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相关试卷

1、自19世纪之后，折纸艺术与自然科学结合到了一起，它开始在西方成为教育教学和科学研究的工具.随着折纸过程中的数学之迷被解开，折纸发展成为了现代几何学的一个分支.现有一张半径为 $r (r > 0)$ ，圆心为 $O$ 的圆形纸片，在圆内选定一点 $P$ 且 $|O P| = \frac{r}{2}$ .将圆形纸片翻折一角，使圆周正好过点 $P$ ，把纸片展开后，留下一条折痕，折痕上到 $O, P$ 两点距离之和最小的点为 $M$ .如此反复，就能得到越来越多的折痕，设 $M$ 点的轨迹为曲线 $C$ ，线段 $O P$ 的中点为 $N$ ，在 $C$ 上任取一点 $Q$ ，则 $\vec{P Q} \cdot \vec{N Q}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{8} r^{2}$ B、 $\frac{3}{16} r^{2}$ C、 $\frac{1}{4} r^{2}$ D、 $\frac{3}{4} r^{2}$

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2、已知二面角 $α - l - β$ ， $A$ 、 $B$ 两点在棱 $l$ 上，直线 $A C, B D$ 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 $l$ .已知 $A B = 2, A C = 3, B D = 4, C D = \sqrt{41}$ ，则二面角 $α - l - β$ 的大小是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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3、对于方程 $x^{2} + y^{2} \tan α = 1, α \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，表示的曲线 $C$ ，下列说法正确的是（）

A、曲线 $C$ 只能表示圆、椭圆或双曲线 B、若 $α$ 为负角，则曲线 $C$ 为双曲线 C、若 $α$ 为正角，则曲线 $C$ 为椭圆 D、若 $C$ 为椭圆，则曲线 $C$ 的焦点在 $x$ 轴上

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4、已知直线 $l_{1} : x - a y + 1 = 0$ ，直线 $l_{2} : a x + (a - 2) y + 1 = 0 (a \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线 $l_{1}$ 的斜率 $\frac{1}{a}$ B、直线 $l_{2}$ 过定点 $(1, - 1)$ C、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a = 1$ 或 $a = - 2$ D、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 0$ 或 $a = 3$

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5、设圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 5$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 3 x + 4 y = 0$ 交于 $A, B$ 两点，则弦 $A B$ 的长度为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、1

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6、设 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一个基底，若向量 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ ，则向量 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 下的坐标为 $(x, y, z)$ .若向量 $\vec{q}$ 以 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}, \vec{c} - \vec{a}\}$ 为基底时的坐标为 $(3, - 1, 2)$ ，则 $\vec{q}$ 可以 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为基底时的坐标为（）

A、 $(2, - 3, - 1)$ B、 $(3, - 1, 2)$ C、 $(1, 2, 3)$ D、 $(1, 2, 1)$

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7、双曲线 $6 x^{2} - 3 y^{2} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $x = \pm 2 y$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $x = \pm \sqrt{2} y$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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8、设 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ 是直线 $l$ 的方向向量， $\vec{n} = (1, - 2, 1)$ 是平面 $α$ 的法向量，则（）

A、 $l / / α$ 或 $l \subset α$ B、 $l ⊥ α$ 或 $l \subset α$ C、 $l ⊥ α$ D、 $l / / α$

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9、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上有两个不同点 $A$ ， $B$ 关于直线 $l : y = m x + \frac{1}{4}$ 对称.

(1)、记直线 $l$ 与线段 $A B$ 的交点为 $P$ .
（i）求证： $k_{A B} \cdot k_{O P}$ 为定值；
（ii）求 $P$ 的坐标（用 $m$ 来表示）.

(2)、求 $△ O A B$ 面积的最大值（ $O$ 为坐标原点）.

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10、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为矩形， $A B = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ，顶点 $P$ 在底面 $A B C D$ 的正投影为 $A D$ 的中点 $O$ .

(1)、求证：直线 $A C ⊥$ 平面 $P O B$ ；

(2)、若平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的交线为 $l$ ， $P D = 2$ ，
（i）求证：直线 $l ∥ A B$ ；
（ii）求 $l$ 与平面 $P A C$ 所成角的大小.

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11、已知圆 $C$ 过点 $M (0, - 2)$ ， $N (3, 1)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x + 2 y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、问是否存在满足以下两个条件的直线 $l$ ：
①斜率为1；②直线被圆 $C$ 截得的弦为 $A B$ ，以 $A B$ 为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由.

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12、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，且 $A B$ ， $A D$ ， $A A_{1}$ 两两夹角均为 $60 °$ ，且长度相等，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ .

(1)、试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{B M}$ ；

(2)、求直线 $B M$ 与直线 $A D$ 所成角的余弦值.

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13、已知直线 $l : k x - y + 2 - k = 0$ .

(1)、证明：直线 $l$ 过定点 $P$ ；

(2)、求过点 $P$ 且横截距与纵截距相等的直线 $m$ 方程.

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14、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，若动点 $P$ 在线段 $B D_{1}$ 上运动，则 $\vec{D C} \cdot \vec{A P}$ 的取值范围是．

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15、直线 $x \cos α + y - 2 = 0$ 的倾斜角取值范围是.

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16、已知焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{3}$ ，则 $m$ 的值为.

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17、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $M : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 4 = 0$ 相交于A、 $B$ 两点，下列说法正确的是（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线方程为 $x - 2 y - 4 = 0$ B、圆 $O$ 上有且仅有3个点到直线 $l : x - y + \sqrt{2} = 0$ 的距离都等于1 C、取圆 $M$ 上点 $C (a, b)$ ，则 $2 a - b$ 的最大值为 $4 + 2 \sqrt{5}$ D、直线 $m x + y + m - 1 = 0$ 被圆 $O$ 所截得弦长最短为 $2 \sqrt{2}$

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18、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ (如图)，过 $F_{2}$ 的直线交 $E$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $P F_{1} ⊥ x$ 轴， $|P F_{2}| = 13 |F_{2} Q|$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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19、下列命题正确的是（）

A、在空间四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{C D} + \vec{B C} \cdot \vec{A D} + \vec{C A} \cdot \vec{B D} = 0$ B、 $|\vec{a}| - |\vec{b}| < |\vec{a} - \vec{b}|$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线的充要条件 C、在棱长为1正四面体 $A B C D$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{2}$ D、设 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点不共线， $O$ 为平面 $A B C$ 外一点，若 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} + \vec{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面

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20、已知点 $M (3, 1)$ 在圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 2 k + 4 = 0$ 外，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $- 6 < k < \frac{1}{2}$ B、 $k < - 6$ 或 $k > \frac{1}{2}$ C、 $k > - 6$ D、 $k < \frac{1}{2}$

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