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相关试卷

1、下列判断不正确的有（）

A、函数 $f (x) = \frac{|x|}{x}$ 与 $g (x) = \{\begin{matrix} 1, x \geq 0 \\ - 1, x < 0 \end{matrix}$ 表示同一函数 B、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 1$ 的交点最多有1个 C、函数 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ 是同一函数 D、函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ 是增函数

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2、黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是： $R (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{q}, x = \frac{p}{q}, p, q \in N^{*}, \frac{p}{q} 为既约真分数 \\ 0, x = 0, 1 或 (0, 1) 上的无理数 \end{cases}$ （注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），若 $f (x)$ 是奇函数，且 $f (2 - x) + f (x) = 0$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = R (x)$ ，则 $f (\frac{\sqrt{2}}{2}) - f (\frac{17}{5}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{7}{10}$

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3、如图的曲线是幂函数 $y = x^{n}$ 在第一象限内的图象.已知 $n$ 分别取 $\pm 2, \pm \frac{1}{2}$ 四个值，与曲线 $C_{1} ､ C_{2} ､ C_{3} ､ C_{4}$ 相应的 $n$ 依次为（）

A、 $2, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - 2$ B、 $2, \frac{1}{2}, - 2, - \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}, - 2, 2, \frac{1}{2}$ D、 $- 2, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2$

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4、函数 $y = x^{2} - b x + c$ 的零点为1，2，则不等式 $x^{2} - c x - b > 0$ 的解集为（）

A、 ${x | - 1 < x < 3}$ B、 ${x | x < - 3$ 或 $x > 1}$ C、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 3}$ D、 ${x | - 3 < x < 1}$

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5、已知集合 $M = \{x | x - 1 < 2, x \in N^{*}\}$ ， $N = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{2, 3\}$

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6、在平面内，若直线 $l$ 将多边形分为两部分，且多边形在 $l$ 两侧的顶点到 $l$ 的距离之和相等，则称 $l$ 为多边形的一条“等线”.已知双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : 3 x^{2} - y^{2} = 1$ 有相同的离心率， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $C_{1}$ 的左、右焦点， $P$ 为双曲线 $C_{1}$ 右支上一动点，双曲线 $C_{1}$ 在点 $P$ 处的切线 $l_{1}$ 与双曲线 $C_{1}$ 的渐近线交于 $A$ 、 $B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 上方），当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴时，直线 $y = \sqrt{3}$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的等线.

(1)、求双曲线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、若 $y = \sqrt{2} x$ 是四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的等线，求四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积；

(3)、已知 $O$ 为坐标原点，直线 $O P$ 与双曲线 $C_{2}$ 的右支交于点 $Q$ ，试判断双曲线 $C_{2}$ 在点 $Q$ 处的切线 $l_{2}$ 是否为 $△ A F_{1} F_{2}$ 的等线，请说明理由.
【注】双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 在其上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 处的切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ .

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7、已知动点 $M$ 到点 $(0, \frac{3}{2})$ 的距离比它到直线 $y + 3 = 0$ 的距离小 $\frac{3}{2}$ ，记动点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求轨迹 $C$ 的方程.

(2)、已知直线 $l : y = k x + 3$ 与轨迹 $C$ 交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，且 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 相交于点 $P$ .若 $| A B | = | A P |$ ，求 $k$ .

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8、已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (- 2, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，顶点 $C$ 满足 $3 | C A | = 2 | C B |$ ，记顶点 $C$ 的轨迹为 $W$ .

(1)、求曲线 $W$ 的方程.

(2)、过点 $A$ 的直线 $l$ （斜率不为0）与曲线 $W$ 交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由.

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点到其焦点的距离的最大值为16，最小值为4.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为 $(- 3, - 4)$ ，求直线 $l$ 的方程.

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10、双曲线 $C$ 以椭圆 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ 的焦点为顶点，长轴的顶点为焦点，则双曲线 $C$ 的标准方程为，渐近线方程为.

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11、已知向量 $\vec{a} = (5, 9, 1), \vec{b} = (2, 1, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的模为.

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是 $C$ 上任意一点，则下列结论正确的是（）

A、若存在点 $P$ ，使得 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、若存在点 $P$ ，使得 $| O P | = \frac{a}{2}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ C、若存在点 $P$ ，使得 $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若存在点 $P$ ，使得 $| O P | = \frac{2 a}{3}$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{66}}{9}$

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13、已知直线 $l_{1} : a x + (a + 1) y - 5 = 0$ ，直线 $l_{2} : 3 x - 4 y + 5 = 0$ ，圆 $C : {(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $a = - \frac{3}{7}$ B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = - 4$ C、若 $l_{1}$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B |_{min} = 2$ D、过 $l_{2}$ 上一点 $P$ 向圆 $C$ 作切线，切点为 $Q$ ，则 $| P Q |_{min} = \sqrt{7}$

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14、过抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点作圆 $P : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，该切线交抛物线C于A，B两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $12 \sqrt{3}$ B、14 C、15 D、16

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15、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{B F} = \frac{3}{4} \vec{B D_{1}}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{12} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{3}{4} \vec{A A_{1}}$ B、 $\frac{1}{12} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A D} + \frac{3}{4} \vec{A A_{1}}$ C、 $- \frac{1}{12} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{A A_{1}}$ D、 $- \frac{1}{12} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A D} + \frac{3}{4} \vec{A A_{1}}$

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16、已知椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其中离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $(0, 1)$ 的直线 $l$ 被椭圆 $C$ 截得的弦长为 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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17、如图所示，已知直四棱柱 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形，且 $∠ B A D = 60 °$ ， $A A^{'} = 1$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $C^{'} D^{'}$ ， $C C^{'}$ ， $B C$ 的中点，则异面直线 $G E$ ， $A^{'} F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{7}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{14}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{14}$

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18、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $C B ⊥ B D$ ， $∠ C_{1} C D = 45 °$ ， $∠ C_{1} C B = 60 °$ ， $C C_{1} = C B = B D = 1$ .

(1)、以向量 $\{\vec{C B}, \vec{C D}, \vec{C C_{1}}\}$ 为基底表示向量 $\vec{C A_{1}}$ ，求对角线 $C A_{1}$ 的长度；

(2)、求异面直线 $C A_{1}$ 与 $D A$ 所成角的余弦值.

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19、已知 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ 的两个焦点， $P$ 为双曲线 $C$ 上任意一点，则（）

A、 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = 2 \sqrt{3}$ B、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、双曲线 $C$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $|\overset{⃑}{P F_{1}} + {\overset{⃑}{P F}}_{2}| \geq 2 \sqrt{3}$

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20、如图①，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = 2 B C = 6$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， E，F分别为AB，AC上的点， $E F // B C$ ， $A E = 2 E B$ ．如图②，将 $△ A E F$ 沿EF折起，当四棱锥 $A - B C F E$ 的体积最大时，点E到平面ACF的距离为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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