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相关试卷

1、已知 $f (x)$ 是定义在 $[0, 2]$ 上的函数，则“对 $\forall x \in (0, 2]$ ， $f (x) > f (0)$ 都成立”是 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上是增函数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、设 $M = \{x |x = 6 k - 2 . k \in Z\}$ ， $N = \{x |x = 3 k + 1, k \in Z\}$ ，则（）

A、 $M \subseteq N$ B、 $N \subseteq M$ C、 $M = N$ D、 $M ⊄ N$

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3、若复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 满足： $z + i \bar{z} = 2 + 2 i$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $0$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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4、下列函数中，既是偶函数又在 $(0, + \infty)$ 上单调递减的为（）

A、 $y = x^{- 1}$ B、 $y = x^{- 4}$ C、 $y = ln x$ D、 $y = 2^{|x|}$

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5、已知函数 $f (x) = |x + \frac{1}{x}| - |x - \frac{1}{x}|$ .

(1)、指出函数 $f (x)$ 的基本性质：定义域，奇偶性，单调性，值域（结论不需证明），并作出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $k \cdot f^{2} (x) - 2 k f (x) + 6 (k - 7) > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + m \cdot |f (x)| + n = 0 (m, n \in R)$ 恰有 $6$ 个不同的实数解，求实数 $n$ 的取值范围.

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6、大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销 $A, B$ 两种商品，据市场调查统计，当投资额为 $t (t \geq 0)$ 万元时，经销 $A, B$ 商品所获得的收益分别为 $f (t)$ 万元与 $g (t)$ 万元，其中 $f (t) = t + 1$ ， $g (t) = \{\begin{cases} \frac{10 t + 1}{t + 1}, 0 \leq t \leq 5 \\ - \frac{t^{2}}{2} + 6 t - 9, 5 < t \leq 10 \end{cases}$ ，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．

(1)、假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益；

(2)、如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．

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7、已知函数 $f (x) = \frac{3 x}{2 x^{2} + 2}$ ， $x \in (- 1, 1)$ ．

(1)、单调性的定义证明 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上是增函数；

(2)、解关于 $t$ 的不等式： $f (t + \frac{1}{2}) < f (\frac{1}{2} - t)$ ．

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8、已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x} + 1} - \frac{1}{2}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(2)、若不等式 $f (k x^{2}) + f (k x - 1) \geq 0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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9、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} |2^{x} - 1|, x \leq 2 \\ - \frac{1}{2} x + 4, x > 2 \end{array}$ ，若有不相等的实数 $a, b, c$ 满足 $f (a) = f (b) = f (c)$ ，则 $2^{a} + 2^{b} + 2^{c}$ 的取值范围是.

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10、已知定义在 $R$ 上且不恒为0的函数 $f (x)$ ，对任意 $x, y \in R$ ，都有 $f (x y) = x f (y) + y f (x)$ ，则（）

A、 $f (8) = 12 f (2)$ B、函数 $f (x)$ 是奇函数 C、对 $\forall n \in N^{*}$ ，有 $f (x^{n}) = n f (x)$ D、若 $f (2) = 2$ ，则 $f (2^{0}) + f (2^{1}) + f (2^{2}) + \dots + f (2^{5}) = 258$

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11、若 $a b > 0, a + 2 b = 6$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a b \leq \frac{9}{2}$ B、 $a^{2} + 4 b^{2} \geq 18$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{4 b^{2}}{2 b + 1}$ 的最小值为 $\frac{7}{3}$

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12、（多选）下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, 3)$ ，则函数 $y = \frac{f (x + 1)}{x - 1}$ 的定义域是 $(- 1, 1) \cup (1, 2)$ B、 $f (x) = \frac{x + 1}{x + 2}$ 图象关于点 $(- 2, 1)$ 成中心对称 C、若函数 $f (\sqrt{x} - 1) = x - 3 \sqrt{x}$ ，则 $f (x) = x^{2} - x - 2 (x \geq - 1)$ D、若函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ ，则对任意 $x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty)$ ，有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} \geq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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13、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立， $f (2026) = 2026$ ，则不等式 $f (x) - x > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2026) \cup (2026, + \infty)$ B、 $(- 2026, 0) \cup (2026, + \infty)$ C、 $(- 2026, 2026)$ D、 $(- \frac{1}{2026}, \frac{1}{2026})$

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14、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2024 - a x}}{a - 1}$ 在 $[0, 1]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (1, 2024]$ B、 $(- \infty, 0) \cup (0, 2024]$ C、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1)$

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15、已知 $a = {0.6}^{0.7}$ ， $b = {0.7}^{0.6}$ ， $c = {0.7}^{0.7}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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16、函数 $y = x^{\frac{2}{3}}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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17、已知集合 $A = \{12, a^{2} + 4 a, a - 2\}$ ， $- 3 \in A$ ，则 $a =$ （）

A、-1 B、-3或1 C、3 D、-3

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18、已知函数 $f (x) = e^{x \cdot cos x}$ （ $e$ 为自然对数的底数）

(1)、求函数 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若对记 $g (x) = - x^{3} - 3 x \cdot cos x + (a + 3) x$ ，若 $\forall x \in [0, 1]$ ，有 $f (x) \leq e^{g (x)}$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2$ ，证明： $cos 1 + cos \frac{2}{3} + cos \frac{1}{2} + cos \frac{2}{5} + \dots \dots + cos \frac{2}{n} < n - \frac{3}{2} + \frac{1}{n + 1}$

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19、设 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 与x轴的左右两个交点， $P_{1}, P_{2}$ 是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线 $A_{1} P_{1}$ 与 $A_{2} P_{2}$ 交点为点 $P$ .

(1)、求点 $P$ 轨迹方程 $Γ$ .

(2)、过点 $M (1, 0)$ 的直线l交曲线Γ于 $C, D$ 两点，其中点 $C$ 在 $x$ 轴上方.设直线 $A_{1} D$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A_{2} C$ 的斜率为 $k_{2}$ ，探究 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由.

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20、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $\sqrt{S_{n}} = \frac{1}{2} (a_{n} + 1)$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}}, n \in N^{*}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} .$

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