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相关试卷

1、已知定义在R上函数 $f (x)$ 的图象连续不间断，且满足以下条件：① $\forall x \in R$ ，都有 $f (- x) = f (x)$ ；② $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ；③ $f (- 3) = 0$ ，则下列成立的是（）

A、 $f (1) > f (- 2)$ B、若 $\frac{f (x)}{x} < 0$ ， $x \in (- 3, 0) \cup (3, + \infty)$ C、若 $f (m - 1) < f (2)$ ，则 $m \in (3, + \infty)$ D、 $\forall x \in R$ ， $\exists M \in R$ ，使得 $f (x) \leq M$

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2、下列命题中，正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $b > a > 0, m > 0$ ，则 $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m}$ C、若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ，则 $a > b$ D、若 $- 1 < a < 5, 2 < b < 3$ ，则 $- 4 < a - b < 3$

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3、在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值 $y$ [单位： $dB$ （分贝）]定义为 $y = 10 lg \frac{I}{I_{0}}$ ，其中 $I$ 为声场中某点的声强度，其单位为 ${W/m}^{2}$ （瓦/平方米）， $I_{0} = 10^{- 12} W / m^{2}$ 为基准值.则声强级为 $70 dB$ 时的声强度 $I_{70}$ 是声强级为 $50 dB$ 时的声强度 $I_{50}$ 的（）倍

A、10 B、100 C、1.2 D、12

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4、设函数 $f (x) = x^{3} - \frac{1}{x}$ ，则 $f (x)$ （）

A、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递增 B、是奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减 C、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递增 D、是偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 单调递减

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5、已知 $a$ 为实数，那么“ $- 2 \leq a \leq 2$ ”是“方程 $x^{2} + a x + 1 = 0$ 没有实数解”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知函数 $f (x) = \frac{3^{x} - 1}{a \cdot 3^{x} + 1}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (1) + f (- 1)$ 的值.

(2)、当 $x \in (0, 1]$ 时， $| \frac{1}{f (2 x)} - \frac{1}{f (x)} | \geq 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

(3)、当 $a = 1$ 时，设 $F (x) = \frac{f (2 x)}{f (x)}$ .把区间 $(0, 2)$ 等分成 $2 n$ 份，记等分点的横坐标依次为 $x_{i}, i = 1, 2, 3, \dots, 2 n - 1$ ，设 $g (x) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3^{x - 1} + 1}$ ，记 $H (n) = g (x_{1}) + g (x_{2}) + g (x_{3}) + \dots + g(x_{2 n - 1}) (n \in N^{*})$ ，是否存在正整数 $n$ ，使不等式 $F (x) \geq H (n)$ 有解？若存在，求出所有 $n$ 的值，若不存在，说明理由

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7、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 4}$ 是定义在 $(- 2, 2)$ 上的函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(- 2, 2)$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 2)$ 上的值域.

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |x + 2|, - 4 \leq x < 0 \\ 2 - e^{x}, x \geq 0 \end{array}$ ，若存在 $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，使 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则 $\frac{1}{2} x_{1} + \frac{1}{2} x_{2} + 3 x_{3}$ 的取值范围是.

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9、若指数函数 $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ 的图象经过点 $(2, 9)$ ，则 $a$ 的值为.

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10、下列命题正确的是（）

A、“ $a >1$ ”是“ $\frac{1}{a} <1$ ”的充分不必要条件 B、命题“任意 $x <1$ ，都有 $x^{2} <1$ ”的否定是“存在 $x ≥1$ ，使得 $x^{2} ≥1$ ” C、设 $x$ ， $y ∈R$ ，则“ $x ≥2$ 且 $y ≥2$ ”是“ $x^{2} + y^{2} ≥8$ ”的必要不充分条件 D、设 $a$ ， $b ∈R$ ，则“ $a ≠0$ ”是“ $a b ≠0$ ”的必要不充分条件

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11、已知 $a, b \in (0, + \infty)$ ，且 $a + b = 4$ ，则下列说法错误的是（　　）

A、 $2^{a} + 2^{b}$ 的最小值为8 B、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$ C、 $3 a^{2} + b^{2}$ 的最小值为16 D、 $\sqrt{1 + a} + \sqrt{1 + b}$ 的最大值为 $2 \sqrt{3}$

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12、已知集合A={x∈N|0≤x<m}有8个子集，则实数m 的取值范围为（）

A、{m|2<m≤3} B、{m|2≤m<3} C、{m|2≤m≤3} D、{m|2<m<3}

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13、下列函数中，与函数 $y = x + 2$ 是同一函数的是（）

A、 $y = {(\sqrt{x})}^{2} + 2$ B、 $y = \sqrt[3]{x^{3}} + 2$ C、 $y = \frac{x^{2}}{x} + 2$ D、 $y = \sqrt{{(x + 2)}^{2}}$

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14、函数 $y = \sqrt{x}$ 的图像大致为（　　）

A、 B、 C、 D、

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15、如图，在几何体 $P － A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形，且 $A B // D C$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是等边三角形，已知 $B D = 2 A D = 4$ ， $A B = 2 D C = 2 B C = 2 \sqrt{5}$ ，点M为棱 $P C$ 上的一点.

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $M B D$ ；

(2)、求二面角 $A － P B － D$ 的余弦值.

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16、今年3月在北京召开了中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第二次会议和第十四届人民代表大会第二次会议．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间 $[50, 100]$ ，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；

(2)、今年政府工作报告将“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”列为2024年首要任务．为了更好的帮助同学们理解新质生产力，感受新质生产力强劲“脉搏”，学校团总支利用比例分配的分层随机抽样方法，从 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 的学生中抽取7人组成“新质生产力扬帆起航”宣讲团．
①求应从 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 学生中分别抽取的学生人数；
②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，写出这个试验的样本空间Ω；（用恰当的符号表示）
③设事件 $A =$ “至少有1人测试成绩位于区间 $[90, 100]$ ”，求在②的条件下事件A的概率．

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17、如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $|A B| = |B C| = \frac{1}{2} |P A|$ ， $O$ 是 $A C$ 的中点，且 $O P ⊥$ 底面 $A B C$ ，则直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为.

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18、如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = B C = A C = D B = D C$ ，且平面 $A B C$ 与底面 $B C D$ 垂直， $E$ 为 $B C$ 中点， $\vec{E F} = \vec{D A}$ ，则平面 $A D B$ 与平面 $A B F$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $1$

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19、对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在实数 $x$ ，满足 $f (- x) = - f (x)$ ，则称 $f (x)$ 为“局部奇函数”．
（Ⅰ）已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + 2 x - 4 a (a \in R)$ ，试判断 $f (x)$ 是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（Ⅱ）若 $f (x) = 2^{x} + m$ 是定义在区间 $[- 1, 1]$ 上的“局部奇函数”，求实数 $m$ 的取值范围；
（Ⅲ）若 $f (x) = 4^{x} - m 2^{x + 1} + m^{2} - 3$ 为定义域 $R$ 上的“局部奇函数”，求实数 $m$ 的取值范围．

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20、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sin A + \sin C = \sqrt{3 \sin A \sin C + \sin^{2} B}$ ．

(1)、证明： $A + C = 2 B$ ；

(2)、记 $△ A B C$ 的面积为S，若 $S = \sqrt{3} b = 4 \sqrt{3}$ ，求 $a + c$ 的值．

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