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相关试卷

1、正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{2} = 4, S_{4} = 40$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、6 B、9 C、8 D、11

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2、若 $z (1 + i) = i^{2025}$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

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3、样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（）

A、6 B、6.5 C、7 D、7.5

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4、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} > 1\}, B = \{x |2^{x} < \frac{1}{2}\}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $A \cap B = {x ∣ x < - 1}$ B、 $A \cap B = {x ∣ - 1 < x < 1}$ C、 $A \cup B = {x ∣ x < - 1}$ D、 $A \cup B = {x ∣ x < 1}$

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 a - c = 2 b cos C$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a^{2} - b^{2} + c^{2} - 3 c = 0$ ，且边 $A C$ 边上的中线长 $B D = \frac{7}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $\frac{b + c}{a}$ 的范围.

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6、若 $α$ ， $β$ 均为锐角，且 $\sin α = \frac{2}{3}$ .

(1)、求 $\tan 2 α$ 的值；

(2)、若 $\cos (α + β) = - \frac{3}{5}$ ，求 $\cos β$ 的值.

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7、实数 $m$ 取何值时，复数 $z = (m^{2} - 3 m - 4) + (m^{2} - 5 m - 6) i$ 是：

(1)、实数？

(2)、虚数？

(3)、0?

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8、已知平面向量 $\overset{⃑}{a}, \vec{b}, \overset{⃑}{c}$ ，满足 $|\overset{⃑}{a}| = 2, |\vec{b}| = \sqrt{3}, |\overset{⃑}{c}| = 1$ ，且 $(\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{c}) \cdot (\vec{b} - \overset{⃑}{c}) = 5$ ， $\overset{⃑}{a} - \vec{b}$ 与 $\overset{⃑}{a} + \vec{b}$ 夹角余弦值的最小值等于 .

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9、已知 $α$ 是第二象限角，且 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{3}) =$ ．

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10、在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $C = 150 °$ ，则 $S_{△ A B C} =$ .

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11、下列各式的值为 $\sqrt{3}$ 的是（）

A、 $tan 95 ° - tan 35 ° - \sqrt{3} tan 95 ° tan 35 °$ B、 $\frac{sin 15 ° + cos 15 °}{sin 15 ° - cos 15 °}$ C、 $\sqrt{2} sin 15 ° + \sqrt{2} cos 15 °$ D、 ${sin}^{2} 15 ° - {cos}^{2} 15 °$

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12、已知 $sin (α - β) = \frac{1}{3}$ ， $sin α cos β = \frac{1}{2}$ ，则 $cos (2 α + 2 β) =$ （）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{2}{9}$

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13、已知方程 $3^{x} + 2 x - 10 = 0$ 的解在 $(k, k + 1) (k \in Z)$ 内，则 $k =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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14、在 $△ A B C$ 中，已知角 $A$ ， $B$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $A = \frac{π}{4}$ ， $B = \frac{π}{6}$ ， $a = 2$ ，则 $b =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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15、复数 $z = cos \frac{π}{6} + isin \frac{π}{6}$ .则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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16、 $\sin 17 ° \cos 43 ° + \cos 17 ° \sin 43 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

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17、已知圆C的圆心在x轴上，且经过 $A (3, 0)$ ， $B (1, 2)$ 两点，

(1)、求圆C的方程；

(2)、过点 $P (0, 2)$ 的直线 $l$ 与圆C相交于M，N两点，且 $|M N| = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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18、自 $2019$ 年底开始，一种新型冠状病毒COVID-19开始肆虐全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡.目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断.假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性､阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率均为 $p (0 < p < 1)$ .

(1)、若 $p = \frac{1}{3}$ ，现对 $4$ 份样本进行核酸检测，求这 $4$ 份中检验结果为阳性的份数 $ξ$ 的分布列及期望；

(2)、若 $p = 1 - 2^{- \frac{1}{4}}$ ，现有 $2 k (k \in N^{*}, k \geq 2)$ 份样本等待检验，并提供“ $k$ 合 $1$ ”检验方案：将 $k (k \in N^{*}, k \geq 2)$ 份样本混合在一起检验.若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验.试比较用“ $k$ 合 $1$ ”检验方案所需的检验次数 $X$ 的期望 $E (X)$ 与 $2 k$ 的大小.

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19、已知 $x = 3$ 是函数 $f (x) = a \ln (1 + x) + x^{2} - 10 x$ 的一个极值点.
（Ⅰ）求 $a$ ；
（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅲ）若直线 $y = b$ 与函数 $y = f (x)$ 的图象有3个交点，求 $b$ 的取值范围.

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20、已知 $tan α = \frac{1}{3}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2}$ ）.

(1)、求 $\frac{sin α + 3 cos α}{2 cos α - sin α}$ 的值；

(2)、若 $cos (α - β) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $\cos β$ 的值.

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