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相关试卷

1、已知 $f (x) = sin (x + \frac{π}{3}) cos x + \frac{1}{2} sin (2 x + \frac{π}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $a f (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6}) - f (\frac{1}{2} x + \frac{π}{12}) \geq 2$ 对任意的 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ 恒成立，求a的取值范围；

(3)、已知函数 $g (x) = f (\frac{π}{8} x - \frac{π}{3})$ ，记方程 $g (x) = \frac{1}{3}$ 在区间 $[0, 21]$ 上的根从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，求 $x_{3} + 2 x_{4} + \dots + 2 x_{n - 1} + x_{n}$ 的值.

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2、设函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x}} - 1$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求方程 $| f (x) | = \frac{1}{2}$ 的实数解；

(2)、当 $a = - 1$ 时，
（ⅰ）存在 $t \in [1, 2]$ ，使不等式 $f (t^{2} - 2 t) - f (2 t^{2} - k) > 0$ 成立，求k的范围；
（ⅱ）设函数 $g (x) = 2 x + b$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0, 1]$ ，总存在 $x_{2} \in [0, 1]$ ，使 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，求实数b的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} + (\frac{1 - 2 a}{a b}) x - \frac{2}{a}$ ， $a \neq 0$ ， $b \neq 0$ .

(1)、当 $b = 1$ ，且 $a < 0$ 时，解关于x的不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若 $a > 2$ ， $b > 2$ ， $f (1) = 0$ ，求 $a + b$ 的最小值.

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4、已知 $α$ ， $β$ 为锐角， $\tan α = 2$ ， $\sin (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

(1)、求 $\cos 2 α$ 的值；

(2)、求 $\tan β$ 的值.

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5、已知函数 $y = \sqrt{2} \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 和 $y = \sqrt{2} \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象相邻的两个交点为A，B，若 $\frac{5}{2} < |A B| \leq 2 \sqrt{2}$ ，则 $ω$ 的取值范围为.

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6、已知函数 $f (x) = \log_{a} (4 - a x) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在区间 $[0, 1]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是.

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7、若命题“ $\exists x \in [0, 1]$ ，使得 $2^{x} - a \geq 0$ ”为真命题，则实数a的取值范围是.

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 1 - | 2 x - 3 |, 1 \leq x \leq 2, \\ \frac{1}{2} f (\frac{x}{2}), x > 2, \end{matrix}$ 则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x) - \frac{1}{6} x$ 有3个零点 B、关于x的方程 $f (x) - \frac{1}{2^{n}} = 0 (n \in N^{*})$ 有 $2 n + 4$ 个不同的解 C、对于实数 $x \in [1, + \infty)$ ，不等式 $2 x f (x) - 3 \leq 0$ 恒成立 D、在区间 $[2^{n - 1}, 2^{n}] (n \in N^{*})$ 内，函数 $f (x)$ 的图象与x轴围成的图形的面积为 $\frac{1}{2}$

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9、若实数a，b满足 $a^{2} + b^{2} - n a b = 9$ ， $n \in R$ ，则下列说法正确的为（）

A、当 $n = 1$ 时， $a^{2} + b^{2}$ 的最大值为18 B、当 $n = 1$ 时， $a + b$ 的最小值为 $- 6$ C、当 $n = 3$ 时，ab的最小值为 $- 9$ D、当 $n = 3$ 时， $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{18}{5}$

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10、若集合 $A = \{(m, n) |m \leq - 2, 0 < n \leq t\}$ ， $\forall (m, n) \in A$ ，均有 $m \log_{4} n - n - 3 m \geq 0$ 恒成立，则t的最大值为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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11、在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角 $α$ （ $0 < α < \frac{π}{2}$ ）交单位圆于点A、顺时针旋转角 $β$ （ $\frac{π}{4} < β < \frac{π}{2}$ ）交单位圆于点B，若点A的纵坐标为 $\frac{12}{13}$ ，且 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则点B的纵坐标为（）

A、 $- \frac{17 \sqrt{2}}{26}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{26}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{13}$

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12、若关于x的不等式 $x^{2} - (m + 1) x + 9 \leq 0$ 在区间 $[1, 4]$ 上有解，则实数m的最小值为（）

A、9 B、6 C、 $\frac{21}{4}$ D、5

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13、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递减，设 $a = {0.3}^{2}, b = {log}_{2} 0.3, c = 2^{0.3}$ ，则（）

A、 $f (a) < f (c) < f (b)$ B、 $f (b) < f (a) < f (c)$ C、 $f (c) < f (a) < f (b)$ D、 $f (c) < f (b) < f (a)$

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14、已知集合 $A = {- 1, 1, 2, 4}$ ， $B = \{x |x^{2} - 4 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 2}$ B、 ${- 1, 1}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${- 1, 1, 2}$

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15、若函数 $y = f (x)$ 的图象上存在 $k$ 个不同点 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 、 $\dots$ 、 $P_{k} (k \geq 2, k \in N)$ 处的切线重合，则称该切线为函数 $y = f (x)$ 的一条 $k$ 点切线，该函数具有 $k$ 点切线性质．

(1)、判断函数 $y = x^{2} - 2 |x|$ ， $x \in R$ 的奇偶性并写出它的一条 $2$ 点切线方程（无需理由）；

(2)、设 $f (x) = e^{x} - ln x$ ，判断函数 $y = f (x)$ 是否具有 $k$ 点切线性质，并说明理由；

(3)、设 $g (x) = cos x + 2 x$ ，证明：对任意的 $m \geq 3$ ， $m \in N$ ，函数 $y = g (x)$ 具有 $m$ 点切线性质，并求出所有相应的切线方程．

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16、椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，设 $P (x_{0}, y_{0})$ 是第一象限内椭圆上的一点， $P F_{1}$ 的延长线交椭圆于点 $Q (x_{1}, y_{1})$ ．

(1)、若椭圆的离心率 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a = \sqrt{2}, \vec{P Q} \cdot \vec{O F_{1}} = \frac{12}{5}$ ，求 $x_{0}$ ；

(3)、若 $a = 2$ ，过点 $T (0, t)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $Γ$ 交于 $M 、 N$ 两点，且 $|M N| = 2$ ，则当 $t \geq 0$ 时，判断符合要求的直线有几条，说明理由？

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17、如图为正四棱锥 $P - A B C D, O$ 为底面 $A B C D$ 的中心．

(1)、求证： $C D //$ 平面 $P A B$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、设 $E$ 为 $P B$ 上的一点， $\vec{B E} = \frac{2}{3} \vec{B P}$ ．
在下面两问中选一个，
①若 $A D = A P = 3 \sqrt{2}$ ，求直线 $E C$ 与平面 $B E D$ 所成角的大小．
②已知平面 $E C D$ 与平面 $A B C D$ 所成锐二面角的大小为 $arctan \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，若 $A D = 3 \sqrt{2}$ ，求 $A P$ 的长．

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18、某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．

(1)、求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、已知甲型芯片指标在 $[80, 100)$ 为航天级芯片，乙型芯片指标在 $[60, 70)$ 为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在 $[70, 90)$ 内取2件，乙型芯片指标在 $[50, 70)$ 内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率．

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19、已知函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = a^{x}$ （常数 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、若函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2, 9)$ ，求关于 $x$ 的不等式 $f (|2 x - 1|) > 3$ 的解集；

(2)、若存在 $x \in (0, 1]$ ，使得数列 $f (1) 、 f (t x) 、 f (x^{2} + 2)$ 是等比数列，求实数 $t$ 的取值范围.

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 不是常数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{n} > 0$ ．若对任意正整数 $n$ ，存在正整数 $m$ ，使得 $|S_{n} - a_{m}| < a_{1}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 是“可控数列”．现给出两个命题：
①若各项均为正整数的等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足公差 $d = 3$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是“可控数列”；
②若等比数列 $\{a_{n}\}$ 是“可控数列”，则其公比 $q \in (0, \frac{1}{2}]$ ．
则下列判断正确的是（）

A、①与②均为真命题 B、①与②均为假命题 C、①为假命题，②为真命题 D、①为真命题，②为假命题

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