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相关试卷

1、记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + n (n \in N^{*})$ ，则下列选项错误的是（）

A、 $a_{2} = 4$ B、数列 ${\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 是公差为1的等差数列 C、数列 ${2^{a_{n}}}$ 是公比为4的等比数列 D、数列 ${{(- 1)}^{n} a_{n}}$ 的前2025项和为 $- 2026$

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2、已知各项均为整数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足：对任意的 $n \in N^{*}$ ， $a_{n + 2} + a_{n} > 2 a_{n + 1}$ ．若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{m} = 2025$ ，则正整数m的最大值为（）

A、63 B、64 C、65 D、66

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{n + 2} + a_{n} = 2 a_{n + 1} + 1$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $2 a_{n} \cdot b_{n} = 1$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前50项的和为（）

A、 $\frac{50}{51}$ B、 $\frac{1}{50}$ C、 $\frac{50}{101}$ D、50

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4、 $S_{n} = - n^{2} + 8 n$ ，则数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $12$ 项和为（）

A、112 B、48 C、80 D、64

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是 $a_{n} = n + \frac{64}{n}$ ，则下列各数是 $\{a_{n}\}$ 的项的是（）

A、18 B、20 C、32 D、66

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6、数列 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{4}{15}$ ， $\frac{6}{35}$ ， $\frac{8}{63}$ ， $\frac{10}{99}$ ， $\dots$ 的第8项是（）．

A、 $\frac{14}{195}$ B、 $\frac{16}{255}$ C、 $\frac{18}{323}$ D、 $\frac{20}{399}$

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7、数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = 3 n^{2} + n$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、140 B、120 C、40 D、52

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8、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为 $D D_{1}, B D$ 的中点，点 $G$ 在 $C D$ 上，且 $C G = \frac{1}{4} C D$ ．

(1)、求证： $E F ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、求 $E F$ 与 $C_{1} G$ 所成角的余弦值．

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9、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 3, B C = 4, A B = 5, A A_{1} = 4$ ．

(1)、求证：平面 $A C B_{1} ⊥$ 平面 $C_{1} C B B_{1}$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $A C B_{1}$ 所成角的余弦值．

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10、如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E、F分别在 $B_{1} B$ 和 $D_{1} D$ 上，且 $B E = \frac{1}{4} B B_{1}$ ， $D F = \frac{3}{4} D D_{1}$ ．

(1)、证明 $A 、 E 、 C_{1} 、 F$ 四点共面；

(2)、若 $\vec{E F} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，求 $x + y + z$ 的值．

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11、如图，在空间平移 $△ A B C$ 到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，连接对应顶点，设 $\vec{A A^{'}} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ， $\vec{A C} = \vec{c}$ ， M是 $B C^{'}$ 的中点，N是 $B^{'} C^{'}$ 的中点，用基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 表示向量 $\vec{A M}$ ， $\vec{A N}$ .

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12、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是菱形，且 $∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D = ∠ B C D = 60 °$ .当 $\frac{C D}{C C_{1}}$ 的值为时，能使 $A_{1} C ⊥$ 平面 $C_{1} B D$

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13、如图，二面角 $α - l - β$ 等于 $120 °$ ， $A$ 、 $B$ 是棱 $l$ 上两点， $A C$ 、 $B D$ 分别在半平面 $α$ 、 $β$ 内， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，且 $A B = A C = B D = 1$ ，则 $C D$ 的长等于．

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14、已知平面向量 $\vec{a} = (4, 3), 2 \vec{a} - \vec{b} = (2, - 2)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角余弦值等于．

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15、下列说法不正确的是（）

A、若 $\overset{⃑}{a} = (1, 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, - 1)$ ，且 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} + λ \overset{⃑}{b}$ 的夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是 $(- \infty, 5)$ B、若 $A$ ， $B$ ， $C$ 不共线，且 $\overset{⃑}{O P} = 2 \overset{⃑}{O A} - 4 \overset{⃑}{O B} + 3 \overset{⃑}{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ 、 $C$ 四点共面 C、对同一平面内给定的三个向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{c}$ ，一定存在唯一的一对实数 $λ$ ， $μ$ ，使得 $\overset{⃑}{a} = λ \overset{⃑}{b} + μ \overset{⃑}{c}$ . D、 $△ A B C$ 中，若 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{B C} < 0$ ，则 $△ A B C$ 一定是钝角三角形.

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16、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $D A$ ， $D B$ ， $D C$ 两两垂直，且 $D B = D C = 3$ ， $A D = 4$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B C}$ 等于（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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17、已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面（）
（1） $m \subset α, n \subset α, m / / β, n / / β \Rightarrow α / / β$
（2） $n / / m, n ⊥ α \Rightarrow m ⊥ α$
（3） $α / / β, m \subset α, n \subset β \Rightarrow m / / n$
（4） $m ⊥ α, m ⊥ n \Rightarrow n / / α$

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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18、已知平面向量 $\vec{a} = (1, m)$ ， $\vec{b} = (n, 2)$ ， $\vec{c} = (3, 6)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 为（）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{41}$

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19、已知直线 $x - 2 y + 4 = 0$ 与抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 交于 $A, B$ 两点，且 $A, B$ 分别在第一、二象限， $Q$ 为线段 $A B$ 的中点．设 $C$ 在点 $A, B$ 处的切线交于点 $P$ ， $D$ 为曲线段 $A B$ （不含端点）上一点， $C$ 在点 $D$ 处的切线与直线 $P A, P B$ 分别交于点 $M, N$ ．

(1)、证明：
①直线 $P Q ⊥ x$ 轴；
②四边形 $M P N Q$ 的面积为定值；

(2)、设 $△ P M N$ 的外接圆为圆 $E$ ，问：圆 $E$ 是否过定点（点 $P$ 除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由．

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20、已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (2 a + 1) x$ ．

(1)、当 $a = 0 时，$ 求 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a < 0$ 时，证明 $f (x) \leq - \frac{3}{4 a} - 2$ ；

(3)、若对任意的不等正数 $x_{1}, x_{2}$ ，总有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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