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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = {log}_{a} \frac{1 + x}{x - 1} (a > 0 ， a \neq 1)$

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、令函数 $g (x) = - a x^{2} + 6 (x - 1) a^{f (x)} - 5$ ，当 $x \in [2, 3]$ 时，求函数 $g (x)$ 的最大值；

(3)、若 $a > 1$ ，设函数 $h (x) = {log}_{2} \frac{x}{2} \cdot {log}_{2} \frac{x}{4}$ ，若存在 $x_{1} \in [2, 8]$ ，任意 $x_{2} \in [\frac{3}{2}, 2]$ ，使得 $h (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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2、已知关于 $x$ 的函数 $y = {log}_{\frac{1}{2}} (a x + a - 2)$ 在 $[- 4, - 2]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是．

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3、求值： ${log}_{3} 8 \cdot {log}_{4} 9 + 3^{{log}_{3} 4} + {(3 - π)}^{0} =$ ．

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4、若 $a > b > 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 ${log}_{\frac{1}{2}} a < {log}_{\frac{1}{2}} b$ D、 $2^{a - b} > 1$

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5、已知实数 $m ， n$ 满足 $3^{2 m} - 3^{- 3 n} \leq 4^{- m} - 8^{n}$ ，则 $3^{2 m + 3 n}$ （）

A、有最大值1 B、有最小值0 C、有最小值1 D、有最大值0

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6、下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x) = {log}_{a} (x + 1) - 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图像恒过定点 $(1, - 2)$ B、若不等式 $a x^{2} + 2 x + c < 0$ 的解集为 ${x ∣ x < - 1$ 或 $x > 2}$ ，则 $a + c = 2$ C、 $A \cup B = A$ 是 $B \subseteq A$ 的必要不充分条件 D、函数 $f (x) = {log}_{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 m x + 5)$ 定义域为R．则实数 $m$ 的取值范围 $(- \infty, - \sqrt{5}]\cup[\sqrt{5}, + \infty)$

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7、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为B， $△ A_{2} B F_{2}$ 的外接圆半径为 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、如图，斜率存在的动直线与椭圆C交于P，Q两点（P、Q位于x轴的两侧）、直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ ， $Q A_{2}$ ， $Q A_{1}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ， $k_{4}$ ，且 $k_{1} + k_{4} = \frac{5}{3} (k_{2} + k_{3})$ ，求 $△ P Q F_{1}$ 面积的取值范围．

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8、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B C = C D = 2 A B = 2$ ， △ $P A D$ 是等边三角形， $M, N$ 分别为 $B C, P D$ 的中点．
（Ⅰ）求证： $M N / /$ 平面 $P A B$ ；
（Ⅱ）若二面角 $P － A D － C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求直线 $M N$ 与平面 $P A D$ 所成角的正切值．

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9、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $M (3, \sqrt{2})$ ，且右焦点为 $F (2, 0)$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程：

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A, B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $P$ ，若 $\vec{P A} = m \vec{A F}, \vec{P B} = n \vec{B F}$ ，求证： $m + n$ 为定值.

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10、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = 0$ ．

(1)、求圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦长；

(2)、已知过原点的动直线与圆 $C_{1}$ 相交于不同的两点 $A, B$ ，求线段AB的中点M的轨迹方程．

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11、设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 $\frac{a + b}{\sin (A + B)} = \frac{a - c}{\sin A - \sin B}$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $b = 3$ ， $\cos A = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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12、已知抛物线 $C$ 的方程为 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ， $F$ 为其焦点，点 $N$ 坐标为 $(0, - 4)$ ，过点 $F$ 作直线交抛物线 $C$ 于 $A, B$ 两点， $D$ 是 $x$ 轴上一点，且满足 $|D A| = |D B| = |D N|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为.

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13、直线 $l : x \tan \frac{π}{5} + y - 1 = 0$ 的倾斜角 $α =$ .

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14、如图所示，双曲线 $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{16} = 1 (y > 0)$ 与抛物线 $y = 6 - \frac{x^{2}}{4}$ 围成封闭曲线 $E$ ，若对于 $y$ 轴上一定点 $A (0, a)$ ， $E$ 上恰有 $3$ 对不同的点关于点 $A$ 对称，则实数 $a$ 的值可能是（）

A、 $2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $3$ D、 $\frac{7}{2}$

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15、设 $k \in R$ ，过定点A的动直线 $l_{1}$ ： $x + k y = 0$ 与过定点B的动直线 $l_{2}$ ： $k x - y + 3 - k = 0$ 交于点P，则下列说法正确的有（）

A、 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} = 16$ B、 $△ P A B$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{1}{|P A|} + \frac{1}{|P B|} \geq \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $|P A| + \sqrt{3} |P B|$ 的最大值为 $2 \sqrt{10}$

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16、如图所示，点 $A (1, 2)$ ， B均在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，等腰直角 $△ A B C$ 的斜边为 $B C$ ，点C在x轴的正半轴上，则点B的横坐标是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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17、已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，若点 $P$ 在第二象限，且 $∠ P F_{1} F_{2} = 120 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积是（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$

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18、已知点A为曲线 $y = x + \frac{4}{x} (x > 0)$ 上的动点，B为圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则 $|A B|$ 的最小值是（）

A、3 B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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19、已知过原点的平面 $α$ 的一个法向量是 $\overset{⃑}{m} = (- 2, - 1, 2)$ ，点 $P (2, 2, 0)$ 是平面 $α$ 外的一点，则点 $P$ 到平面 $α$ 的距离是（）

A、1 B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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20、双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{4}{5} x$ D、 $y = \pm \frac{5}{4} x$

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