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相关试卷

1、在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a cos B - b cos A = b$ ，则 $\frac{b}{a + c}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(2 - \sqrt{3}, 1)$ C、 $(2 - \sqrt{3}, \sqrt{2} - 1)$ D、 $(\sqrt{2} + 1, \sqrt{3} + 2)$

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2、在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A D = B D$ ， $∠ A D B = 90 °$ （如图1），将 $△ A D B$ 沿BD折起到 $△ S D B$ 的位置（如图2），使得平面 $S D B ⊥$ 平面 $B C D$ ，则直线SB与直线CD所成角为（）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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3、已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{4} \vec{a}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、12

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4、若 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{8}$ 的方差为3，则 $2 (k_{1} - 3), 2 (k_{2} - 3), \dots, 2 (k_{8} - 3)$ 的方差为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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5、下列各组向量中，可以作为基底的是（）．

A、 ${\vec{e}}_{1} = (0, 0)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (1, - 2)$ B、 ${\vec{e}}_{1} = (- 1, 2)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (5, 7)$ C、 ${\vec{e}}_{1} = (3, 5)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (6, 10)$ D、 ${\vec{e}}_{1} = (2, - 3)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$

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6、已知集合 $A = \{x \in N |2^{x} \leq 32\}, B = {1, 3, 5, 7}$ ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、 ${0, 2, 4}$ B、 ${2, 4}$ C、 ${0, 4}$ D、 ${2, 4, 5}$

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7、已知 $a \in R$ ，若 $z = a - 1 + (a + 1) i$ 为纯虚数，则 $|z + 2| =$ .

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8、“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
学历
使用情况
合计
经常使用
不经常使用
本科及以上
65
35
100
本科以下
50
50
100
合计
115
85
200

(1)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？

(2)、某公司组织“AI模型”知识应用竞赛，将参与活动的员工分成了 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ 三组进行，其规则：竞赛发起权在哪一组，该组都可向另外两组发起竞赛，则下一次竞赛发起权移交给被挑战的那组.首先由 $X$ 组先发起竞赛， $X$ 组挑战 $Y$ 组、 $Z$ 组的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，若 $X$ 组挑战 $Y$ 组，则下次竞赛发起权在 $Y$ 组，若 $X$ 组挑战 $Z$ 组，则下次竞赛发起权在 $Z$ 组；若竞赛发起权在 $Y$ 组，则挑战 $X$ 组、 $Z$ 组的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{1}{4}$ ；若竞赛发起权在 $Z$ 组，则挑战 $X$ 组、 $Y$ 组的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{1}{4}$ .
①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在 $Y$ 组的次数 $M$ 的分布列与数学期望；
②定义：已知数列 $\{a_{n}\}$ ，若对于任意给定的正数 $ε$ （不论它多么小），总存在正整数 $N_{0}$ ，使得当 $n > N_{0}$ 时， $|a_{n} - A| < ε$ （ $A$ 是一个确定的实数），则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“聚点数列”， $A$ 称为数列 $\{a_{n}\}$ 的聚点.经过 $n$ 次竞赛后，竞赛发起权在 $X$ 组的概率为 $a_{n}$ ，证明数列 $\{a_{n}\}$ 为“聚点数列”，并求出聚点 $A$ 的值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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9、已知抛物线 $τ : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l_{1}$ 交抛物线 $τ$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，过点 $F$ 的直线 $l_{2}$ 交抛物线 $τ$ 于 $C$ 、 $D$ 两点，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ .

(1)、求证： $\frac{1}{|A B|} + \frac{1}{|C D|}$ 为定值，并求出该定值；

(2)、如图，点 $A$ 、 $C$ 在 $x$ 轴的同侧， $x_{A} > x_{C}$ ，直线 $A C$ 与直线 $B D$ 的交点为 $E$ ，记 $△ E F C$ ， $△ A C F$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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10、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a ln x (a \in R)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与 $x + 3 y = 0$ 垂直，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = 4$ ， $f (x)$ 在区间 $[k - 1, k + 1]$ 上不单调，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $a = - 2$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, 2]$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，不等式 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq m |\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}}|$ 成立，求 $m$ 的最小值.

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11、在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = C D = B D = 2$ ， $A B ⊥ B D$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 翻折至 $△ B P D$ ，其中 $P$ 为动点.

(1)、若 $A P = A D$ ，证明： $A B ⊥$ 平面 $B P D$ ；

(2)、求直线 $A P$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值的最大值.

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ， $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 且满足 $n S_{n + 1} - (n + 1) S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ .

(1)、证明：数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n} ^{2}}{2^{n - 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $R_{n}$ .

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13、已知 $\vec{a}$ 是平面内的任意一个向量，向量 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 满足 $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ，且 $|\vec{b}| = 4$ ， $|\vec{c}| = 4$ ，则 $\sqrt{2} |\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{a} - \vec{c}| + |\vec{a} + \vec{c}|$ 的最小值为.

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14、 ${(1 + 2 x - 3 y)}^{5}$ 的展开式中含 $x^{3} y$ 的项的系数为；

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15、已知角 $α$ 终边上一点 $P (2, 1)$ ，则 $\frac{sin 2 α}{1 + cos 2 α} =$ ；

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16、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过其右焦点 $F_{2} (5, 0)$ 的直线 $l$ 与它的右支交于 $P$ 、 $Q$ 两点， $P F_{1}$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$ ， $△ P A F_{2}$ 的内切圆与边 $A F_{2}$ 相切于点 $B$ ，设 $|A B| = t$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $t = 4$ ，则 $\begin{matrix} | | P F_{1} \end{matrix} | - \begin{matrix} | P F_{2} \end{matrix} | | = 8$ ； B、记 $∠ F_{1} P F_{2} = θ$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积 $S = b^{2} tan \frac{θ}{2}$ ； C、若 $t = 3$ ，过点 $(2, 0)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $E$ 有2个交点，则 $k \in (- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, \frac{4 \sqrt{5}}{5})$ ； D、若 $t = 3$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆与 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的内切圆的面积之和的最小值为 $8 π$ .

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17、已知 $f (x) = {(x + 1)}^{3} + a x + a$ ， $a \in R$ ，则下列说法中正确的是（）

A、当 $a = - 3$ 时，函数 $f (x)$ 的极大值点为1； B、当 $a = - 3$ 时，过点 $(- 1, 0)$ 可作一条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切； C、对 $\forall a \in R$ ，点 $(- 1, f (- 1))$ 是 $y = f (x)$ 的对称中心； D、若直线 $y = k x + k + 2 a + 2$ 与 $f (x)$ 有三个交点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 3$ .

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18、下列结论正确的是（）

A、已知数据53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，则这组数据的下四分位数为53； B、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, p)$ ，若 $E (X) = 40$ ， $D (X) = 30$ ，则 $p = \frac{3}{4}$ ； C、若3名男同学和2名女同学排成一排合影留念，要求其中的2名女同学相邻，则有48种不同的排法； D、一个样本（数据不全为5）的平均数为5，若在样本中添加一个数据：5，则该样本的平均数不变，方差变小.

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19、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 向圆 $C : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = b^{2}$ 引切线交椭圆于点 $P$ （在 $x$ 轴上方），若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{1}{2} b^{2}$ ，则椭圆的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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20、在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为 $0.8$ 和 $0.2$ ；发送1时，接收为0和1的概率分别为 $0.1$ 和 $0.9$ .若接收信号为1的概率为 $0.76$ ，则发送信号为1的概率为（）

A、0.2 B、0.5 C、0.8 D、0.9

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学历	使用情况		合计
学历	经常使用	不经常使用	合计
本科及以上	65	35	100
本科以下	50	50	100
合计	115	85	200

$α$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828