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相关试卷

1、点 $P$ 在边长为 $1$ 的正三角形 $A B C$ 的外接圆上，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2、设 $m, n$ 为两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不同的平面，则下列说法一定成立的是（）

A、若 $α ∥ β$ ， $m ∥ α$ ，则 $m ∥ β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $γ ⊥ β$ ，则 $α ∥ γ$ C、若 $m ∥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $m, n$ 与 $α$ 所成角相等，则 $m ∥ n$

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3、已知平行四边形 $A B C D$ 的顶点 $A (0, 1)$ ，边 $A B$ 所在直线方程是 $x - y + 1 = 0$ ，对角线的交点为 $M (2, 2)$ ，边 $C D$ 所在直线方程为（）

A、 $x - y - 1 = 0$ B、 $x - y + 2 = 0$ C、 $x + y - 1 = 0$ D、 $x + y - 3 = 0$

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4、已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $e^{x} + e^{- x} \geq 2$ ，命题 $q$ ： $\exists x \in (0, 10)$ ， $\sqrt{x (10 - x)} > 5$ ，则（）

A、命题 $p$ 与 $q$ 均为真命题 B、命题 $p$ 与 $\neg q$ 均为真命题 C、命题 $\neg p$ 与 $q$ 均为真命题 D、命题 $\neg p$ 与 $\neg q$ 均为真命题

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5、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ （）

A、8 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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6、已知 $z \cdot (1 - 3 i) = 10$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 - 3 i$ B、 $1 + 3 i$ C、 $3 i$ D、 $- 3 i$

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7、对于数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ ，如果存在正整数 $n_{0} \geq 3$ ，当任意正整数 $n \leq n_{0}$ 时均有 $b_{1} < a_{1} < b_{2} < a_{2} < \dots < a_{n - 1} < b_{n} < a_{n}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为 $\{b_{n}\}$ 的“ $n_{0}$ 项递增相伴数列”．若 $n_{0}$ 可取任意的正整数，则称 $\{a_{n}\}$ 为 $\{b_{n}\}$ 的“无限递增相伴数列”．

(1)、已知 $b_{n} = 2^{n}$ ，请写出一个数列 $\{b_{n}\}$ 的“无限递增相伴数列 $\{a_{n}\}$ ”，并说明理由？

(2)、若 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} + b_{n} = 6 n - 2$ ，其中 $\{b_{n}\}$ 是首项 $b_{1} = 1$ 的等差数列，当 $\{a_{n}\}$ 为 $\{b_{n}\}$ 的“无限递增相伴数列”时，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(3)、已知等差数列 $\{b_{n}\}$ 和正整数等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n} = k^{2024 - n} {(k + 1)}^{n - 1} (n = 1, 2, \dots, 2024)$ ，其中k是正整数，求证：存在正整数k，使得 $\{a_{n}\}$ 为 $\{b_{n}\}$ 的“2024项递增相伴数列”．

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8、已知函数 $f (x) = 1 - x [{(\ln x)}^{a} - x], a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = \frac{1}{e}$ 处切线的斜率为 $\frac{2}{e}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = 2$ 时， $\forall x \in [1, + \infty), f (x) - m x \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值；

(3)、当 $a = 2$ 时，证明： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{2}{\sqrt{{(2 i)}^{2} - 1}} > \ln (2 n + 1), n \in N^{*} .$

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9、如图1，在五边形 $A B C D E$ 中， $A B = B D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $E A = E D$ 且 $E A ⊥ E D$ ，将 $△ A E D$ 沿 $A D$ 折成图2，使得 $E B = A B$ ， $F$ 为 $A E$ 的中点．

(1)、证明： $B F //$ 平面 $E C D$ ；

(2)、若 $E B$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $30 °$ ，求二面角 $A - E B - D$ 的正弦值．

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10、在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀.
分数
69
73
74
75
77
78
79
80
人数
2
4
4
2
3
4
6
3
分数
82
83
85
87
89
93
95
合计
人数
3
4
4
5
2
3
1
50
经计算样本的平均值 $μ \approx 81$ ，标准差 $σ \approx 6.2$ .为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为 $X$ ，并根据以下不等式进行评判.
① $P (μ - σ < X < μ + σ) \geq 0.6827$ ；② $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \geq 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \geq 0.9973$ .
评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷.

(1)、试判断该份试卷被评为哪种等级；

(2)、按分层随机抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量 $ξ$ 表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量 $ξ$ 的分布列和均值.

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11、现有标号依次为 $1, 2, 3$ 的盒子，标号为1的盒子里面有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里面取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里面取出2个球放入3号盒子，则3号盒子里面是2个红球和2个白球的概率为.

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12、设曲线 $f (x) = a e^{x} + b$ 和曲线 $g (x) = \cos \frac{π x}{2} + c$ 在它们的公共点 $P (0, 2)$ 处有相同的切线，则 $b^{a} + c$ 的值为.

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13、 $(1 - a x^{2}) {(1 + x)}^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为12，则 $a =$ ．

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14、已知曲线 $E : \frac{x |x|}{4} + \frac{y |y|}{8} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $y$ 随着 $x$ 增大而减小 B、曲线 $E$ 的横坐标取值范围为 $[- 2, 2]$ C、曲线 $E$ 与直线 $y = - 1.4 x$ 相交，且交点在第二象限 D、 $M (x_{0}, y_{0})$ 是曲线 $E$ 上任意一点，则 $|\sqrt{2} x_{0} + y_{0}|$ 的取值范围为 $(0, 4]$

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15、已知函数 $f (x) = x^{3} - m x^{2}$ ， $x = 2$ 是函数 $f (x)$ 的一个极值点，则下列说法正确的是（）

A、 $m = 3$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 2)$ 上单调递减 C、过点 $(1, - 2)$ 能作两条不同直线与 $y = f (x)$ 相切 D、函数 $y = f [f (x)] + 2$ 有5个零点

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16、已知 $X$ ， $Y$ 都是服从正态分布的随机变量，且 $X \sim N (μ_{1}, σ_{1}^{2})$ ， $Y ~ N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ ，其中 $μ_{1}, μ_{2} \in R$ ， $σ_{1}, σ_{2} \in R^{+}$ ，则下列命题正确的有（）

A、 $E (X) = μ_{1}$ B、 $D (X) = σ_{1}$ C、若 $μ_{1} = 2$ ， $σ_{1} = 1$ ，则 $P (X \leq 1) + P (X \leq 3) = 1$ D、若 $μ_{1} = μ_{2} = 0$ ， $σ_{1} = 2$ ， $σ_{2} = 3$ ，则 $P (| X | \leq 1) > P (| Y | \leq 1)$

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17、设 $ω > 0$ ，已知函数 $f (x) = \sin (3 ω x - \frac{π}{4}) \sin (2 ω x + \frac{5π}{6})$ 在 $(0, π)$ 上恰有6个零点，则 $ω$ 取值范围为（）

A、 $(\frac{19}{12}, \frac{7}{4}]$ B、 $(\frac{17}{12}, \frac{19}{12}]$ C、 $(\frac{13}{12}, \frac{17}{12}]$ D、 $(\frac{3}{4}, \frac{13}{12}]$

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - \frac{1}{4 x - 4}, x \leq \frac{3}{4} \\ \log_{a} (4 x) - 1, x > \frac{3}{4} \end{cases}$ 是 $R$ 上的单调函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, \sqrt{3}]$ C、 $(1, \sqrt{3})$ D、 $(1, 3)$

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19、若 $2 sin (α + \frac{π}{3}) = cos (α - \frac{π}{3})$ ，则 $tan (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- 4 - \sqrt{3}$ B、 $- 4 + \sqrt{3}$ C、 $4 - \sqrt{3}$ D、 $4 + \sqrt{3}$

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20、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 4)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、8

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分数	69	73	74	75	77	78	79	80
人数	2	4	4	2	3	4	6	3
分数	82	83	85	87	89	93	95	合计
人数	3	4	4	5	2	3	1	50