、直线 $2 x \cdot \sin θ + y = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{5} y + 2 = 0$ 截得最大弦长为．

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年龄	周平均锻炼时长		合计
年龄	周平均锻炼时间少于4小时	周平均锻炼时间不少于4小时	合计
50岁以下	40	60	100
50岁以上（含50）	25	75	100
合计	65	135	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828