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相关试卷

1、如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1.

(1)、求四面体ABCD 的体积；

(2)、求平面ABC与平面ABD所成角的正切值.

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2、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 、 $B$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点和上顶点，连接 $B F_{1}$ 并延长交椭圆 $C$ 于点 $P$ ，若 $△ P F_{2} B$ 为等腰三角形，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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3、已知直线 $l_{1} : a x - y - 2024 = 0, l_{2} : (3 a - 2) x + a y + 2025 a = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $a$ 的值为.

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4、如图.三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 是 $A C$ 上一点， $A M = \frac{1}{2} M C, C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C, ∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = B C = C C_{1} = 2, A_{1} B_{1} = 1$ ，则（）

A、 $A B_{1}$ $∥$ 平面 $B M C_{1}$ B、平面 $B M C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ C、三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{7}{3}$ D、若点 $P$ 在侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 上运动（含边界），且 $C P$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正切值为4，则BP长度的最小值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

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5、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4, P$ 是直线 $l : x + y - 6 = 0$ 上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则（）

A、圆C上恰有1个点到直线l的距离为 $3 \sqrt{2} - 2$ B、|PA|的最小值是 $\sqrt{14}$ C、|AB|存在最大值 D、|AB|的最小值是 $\frac{4 \sqrt{7}}{3}$

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6、在三棱锥P-ABC中， $P A = P B = B C = 6, A C = 6 \sqrt{2}, A B ⊥ B C$ ，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（）

A、96π B、84π C、72π D、48π

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7、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 和侧面 $A_{1} A D D_{1}$ 都是正方形， $∠ B A A_{1} = \frac{2 π}{3}, A B = 2$ ，点 $P$ 是 $C_{1} D$ 与 $C D_{1}$ 的交点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B_{1}} =$ （）

A、 $4 - 2 \sqrt{3}$ B、2 C、4 D、6

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则 $C$ 渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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9、圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (- 4, 1)$ ， $B (- 3, 2)$ ，且圆心 $C$ 在 $l : x - y - 2 = 0$ 上，
（1）求圆 $C$ 的标准方程；
（2）过点 $P (3, - 1)$ 作直线 $m$ 交圆 $C$ 于 $M N$ 且 $| M N | = 8$ ，求直线 $m$ 的方程.

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10、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，已知 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ．

(1)、求对角线 $A C_{1}$ 的长；

(2)、求 $\cos ⟨\vec{A_{1} B_{1}}, \vec{A C_{1}}⟩$ ．

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11、过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $M 、 N$ 两点（其中 $M$ 点在第一象限），若 $\overset{⃑}{M N} = 3 \overset{⃑}{F N}$ ，则直线 $l$ 的斜率为．

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12、已知点 $A (- 2, 0)$ ，动点 $B$ 的纵坐标小于等于零，且点 $B$ 的坐标满足方程 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则直线 $A B$ 的斜率的取值范围是．

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13、已知 $A (- 1, - 1)$ ， $B (- 2, 0)$ ， $C (6, - 2)$ ，点P是圆 $E : x^{2} + y^{2} = 1$ 上的一点，则 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} + {|P C|}^{2}$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{2} + 37$ B、 $49 - 6 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3} + 37$ D、 $49 - 6 \sqrt{2}$

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14、已知 $x, y \in R$ 且 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则 $4 x - 3 y$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{23}$ D、5

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左焦点为 $F_{1}$ ， M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为 $(3, 1)$ ，则 $|M D| - |M F_{1}|$ 的最大值为（）

A、3 B、1 C、 $- 3$ D、 $- 2$

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16、某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了100位市民每天的健身运动时间（健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标），所得数据都在区间 $[5, 40]$ （单位：分钟）中，其频率直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的 $70$ 百分位数是（）

A、29分钟 B、27分钟 C、29.5分钟 D、30.5分钟

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17、已知点 $A (0, 0, 1)$ ， $B (1, 0, 0)$ ， $C (1, 1, 0)$ ， $P (0, 1, 0)$ ，则点 $P$ 到平面 $A B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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18、已知点 $A (1, 4)$ 到直线 $l : a x + y - 1 = 0$ 的距离为3，则实数 $a$ 等于（）

A、3 B、 $\frac{3}{4}$ C、0或3 D、0或 $\frac{3}{4}$

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19、经过点 $(1, 3)$ ， $(- 2, 4)$ 的直线方程为（）

A、 $x + 3 y - 10 = 0$ B、 $3 x + y - 10 = 0$ C、 $x - 3 y + 10 = 0$ D、 $3 x + y + 10 = 0$

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20、如图，矩形 $A B C D$ 所在的平面垂直于平面 $A E B$ ， $O$ 为 $A B$ 的中点， $∠ A E B ＝ 90 °$ ， $∠ E A B = 30 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 3$ .
（1）求异面直线 $O C$ 与 $D E$ 所成角的余弦值；
（2）求二面角 $A - D E - C$ 的正弦值.

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