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相关试卷

1、下列说法正确的是（）

A、若直线的一个方向向量为 $(2, 3)$ ，则该直线的斜率为 $k = \frac{3}{2}$ B、“ $a = - 1$ ”是“直线 $x - a y - 2 = 0$ 与直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 互相垂直”的充要条件 C、当点 $P (3, 2)$ 到直线 $m x - y + 1 - 2 m = 0$ 的距离最大时，m的值为 $- 1$ D、已知直线l过定点 $P (1, 0)$ 且与以 $A (2, - 3), B (- 3, - 2)$ 为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 $(- \infty, - 3] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$

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2、已知椭圆E的焦点为 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ ，过 $F_{2}$ 的直线与椭圆E交于A，B两点若 $| A B | = |B F_{1}|, |A F_{2}| = 2 |F_{2} B|$ ，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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3、若 $\sin (α + \frac{3 π}{2}) + 3 \cos (α - \frac{π}{2}) = 0$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\pm \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\pm \frac{3}{5}$

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4、已知圆 $x^{2} + y^{2} = 3$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + x + y - 5 = 0$ 相交，则相交的公共弦长为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、5 D、2

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5、设 $a = 2^{1.1}$ ， $b = \lg 2$ ， $c = \ln \frac{1}{2}$ 则a、b、c的大小顺序为( )

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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6、已知直线l倾斜角为 $\frac{2 π}{3}$ ，且过点 $A (4, 1)$ ，则直线l的方程为（）

A、 $y - 1 = - \frac{\sqrt{3}}{3} (x - 4)$ B、 $y - 1 = \frac{\sqrt{3}}{3} (x - 4)$ C、 $y - 1 = - \sqrt{3} (x - 4)$ D、 $y - 1 = \sqrt{3} (x - 4)$

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7、已知 $(1 + i) \bar{z} = 1 + 3 i$ ，则复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、1 B、 $- 1$ C、i D、2

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8、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 4 x \leq 0\}, B = {x ∣ - 2 < x < 2}$ ，则 $A \cap ∁_{R} B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ B、 ${x ∣ - 1 \leq x \leq 2}$ C、 ${x ∣ 2 < x < 4}$ D、 ${x ∣ 2 \leq x \leq 4}$

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9、已知点E是圆C： ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点，点 $F (- 3, 0)$ ， M是线段EF的中点，P（m，0）（ $m \neq 0$ ）是x轴上的一个动点．

(1)、求点M的轨迹方程；

(2)、当点M的轨迹上存在点Q，使 $∠ O P Q = 30 °$ ，求实数m的取值范围；

(3)、当 $m = 1$ 时，过P作直线PA，PB与点M的轨迹分别交于异于点P的A，B两点，且 $k_{P A} \cdot k_{P B} = - 3$ ．求证：直线AB恒过定点．（其中 $k_{P A}$ ， $k_{P B}$ 分别为直线PA与直线PB的斜率）．

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10、已知空间中三点 $A (2, 0, - 2)$ ， $B (1, - 1, - 2)$ ， $C (3, 0, - 4)$ ，设 $\overset{⃑}{a} = \overset{⃑}{A B}$ ， $\overset{⃑}{b} = \overset{⃑}{A C}$ .
（1）若 $|\overset{⃑}{c}| = 3$ ，且 $\overset{⃑}{c} / / \overset{⃑}{B C}$ ，求向量 $\overset{⃑}{c}$ ；
（2）已知向量 $k \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 互相垂直，求 $k$ 的值；
（3）求 $Δ A B C$ 的面积.

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11、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 1$ ， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A A_{1} = 2$ ， $M$ 、 $N$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ 、 $A A_{1}$ 的中点．

(1)、求 $B N$ 的长；

(2)、求 $A_{1} B$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值；

(3)、求证： $B N ⊥$ 平面 $C_{1} M N$ ．

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12、已知实数 $a, b$ 满足 $a^{2} + b^{2} = 2 a - 2 b$ ，则 $\frac{3 - b}{a + 1}$ 的最大值为.

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13、若空间非零向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 不共线，则使 $2 k \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{e_{1}} + 2 (k + 1) \vec{e_{2}}$ 共线的k的值为.

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14、已知点 $M (- 1, 1), N (2, 1)$ ，且点 $P$ 在直线 $l : x + y + 2 = 0$ 上，则下列命题中错误的是（）

A、存在点 $P$ ，使得 $P M ⊥ P N$ B、存在点 $P$ ，使得 $2 |P M| = |P N|$ C、 $|P M| + |P N|$ 的最小值为 $\sqrt{29}$ D、 $||P M| - |P N||$ 的最大值为3

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15、已知 $|\vec{a}| = 2, \vec{b} = (1, 2, - 1)$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 4$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(- \frac{1}{2}, - 1, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, 1, - \frac{1}{2})$ C、 $(\sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{6}, - \frac{\sqrt{6}}{2})$

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16、已知直线 $l : 4 x + 3 y + 10 = 0$ ，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方．

(1)、求圆C的方程；

(2)、过点 $M (1, 0)$ 的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分 $∠ A N B$ ？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0), F_{1}, F_{2}$ 分别为左右焦点，短轴长为2，点 $M$ 为椭圆 $C$ 在第一象限的动点， $△ M F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $∠ F_{1} M F_{2} = 60 °$ ，求点 $M$ 的坐标；

(3)、若 $A (- 3, 0)$ ，直线 $l : x = t y + 1 (t > 0)$ 交椭圆 $C$ 于E，F两点，且 $△ A E F$ 的面积为 $\frac{16}{5}$ ，求 $t$ 的值.

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $B C ⊥ C D$ ， $∠ A B C = \frac{π}{4}$ ， $C D = C E = \frac{1}{2} B E = 1$ ， $P A = A D = 2$ ， $F$ 为 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $A B ⊥ P E$ ；

(2)、求二面角 $A - E F - D$ 的平面角的余弦值．

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19、已知 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (2, 1), B (5, 0), C (1, 8)$ .

(1)、求点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离；

(2)、求 $B C$ 边上的高所在直线的方程.

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20、若 $\vec{a} = (2, - 1, 2), \vec{b} = (6, - 3, 2)$ ，且 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $λ =$ .

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