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相关试卷

1、下列命题中的真命题是（）

A、若直线a不在平面 $α$ 内，则a∥ $α$ B、若直线l上有无数个点不在平面 $α$ 内，则l∥ $α$ C、若l∥ $α$ ，则直线l与平面 $α$ 内任何一条直线都没有公共点 D、平行于同一平面的两直线可以相交

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2、“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆 $O$ 的半径2，点 $P$ 是圆 $O$ 内的定点，且 $O P = \sqrt{2}$ ，弦 $A C, B D$ 均过点 $P$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 为定值 B、当 $A C ⊥ B D$ 时， $\vec{A B} \cdot \vec{C D}$ 为定值 C、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C}$ 的取值范围是 $[- 4, 0]$ D、 $|\vec{A C}| \cdot |\vec{B D}|$ 的最大值为12

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3、已知平面向量 $\vec{a} = (\sin α, \sqrt{2})$ ， $\vec{b} = (\cos α, 1)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、0 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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4、在下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0)$ ， $\vec{e_{2}} = (1, 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5, - 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (3, 5)$ ， $\vec{e_{2}} = (6, 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (- 2, 3)$

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5、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < π)$ 的图象如图所示，点 $B$ ， $D$ ， $F$ 为 $f (x)$ 与 $x$ 轴的交点，点 $C$ ， $E$ 分别为 $f (x)$ 的最高点和最低点，而函数 $f (x)$ 的相邻两条对称轴之间的距离为 $2$ ，且其在 $x = - \frac{1}{2}$ 处取得最小值.

(1)、求参数 $ω$ 和 $φ$ 的值；

(2)、若 $A = 1$ ，求向量 $2 \vec{B C} - \vec{C D}$ 与向量 $\vec{C B} + 3 \vec{C D}$ 的夹角；

(3)、若点 $P$ 为 $f (x)$ 函数图象上的动点，当点 $P$ 在 $C$ ， $E$ 之间运动时， $\vec{B P} \cdot \vec{P F} \geq 1$ 恒成立，求 $A$ 的取值范围.

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6、如图，平行四边形 $O A D B$ 的两条对角线相交于点C，点 $M, N$ 满足 $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ， $\vec{C N} = \frac{1}{3} \vec{C D}$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，且 $|\vec{b}| = \sqrt{3} |\vec{a}|$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{M N}$ ；

(2)、若 $M N ⊥ A B$ ，求 $∠ A O B$ ．

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7、已知向量 $\vec{a} = (2 \sin x, \sqrt{3} \cos x)$ ， $\vec{b} = (\sin x, 2 \sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 图象的对称轴；

(2)、若 $f (x) < \frac{m}{10}$ 在 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 上有解，求整数m的最小值．

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8、在① $\tan α = 4 \sqrt{3}$ ， ② $7 \sin 2 α = 8 \sqrt{3} \cos α$ ， ③ $\tan \frac{α}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.
已知 $0 < β < α < \frac{π}{2}$ ， _____， $\cos (α - β) = \frac{13}{14}$ .
（1）求 $\sin (α + \frac{5 π}{6})$ 的值；
（2）求 $β$ .

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9、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) = - 6$ ，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$

(3)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ .

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10、已知 $\tan \frac{α}{2} = \frac{1}{2}$ ，求

(1)、 $\sin α, \cos α$ 及 $\tan α$ 的值；

(2)、 $\sin (α - \frac{π}{4})$

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11、如图，在△ABC中， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， M是BC边上的中点，P是AM上一点，且满足 $\vec{B P} = \frac{1}{3} \vec{B A} + m \vec{B C}$ ，则 $\vec{B P} \cdot \vec{A M} =$ .

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12、已知扇形的圆心角为 $120^{\circ}$ ，弧长为 $π$ ，则该扇形的面积为．

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13、将函数 $f (x) = \sin \frac{1}{2} ω x (ω > 0)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{4 ω}$ 个单位长度，所得图象对应的函数为 $g (x)$ ，若 $g (x)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有5个零点，则（）

A、 $g (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4})$ B、 $g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{20})$ 单调递增 C、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{19}{4}, \frac{23}{4})$ D、 $y = g (x) - 1$ 在 $(0, π)$ 有且仅有3个零点

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14、对于任意的两个向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $λ \in R$ ，下列命题一定正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ B、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | = λ$ C、 $| \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$ D、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | \leq | \vec{a} | | \vec{b} |$

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15、已知 $M$ 是边长为1的正 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上的动点， $N$ 为 $A B$ 的中点，则 $\vec{B M} \cdot \vec{M N}$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{4}, - \frac{23}{64}]$ B、 $[- \frac{3}{4}, - \frac{1}{2}]$ C、 $[- \frac{2}{5}, - \frac{1}{5}]$ D、 $[- \frac{3}{5}, - \frac{23}{64}]$

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16、已知 $|\vec{a}| = 2$ ， $\vec{b} = (0, - 1)$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、0° B、90° C、135° D、180°

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17、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 中点，那么向量 $\frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A E}$ 等于（）

A、 $\vec{A B}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\vec{B C}$ D、 $\vec{B E}$

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18、若角 $θ$ 的终边与单位圆的交点坐标是 $(a, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，则 $\cos (\frac{π}{2} + θ) =$ (　　)

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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19、下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0)$ ， $\vec{e_{2}} = (1, - 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ C、 $\vec{e_{1}} = (3, 5)$ ， $\vec{e_{2}} = (6, 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5, 7)$

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $\sin C = \frac{c}{3} \cos \frac{B}{2}$ ， $b = 3$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 的面积范围.

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