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相关试卷

1、已知圆 $E$ 经过点 $A (0, 0), B (1, 1)$ ，且圆 $E$ 与 $y$ 轴相切．

(1)、求圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $P$ 是圆 $E$ 上的动点，点 $C$ 的坐标为 $(3, 2)$ ，求线段CP的中点 $M$ 的轨迹方程．

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2、直线 $x + y - 1 = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ 截得的弦长为．

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3、某校1000名学生在高一测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），则（）

A、 $a = 0.008$ B、约有200人的成绩不低于110分 C、约有60人的成绩低于70分 D、本次考试的平均分约为93.6分

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4、已知全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ， $M = \{0, 1, 2\}$ ， $N = \{2, 3\}$ ，则 $(∁_{U} M) \cap N =$ （）

A、 $\{2, 3, 4\}$ B、 $\{3\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$

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5、已知 $f (x) = \frac{3^{x} + a}{3^{x} + 1}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、解关于 $x$ 的方程 $2 f (x) + \frac{2}{f (x) + 1} = 3$ ；

(3)、若存在区间 $[m, n]$ （ $m < n$ ），使得函数 $y = f (x) + t$ 在 $[m, n]$ 上的值域为 $[3^{m}, 3^{n}]$ ，求 $t$ 的取值范围．

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6、双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.记双曲正弦函数为 $f (x)$ ，双曲余弦函数为 $g (x)$ ，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：①定义域均为 $R$ ；② $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数；③ $f (x) + g (x) = e^{x}$ （常数e是自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots$ ）.利用上述性质，解决以下问题：

(1)、求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；

(2)、解不等式 $f (f (x)) > \frac{1 - e^{2}}{2 e}$ .

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7、已知函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 是幂函数，定义域为R ．

(1)、求m的值．

(2)、若 $g (x) = 2 f (x) + \frac{2}{f (x) + 1}$ ，求 $g (x)$ 的值域．

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8、已知函数 $y = g (x)$ 的对应关系如下表所示，函数 $y = f (x)$ 的图象是如下图所示，

$x$
1
2
3
$g (x)$
4
3
-1
则 $g (f (2))$ 的值为.

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9、已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2, 4)$ ，则（）．

A、函数 $f (x)$ 为增函数 B、 $\forall x_{1} \neq x_{2}, \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ C、函数 $f (x)$ 为偶函数 D、当 $x \geq 4$ 时， $f (x) \geq 64$

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 1, x \leq a \\ 2^{x}, x > a \end{array} ，$ 若 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[0, 1]$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1]$

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11、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 3, 3]$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (x + 2)}{x + 2}$ 的定义域为（）

A、 $[- 3, - 2) \cup (- 2, 3]$ B、 $[- 5, - 2) \cup (- 2, 1]$ C、 $[- 4, - 2) \cup (- 2, 2]$ D、 $[- 3, - 2) \cup (- 2, 1]$

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12、曼哈顿距离是人工智能中常用的一种测距方式，其定义为：设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，则A，B之间的曼哈顿距离为 $d (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ．现已知直线 $l : 2 x - 2 y + 5 = 0$ ，点P是直线l上一动点．

(1)、若点 $Q (2, 5)$ ，试计算 $d (P, Q)$ 的取值范围；

(2)、若点 $A_{1} (1, 6), A_{2} (2, 5), A_{3} (3, 4)$ ，试计算 $d (P, A_{1}) + d (P, A_{2}) + d (P, A_{3})$ 的最小值；

(3)、若点M是函数 $y = \ln x$ 图象上一动点，求 $d (P, M)$ 的最小值，并求当 $d (P, M)$ 取最小值时对应的点P的轨迹的长度．

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13、已知平面内一动圆过点 $(0, 1)$ ，且该圆被x轴截得的弦长为2，设其圆心的轨迹为曲线E．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、点A为曲线E上一点（不同于原点），过点A作E的切线l，经过点A并且垂直于l的直线与E相交于点B，点C为E上一点并且满足 $B C ∥ l$ ．
（ⅰ）若点A的坐标为 $(2, 2)$ ，求直线 $B C$ 的方程；
（ⅱ）求 $△ A B C$ 面积的最小值．

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14、用红、黄、蓝、绿、紫五种不同颜色中的若干种给正四棱锥 $P - A B C D$ 的五个顶点着色，要求相邻两个顶点的颜色不同．

(1)、记“给顶点A、C涂不同的颜色”为事件M，“完成全部顶点的着色用了4种不同的颜色”为事件N，求 $P (M | N)$ ．

(2)、设完成全部顶点的着色所用的颜色种数为X，求X的概率分布列及数学期望．

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15、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，点P为 $△ A B C$ 内部一点， $A C = 4 \sqrt{2}, C P = 5, B P = 3$ ．

(1)、若 $A P = 3$ ，求 $△ A B P$ 的面积；

(2)、若 $\sin ∠ A B P = \frac{\sqrt{2}}{6}$ ，求 $A P$ 的长．

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = {(- 1)}^{n} a_{n} + n (n \in N^{*}), a_{2025} = 2025$ ，则 $a_{1} =$ ．

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17、已知 $α \in (0, π), \cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $\cos (2 α - \frac{π}{6}) =$ ．

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18、若曲线 $y = e^{x} + x$ 与曲线 $y = x^{3} + a x + 1$ 在点 $(0, 1)$ 处有相同的切线，则 $a =$ ．

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19、已知函数 $f (x) = x^{4} - \log_{b} x$ ，则下列关于 $f (x)$ 说法正确的是（）

A、当 $b \in (0, 1), f (x)$ 有且只有一个零点，设其为 $x_{0}$ ，则 $x_{0} > b$ B、当 $b > 2$ 时，关于x的不等式 $f (x) < 0$ 有解 C、当 $b = e$ 时，若 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1}^{4} + x_{2}^{4} > \frac{1}{2}$ D、 $f (x) = 0$ 有两解的充要条件是 $b \in (1, e^{\frac{1}{4 e}})$

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20、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{3 π}{4}) (ω > 0)$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $ω = 2$ 时， $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{8}$ 对称 B、当 $ω = 2$ 时，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位得到 $g (x)$ ， $g (x)$ 的图象关于原点对称 C、当 $ω = 1$ 时， $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 单调递减 D、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上恰有一个零点，则ω的范围为 $[\frac{1}{4}, \frac{5}{4})$

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$x$	1	2	3
$g (x)$	4	3	-1