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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ ， $x \neq 0$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (\frac{1}{x}) = - f (x)$ D、 $f (\frac{1}{x}) = \frac{1}{f (x)}$

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2、下列各组函数中是同一函数的是（）

A、 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ 与 $h (x) = \frac{x^{2}}{x}$ B、 $f (x) = |x|$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $n (x) = x^{2} + 8 x + 15$ 与 $u (x) = (x + 3) (x + 5)$ D、 $v (x) = x^{2}$ 与 $m (x) = \sqrt[3]{x^{6}}$

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3、已知 $\emptyset \neq A \subseteq Z$ ，对于 $k \in A$ ， $k - 1 \notin A$ 且 $k + 1 \notin A$ ，则称 $k$ 为 $A$ 的“孤立元”．给定集合 $A = {x \in N^{*} | - 1 < x \leq 5}$ ，则 $A$ 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（）

A、5 B、7 C、13 D、15

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4、 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，满足 $2 f (x) - f (\frac{1}{x}) = 2 x + 1$ ，则 $f (x)$ 的最小值为（）

A、 $1 + \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、 $1 + \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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5、幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(3, 9)$ ，则 $f (x)$ 是（）

A、偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数 B、偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是增函数 C、奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数 D、非奇非偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是增函数

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6、方程 $a x^{2} + 5 x + 4 = 0 (a \neq 0)$ 有两个异号实根的一个充要条件是（）

A、 $a < 0$ B、 $a > 0$ C、 $a < 2$ D、 $a < - 1$

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7、下列命题为真命题的是（）

A、若 $m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ B、集合 $A = {x | y = x^{2} + 1}$ 与集合 $B = {y | y = x^{2} + 1}$ 是相同的集合 C、任意一个三角形，它的内角和大于或等于 $180^{\circ}$ D、所有的素数都是奇数

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8、若 $a, b \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a \neq b$ ，则 $a^{2} \neq b^{2}$ C、若 $a < |b|$ ，则 $a^{2} < b^{2}$ D、若 $a > |b|$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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9、设全集 $U = \{x \in N |- 2 \leq x \leq 4\}$ ， $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{2, 3\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{0, 4\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 4\}$

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10、若函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在各自定义域内均能取得最大值，且最大值相等，则称 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 为“等峰函数”．

(1)、证明函数 $y = 2 sin x cos x - \sqrt{3} cos 2 x, x \in R$ 与 $y = x - \frac{sinπ x}{π}, x \in [0, 2]$ 是“等峰函数”；

(2)、已知 $f (x) = \frac{ln x}{x^{a}}$ 与 $g (x) = \frac{x^{a}}{e^{x}} (x > 0)$ 为“等峰函数”．
①求实数a的值；
②判断命题：“ $\exists x_{0}, x_{1}, x_{2} \in R, f (x_{1}) = f (x_{0}) = g (x_{2})$ ，且 $x_{1} x_{2} = x_{0}^{2}$ ”的真假，并说明理由．

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11、甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色外，其他均相同．现从甲乙两袋中各自任取一个球，且交换放入另一袋中，重复进行n次这样的操作后 $(n \in N^{*})$ ，记甲袋中的白球数为 $X_{n}$ ，甲袋中恰有一个白球的概率为 $p_{n}$

(1)、求 $p_{1}, p_{2}$ ；

(2)、求 $p_{n}$ 的解析式；

(3)、求 $E (X_{n})$ ．

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12、已知函数 $f (x) = {log}_{\frac{5}{4}} (- x^{2} + 2 λ x + 1)$ 的定义域为 $D$ ， $g (x) = \frac{x - λ}{x^{2} + 1}$

(1)、若 $λ = \frac{3}{4}$ ，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、若 $D = (m, n)$ ，且 ${[g (m) - g (n)]}^{2} \leq 10$ ，求实数 $λ$ 的取值范围．

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13、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a = 6, △ A B C$ 的面积 $S = c^{2} sin A$

(1)、若 $cos A = \frac{1}{4}$ ，求b的值；

(2)、求内角C取得最大值时 $△ A B C$ 的面积.

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14、平面向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 满足 $|\vec{e_{1}}| = |\vec{e_{2}}| = 1, ⟨\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}⟩ = \frac{π}{2}, \vec{a} = \vec{e_{1}} + t \vec{e_{2}}, \vec{b} = t \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$

(1)、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量恰为 $\vec{a}$ 的相反向量，求实数t的值；

(2)、若 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 为钝角，求实数t的取值范围．

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15、若关于 $x$ 的方程 $ln x + |1 + \frac{m}{x}| = 1$ 有且仅有两个实根，则实数 $m$ 的取值范围为

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16、已知 $sin (α + β) = \frac{2}{3}$ ， $tan α = 3 tan β$ 则 $c o s (2 α - 2 β) =$

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17、某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为

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18、已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + m x - 3$ ，则（）

A、当 $m \leq 3$ 时，函数 $f (x)$ 有两个极值 B、过点 $(0, 1)$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线有且仅有一条 C、当 $m = 1$ 时，若 $b$ 是 $a$ 与 $c$ 的等差中项，直线 $a x - b y - c = 0$ 与曲线 $y = f (x)$ 有三个交点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2}), R (x_{3}, y_{3})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 6$ D、当 $m = 0$ 时，若 $- 1 < x < - \frac{1}{2}$ ，则 $- 3 < f (x) < f (\frac{3}{2} x - \frac{1}{4}) < 1$

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19、定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{2}) f (\frac{x - y}{2}), f (1) = 1$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (0) = 2$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、6是 $f (x)$ 的一个周期 D、 $\sum_{k = 0}^{2024} f^{2} (\frac{k}{2}) = 4052$

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20、下列结论正确的是（）

A、随机变量X服从二项分布 $B (3, \frac{1}{2}), Y = 2 X + 1$ ，则 $D (Y) = 3$ B、数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ 的平均数为2，则 $3 x_{1} + 1, 3 x_{2} + 1, 3 x_{3} + 1, \dots, 3 x_{n} + 1$ 的平均数为6 C、数据2，4，6，8，10，12，14的第60百分位数是10 D、随机变量X服从正态分布 $N (5, σ^{2})$ ，且 $P (2 < X < 5) = a$ ，则 $P (X > 8) = 1 - a$

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