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相关试卷

1、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组 $[20, 25)$ 、第2组 $[25, 30)$ 、第3组 $[30, 35)$ 、第4组 $[35, 40)$ 、第5组 $[40, 45]$ ．

(1)、求图中 $x$ 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 $[35, 40)$ 的人数；

(2)、估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数；

(3)、若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．

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2、 $A B = A D = 1, A A_{1} = 2, ∠ B A D = \frac{π}{2}, ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = \frac{π}{3}$ ．

(1)、用向量 $\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A A_{1}}$ 表示向量 $\vec{B D_{1}}$ ，并求 $|\vec{B D_{1}}|$ ；

(2)、求 $\cos ⟨{\vec{B D}}_{1}, \vec{A C}⟩$ ．

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3、已知点 $A (1, 0, 0)$ ， $B (0, 1, 0)$ ， $C (0, 3, 2)$ ，则点C到直线 $A B$ 的距离为.

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4、抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（）

A、甲、乙对立 B、甲、丙互斥 C、甲、乙相互独立 D、乙、丙相互独立

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5、两条异面直线 $a, b$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，在直线 $a, b$ 上分别取点 $A, E$ 和点 $B, F$ ，使 $A B ⊥ a$ ，且 $A B ⊥ b$ .已知 $A E = 6, B F = 8, E F = 14$ ，则线段 $A B$ 的长为（）

A、 $20$ 或 $12$ B、 $12$ 或 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ 或 $8 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$ 或 $20$

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6、某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位： $cm$ ） $A : x < 155$ ， $B : 155 \leq x < 160$ ， $C : 160 \leq x < 165$ ， $D : 165 \leq x < 170$ ， $E : x \geq 170$ ，利用所得数据绘制如下统计图表：
根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（）

A、身高在 $155 \leq x < 160$ 区间的男生比女生多 $3$ 人 B、B组中男生和女生占比相同 C、超过一半的男生身高在 $165 cm$ 以上 D、女生身高在 $E$ 组的人数有 $2$ 人

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7、已知 $z$ 轴上一点 $M$ 到点 $A (1, 0, 2)$ 与点 $B (1, - 3, 1)$ 距离相等，则点 $M$ 的竖坐标为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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8、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A D_{1}$ 与 $D B_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、0 D、1

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9、据统计，2023年12月成都市某区域一周 $A Q I$ 指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（）

A、45 B、50 C、51 D、53

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10、已知函数 $f (x) = x - \frac{2 k}{x}$ ．

(1)、若方程 $f (x) = k$ 恰有两个不等的负根，求实数k的取值范围；

(2)、若 $h (x) = |f (x) - 2 k|$ ，
①求 $h (x)$ 在 $[1, 2]$ 上的最大值 $g (k)$ ；
②在①的条件下，对 $\forall m \in [0, 1]$ ，总存在 $k \in [- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ ，使得 $t m^{2} - 2 m + t - 1 = g (k)$ 成立，求实数t的取值范围．

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11、已知函数 $f (x) = \frac{2 x - n}{4 + x^{2}}$ 是定义在 $[- 2, 2]$ 上的奇函数．

(1)、求n的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上的单调性，并用单调性的定义证明；

(3)、设 $h (x) = |f (x)|$ ，解不等式 $h (2 t - 1) > h (1 - t)$ ．

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12、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 3 x + 2$ ．

(1)、若 $f (x) < 0$ 的解集为 $\{x |1 < x < b\}$ ，求不等式 $2 b x^{2} + a x - 3 > 0$ 的解集；

(2)、若 $g (x) = f (x) - a x + 1 (a \geq 0)$ ，求不等式 $g (x) < 0$ 的解集．

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13、已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $x^{2} - m x + m > 0$ ，命题q：集合 $A = \{x |m x^{2} - 3 x + 1 = 0, m \in R\}$ 中至多有一个元素．

(1)、若p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)、若q为真命题，求实数m的取值范围．

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14、已知集合 $A = \{x |0 \leq x \leq 2\}$ ， $B = \{x |a - 3 \leq x \leq a\}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B$ ， $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数a的取值范围．

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15、若对 $\forall x \in (0, + \infty)$ ，不等式 $(a x + 1) (x - \sqrt{b}) \leq 0$ 恒成立，则 $a^{2} + 2 a b + 2 a + b$ 的最小值为．

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16、已知函数 $f (x)$ 是偶函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 3 x$ ，则当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ 的解集为．

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2, x < 4 \\ |x - 6| + 4, x \geq 4 \end{array}$ ，则 $f [f (\sqrt{2})] =$ ．

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18、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a b = a + b + 8$ ，下列说法正确的是（）．

A、 $a + b$ 的最小值为8 B、 $a^{2} + b^{2}$ 的最大值为32 C、 $\frac{1}{1 - a} + \frac{1}{1 - b}$ 的最大值为 $- \frac{2}{3}$ D、 $3 a + b$ 的最小值为 $6 \sqrt{3} + 4$

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x (x - 4), x \geq 0 \\ - x (x - 4), x < 0 \end{array}$ ，下列说法正确的是（）．

A、直线 $x = 2$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称轴 B、若函数 $f (x)$ 在 $(0, m)$ 单调递减，则 $0 < m \leq 2$ C、当 $0 \leq x \leq 4$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[- 4, 0]$ D、对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ 成立

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20、下列命题为真命题的是（）．

A、若 $a > b > 0$ ， $c > d > 0$ ，则 $a c < b d$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a^{2}} < \frac{1}{b^{2}}$ C、若 $2 < a < 4$ ， $- 4 < b < 3$ ，则 $2 < a + b < 7$ D、若 $b > a > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m}$

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