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相关试卷

1、若 $0 \leq x \leq y \leq z \leq 1$ ，则 $\sqrt{y - x} + \sqrt{z - x} + \sqrt{z - y}$ 的最大值是（）

A、0 B、 $\sqrt{2} +1$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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2、若定义在 $(0, + \infty)$ 上的可导函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x) + f (6 - x) = 3 ln x$ ，则函数 $f (x)$ 在 $x = 3$ 处的瞬时变化率为（　　）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、1

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3、若函数 $f (x) = |{cos}^{2} ω x + 2 sin ω x cos ω x - {sin}^{2} ω x|$ 的最小正周期为2，则正实数 $ω =$ （　　）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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4、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $3 x + y = 0$ ，则其离心率为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5、某学校为了解学生的视力情况，用比例分配的分层随机抽样方法进行抽样调查，拟从高一、高二、高三等三个年级共抽100名学生，已知该校高一、高二、高三各年级分别有400名、300名、300名学生，则不同的抽样结果种数有（）

A、 $C_{400}^{20} C_{300}^{40} C_{300}^{40}$ B、 $C_{400}^{30} C_{300}^{35} C_{300}^{35}$ C、 $C_{400}^{35} C_{300}^{35} C_{300}^{35}$ D、 $C_{400}^{40} C_{300}^{30} C_{300}^{30}$

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6、集合 $A = \{1 ， 2 ， 3 ， 4\} ， B = \{3 ， 4 ， 5 ， 6\}$ ，则 $A \cup B$ 中的元素个数为（　　）

A、2 B、4 C、6 D、8

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7、如图，正 $△ A B C$ 的边长为1， $A D$ 是边 $B C$ 上的中线且点 $O$ 满足 $\vec{A O} = 2 \vec{O D}$ ，过点 $O$ 的直线与边 $A B 、 A C$ 分别交于点 $M 、 N$ （点 $M 、 N$ 可以和端点重合）

(1)、设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A C} = \vec{b}$ ，试用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示 $\vec{A O}$ ；

(2)、当 $A M = \frac{4}{5}$ 时，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O M}$ 的值；

(3)、设 $∠ M O A = α$ ，请用 $α$ 表示 $\sqrt{O M^{2} + O N^{2} + O D^{2}}$ ，并求其取值范围.

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8、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A B$ 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°.
（1）证明：AB⊥PC；
（2）若 $P C = 4$ ，且平面 $P A C$ ⊥平面 $P B C$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 体积.

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9、在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段： $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90]$ ，绘制了如下的频率分布直方图．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、根据频率分布表，估计该小组第 $62$ 百分位数以及平均成绩.

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = 6$ ， $2 a - b = 2 c \cos B$ ，

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 在边 $A B$ 上， $C D$ 为 $∠ A C B$ 的平分线，且 $C D = 2 \sqrt{3}$ ，求边长 $a$ 的值．

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11、如图，在边长为2正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足 $B_{1} P ⊥ D_{1} E$ ，则点 $B_{1}$ 和满足条件的所有点P构成的图形的周长是.

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12、已知向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $k$ 的取值范围为.

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13、如图，矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是水平放置的平面四边形 $A B C D$ 用斜二测画法画出的直观图，其中 $A^{'} B^{'} = 2$ ， $B^{'} C^{'} = 4$ ，则原四边形 $A B C D$ 中最长边的长度为．

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14、如图所示的几何体是一个棱长为2的正八面体，则（）

A、 $M$ 为线段 $E B$ 上的动点，则 $A M + M C$ 最小值为 $2 \sqrt{3}$ B、该正八面体的表面积是 $8 \sqrt{3}$ C、该正八面体的体积是 $\frac{4}{3} \sqrt{2}$ D、平面 $A B E$ 截该正八面体的外接球所得截面的面积为 $\frac{4 π}{3}$

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15、下列命题中，正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中，若 $sin B > sin A$ ，则 $A > B$ B、在锐角 $△ A B C$ 中，不等式 $sin A > cos B$ 恒成立 C、当 $a = 2 \sqrt{3}, b = 4, A = 60 °$ 时，满足条件的三角形共有1个 D、若 $sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7$ 则这个三角形的最大角是 $120 °$

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16、已知 $a \in N$ ，记一组数据1，2，3，a，8为 $M$ ，则（）

A、若 $M$ 的极差为9，则 $a = 10$ B、若 $M$ 的80%分位数是6，则 $a = 4$ C、若 $M$ 的平均数为3，则 $a = 2$ D、若 $a = 1$ ，则 $M$ 的方差为6.6

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 为三个内角，则“ $\frac{1 + \sin 2 A}{\cos 2 A} = \frac{1 + \sin 2 B}{\cos 2 B}$ ”是“ $A = B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为 $1$ ，则圆锥的体积为 $($ $)$

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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19、设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{b}| = 2 |\vec{a}| = 4$ ，对任意 $x \in R$ ， $|x \vec{a} + \vec{b}| \geq |\vec{b} - \sqrt{3} \vec{a}|$ 恒成立，则 $|2 \vec{a} + λ \vec{b}| (λ \in R)$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、3

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20、在棱长为2的正方体 $A B C D − A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M为棱 $C C_{1}$ 的中点，则点B到平面 $A_{1} B_{1} M$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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