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相关试卷

1、消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期，在全市范围内抽取 $2000$ 名城乡居民进行调查，并运用数学方法对调查数据进行量化处理，编制成消费者信心指数．该市 $2023 - 2025$ 年各季度消费者信心指数数据如下：

第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
2023年消费者信心指数
115.1
114.6
109.0
108.4
2024年消费者信心指数
108.4
105.9
95.5
94.7
2025年消费者信心指数
99.1
95.3
95.8
103.3
消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数 $t \in [0, 100)$ 时，消费者信心处于弱信心区间，信心指数 $t \in [100, 200)$ 时，消费者信心处于强信心区间．假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计概率．

(1)、从上述 $12$ 个季度中随机抽取 $1$ 个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率；

(2)、从2024年和2025年各随机抽取1个季度，记这2个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、2025年3月国家发布《提振消费专项行动方案》．记2025年第 $i$ 季度消费者信心指数较上一季度的增长率为 $x_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ ．据估计：2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 中的最大值，写出2026年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明）

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2、已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y, (p > 0)$ 的焦点F到直线 $y = x - 1$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，不过原点的直线l与C交于A，B两点．

(1)、求C的标准方程；

(2)、若直线l的方程为 $y = 2 x - 1$ ，求 $|A B|$ ；

(3)、若OA垂直于OB，求证：直线l过定点．

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 a x - 2$

(1)、若 $f (x) > 0$ 在 $x \in [1, 4]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > (a + 3) x + 3 a - 2$ .

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C, A B ⊥ B C, P A = A B = A D = 2, B C = 1, △ P B D$ 是等边三角形， $E, F$ 分别是棱 $B P, C D$ 的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $E F$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足 $\vec{F_{1} A} = 2 \vec{F_{2} B}$ ，则椭圆C离心率的取值范围是．

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6、已知 $\frac{cos α}{2 cos α + sin α} = \frac{1}{4}$ ，则 $tan (α + \frac{π}{4}) =$ ．

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7、在 ${(3 x - 2 y)}^{7}$ 的展开式中，最大的二项式系数为.（用数字作答）

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8、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n}$ ， $S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ ，则（　　）

A、 $a_{n} = n \times 2^{n - 1}$ B、 $a_{n} = n \times 2^{n}$ C、 $S_{n} = n \times 2^{n} - 1$ D、 $S_{n} = (n - 1) \times 2^{n} + 1$

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9、已知样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{5}$ 的平均数是3，方差是2，样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{5}$ 的平均数是1，方差是4，则下列结论正确的是（）．

A、数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， …， $2 x_{5} + 1$ 的平均数是7 B、数据 $2 y_{1} - 1$ ， $2 y_{2} - 1$ ， …， $2 y_{5} - 1$ 的方差是16 C、数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{5}$ ， $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{5}$ 的平均数为3 D、数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{5}$ ， $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{5}$ 的方差为4

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10、将函数 $y = sin x - \sqrt{3} cos x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = - 2 cos x$ B、 $f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = 2 cos x$ D、 $f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{6})$

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11、从1，2，4，5，7，8这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的奇数个数是（）．

A、24 B、36 C、60 D、120

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12、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} x$

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13、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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14、若正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足对于给定的正数 $λ$ ， $μ (λ < μ)$ ， $\forall n \in N^{*}$ ， $λ \leq a_{n} S_{n} \leq μ$ （ $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前n项和），则称 $\{a_{n}\}$ 为“ $(λ, μ)$ 稳定数列”.

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为“ $(1, 3)$ 稳定数列”，且 $a_{1} = 1$ ，求 $a_{2}$ 的取值范围.

(2)、若 $a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{n}$ ，证明：数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $(1, 2)$ 稳定数列”.

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 为“ $(λ, μ)$ 稳定数列”，证明 $\forall n \in N^{*}$ ， $λ n \leq S_{n}^{2} < 2 μ n + a_{1}^{2}$ ．

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且过点 $A (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ ．

(1)、求椭圆C的方程.

(2)、设B为椭圆C的右顶点，过点 $P (1, 0)$ 的直线l与椭圆C交于M，N两点（异于点B）．
（ⅰ）记直线 $B M, B N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值.
（ⅱ）求 $△ B M N$ 的面积的取值范围.

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16、已知函数 $f (x) = a^{2} x^{2} + a x - ln x$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，求a的取值范围.

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， E是PC的中点.

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $B D E$ ．

(2)、若 $A B = A P = 2$ ，求二面角 $P - B D - E$ 的余弦值.

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18、某医院调查安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度，得到如下列联表：
单位：人
义肢类型
满意度
合计
满意
不满意
传统义肢
60
40
100
智能义肢
80
20
100
合计
140
60
200

(1)、任选3位安装智能义肢的截肢患者，若每位患者能完成精细抓握的概率均为0.8，求其中至少有2人能完成精细抓握的概率；

(2)、依据 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为安装义肢的截肢患者对义肢使用的满意度与义肢类型有关？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$
$α$
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
7.879
10.828

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19、若对于任意的 $a \in R$ ，关于x的方程 $|sin x + cos x| + |sin x cos x| = m$ 在 $[a,π + a]$ 上始终有解，则m的取值范围为.

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20、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃被分成如图所示的5个部分.现栽种3种不同品种的花，花圃的每部分只栽种一种品种的花，有公共边的部分（仅有1个公共点的两个部分不认为有公共边）不能栽种相同品种的花，且3种品种的花都有栽种，则不同的栽种方法数为.

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	第一季度	第二季度	第三季度	第四季度
2023年消费者信心指数	115.1	114.6	109.0	108.4
2024年消费者信心指数	108.4	105.9	95.5	94.7
2025年消费者信心指数	99.1	95.3	95.8	103.3

义肢类型	满意度		合计
义肢类型	满意	不满意	合计
传统义肢	60	40	100
智能义肢	80	20	100
合计	140	60	200

$α$	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	7.879	10.828