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相关试卷

1、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 0, 2), \vec{b} = (- 2, 1, 3)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ .

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2、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为棱 $B B_{1}$ 的中点，Q为正方形 $B B_{1} C_{1} C$ 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )

A、若 $D_{1} Q ∥$ 平面 $A_{1} P D$ ，则动点Q的轨迹是一条线段 B、存在Q点，使得 $D_{1} Q ⊥$ 平面 $A_{1} P D$ C、当且仅当Q点落在棱 $C C_{1}$ 上某点处时，三棱锥 $Q - A_{1} P D$ 的体积最大 D、若 $D_{1} Q = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，那么Q点的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4} π$

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3、关于椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，下列结论正确的是（）

A、长轴长为4 B、短轴长为1 C、焦距为 $2 \sqrt{2}$ D、离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4、已知点 $P$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上任意一点，直线 $l$ 过 $⊙ M : x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的圆心且与 $⊙ M$ 交于 $A, B$ 两点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围是（）

A、 $[3, 35]$ B、 $[2, 34]$ C、 $[2, 36]$ D、 $[4, 36]$

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5、已知方程 $\frac{x^{2}}{k + 5} + \frac{y^{2}}{3 - k} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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6、直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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7、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = 2$ ，四边形 $A B C D$ 是直角梯形，且 $A B ⊥ A D$ ， $B C ∥ A D$ ， $A D = A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $M$ 为 $P C$ 中点， $E$ 在线段 $B C$ 上，且 $B E = 1$ ．

(1)、求证： $D M ∥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P D E$ 所成角的正弦值．

(3)、求点 $C$ 到平面 $P D E$ 的距离．

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8、 $2024$ 年 $10$ 月 $27$ 日，成都市举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.当时成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.随机抽取了 $100$ 名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并估计这 $100$ 名候选者面试成绩的平均数；

(2)、若从以上各组中用分层随机抽样的方法选取 $20$ 人，担任了本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 $62$ 和 $40$ ，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为 $80$ 和 $50$ ，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.
（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为： $m$ ， $\bar{x_{1}}$ ， $s_{1}^{2}$ ； $n$ ， $\bar{x_{2}}$ ， $s_{2}^{2}$ ，记两组数据总体的样本平均数为 $\bar{w}$ .则总体样本方差 $s^{2} = \frac{m}{m + n} [s_{1}^{2} + {(\bar{x_{1}} - \bar{w})}^{2}] + \frac{n}{m + n} [s_{2}^{2} + {(\bar{x_{2}} - \bar{w})}^{2}])$ .

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9、 $△ A B C$ 的三个顶点分别是 $A (4, 0)$ ， $B (0, 2)$ ， $C (3, 1)$ .

(1)、求边 $A B$ 上的中线所在直线的方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的外接圆 $G$ （ $G$ 为圆心）的标准方程.

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10、同时掷两个骰子一次，计算向上的点数，求：

(1)、点数之和是7的概率；

(2)、点数中恰有一个奇数和一个偶数的概率．

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11、空间直角坐标系 $x O y$ 中，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且方向向量为 $\vec{n} = (u, v, w) (u v w \neq 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x - x_{0}}{u} = \frac{y - y_{0}}{v} = \frac{z - z_{0}}{w}$ ，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $x - y + z + 1 = 0$ ，直线 $l$ 是两个平面 $x - y + 2 = 0$ 与 $2 x - z + 1 = 0$ 的交线，则平面 $α$ 的法向量为；直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为.

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12、已知空间向量 $\vec{a} = (2, 2, 2)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标是

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13、若向量 $\vec{a} = (1, λ, 1), \vec{b} = (2, - 1, - 2)$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角余弦为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ ，则 $λ$ 等于（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ 或 $\sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2}$

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14、从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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15、某校在运动会期间组织了20名啦啦队队员，她们的身高（单位：cm）数据按从小到大排序如下：
162   162   163   165   165   165   165   167   167   167
168   168   170   170   171   173   175   175   178   178
则这20名队员身高的第75百分位数为（     ）

A、171 B、172 C、173 D、174

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16、为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配分层随机抽样的方法抽出一个容量为1500的样本，三个年级学生数之比依次为 $k : 3 : 5$ ，已知高一年级共抽取了300人，则高三年级抽取的人数为（）

A、750 B、300 C、450 D、150

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17、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且四个顶点所围成的菱形的面积为4．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，满足 $x_{1} x_{2} ＝ 4 y_{1} y_{2}$ ．
①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
②求四边形ABCD面积的最大值．

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18、设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，对于区间 $I = [a, b] (I \subseteq D)$ ，当且仅当函数 $y = f (x)$ 满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间 $I$ 是 $y = f (x)$ 的一个“美好区间”.
性质①：对于任意 $x_{0} \in I$ ，都有 $f (x_{0}) \in I$ ；
性质②：对于任意 $x_{0} \in I$ ，都有 $f (x_{0}) \notin I$ .

(1)、已知 $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ， $x \in R$ .分别判断区间 $[0, 2]$ 和区间 $[1, 3]$ 是否为函数 $y = f (x)$ 的“美好区间”，并说明理由；

(2)、已知 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 12 (x \in R)$ 且 $m > 0$ ，若区间 $[0, m]$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个“美好区间”，求实数 $m$ 的取值范围.

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19、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面ABC， $∠ A A_{1} C_{1} = 120 °$ ， $A C = C C_{1} = 4$ ， $\tan ∠ B A C = \frac{3}{2}$ ， $B A = B C$ ， $\vec{A D} = 3 \vec{D C}$ ， $\vec{A_{1} E} = 3 \vec{E C_{1}}$ ．

(1)、求证：B，D，E， $B_{1}$ 四点共面；

(2)、求二面角 $A_{1} - B B_{1} - D$ 的余弦值．

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20、某校为了了解学情，对各学科的学习兴趣作了问卷调查，经过数据整理得到下表：

语文兴趣
数学兴趣
英语兴趣
物理兴趣
化学兴趣
生物兴趣
答卷份数
350
470
380
400
300
500
兴趣良好频率
0.7
0.9
0.8
0.5
0.8
0.8
假设每份调查问卷只调查一科，各类调查是否达到良好的标准相互独立．

(1)、从收集的答卷中随机选取一份，求这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率；

(2)、从该校任选一位同学，试估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率；

(3)、按分层抽样的方法从参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学中抽取7人，再从这7人中抽取3人，记3人中来自化学兴趣的人数为 $η$ ，求 $η$ 的分布列和期望．

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	语文兴趣	数学兴趣	英语兴趣	物理兴趣	化学兴趣	生物兴趣
答卷份数	350	470	380	400	300	500
兴趣良好频率	0.7	0.9	0.8	0.5	0.8	0.8