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相关试卷

1、设集合 $A = \{(x ， y) |y = x\}$ ， $B = \{(x ， y) |x^{2} + y^{2} = 1\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、不确定

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2、由边长为 $1$ ， $1$ ， $\sqrt{2}$ 的等腰直角三角形出发，用两种方法构造新的直角三角形：
①以原三角形的短直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边 $;$
②以原三角形的长直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边．
设 $k_{0} = (1; 1; \sqrt{2})$ ，由方法①，②均可得到 $k_{1} = (1; \sqrt{2}; \sqrt{3})$ ，接下来继续使用上述两种方法，得到三角形序列 ${k_{n} | k_{n} = (a_{n}; b_{n}; c_{n})} ($ 其中 $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ 是直角三角形 $k_{n}$ 的三条边，且 $a_{n} \leq b_{n}$ ， $c_{n}$ 为斜边 $)$ ，满足对于任意 $n \in N^{*}$ ，有 $k_{2 n} = (a_{n}; c_{n}; \sqrt{a_{n}^{2} + c_{n}^{2}})$ ， $k_{2 n + 1} = (b_{n}; c_{n}; \sqrt{b_{n}^{2} + c_{n}^{2}}) .$

(1)、设 $t_{n} = k_{2^{n - 1}} (n \in N^{*})$ ，求 $\{t_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $k_{n} = (5; 6; \sqrt{61})$ ，求 $n$ ；

(3)、证明：在直角三角形序列 $\{k_{n}\}$ 中，若 $i \neq j$ ，则 $\frac{a_{i}}{b_{i}} \neq \frac{a_{j}}{b_{j}}$ ．

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3、 $2019$ 年 $7$ 月 $30$ 日国家市场监督管理总局第 $111$ 次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自 $2019$ 年 $10$ 月 $1$ 日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于 $55 %$ 为优级品，固形物含量低于 $55 %$ 且不低于 $50 %$ 为一级品，固形物含量低于 $50 %$ 为二级品或不合格品．

(1)、现有 $6$ 瓶水果罐头，已知其中 $2$ 瓶为优级品， $4$ 瓶为一级品．
（ⅰ）若每次从中随机取出 $1$ 瓶，取出的罐头不放回，求在第 $1$ 次抽到优级品的条件下，第 $2$ 次抽到一级品的概率；
（ⅱ）对这 $6$ 瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出 $6$ 瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列与期望；

(2)、已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为 $p (0 < p < 1)$ ，且各件产品是否为优级品相互独立，若在 $10$ 次独立重复抽检中，至少有 $8$ 次抽到优级品的概率不小于 $7 \times {0.75}^{9}$ （约为 $0.5256$ ），求 $p$ 的最小值．

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4、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，过点 $F (1, 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点， $A$ 在 $x$ 轴上方， $A M$ ， $B N$ 均垂直于 $C$ 的准线，垂足分别为 $M$ ， $N$ ．

(1)、当 $|A B| = 3 |B N|$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、已知 $O$ 为坐标原点，证明： $|O A| \cdot |O B| = |O M| \cdot |O N|$ ．

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D, A B C D$ 为矩形， $A B = A D = \frac{\sqrt{2}}{2} P D$ ，点 $E$ 在棱 $P B$ 上，且直线 $P D$ 与 $C E$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ．

(1)、证明：点 $E$ 为棱 $P B$ 的中点；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值．

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6、若函数 $f (x) = x (2^{- x} - a) - |x - 1|$ 有且仅有一个零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} > 0$ ，则实数 $a$ 的取值集合为．

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7、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x = 0, C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + 4 = 0, P, Q$ 分别是 $C_{1}, C_{2}$ 上的动点，则 $|P Q|$ 的最大值为．

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8、已知 $i^{2} = - 1$ ，若复数 $z = (1 + i) (1 - i) + 2 i$ ，则 $|z| =$ ．

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9、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ ，若满足 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = a$ （ $a$ 为正常数）的动点 $P (x, y)$ 的轨迹为 $C$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\exists a > 0$ ，使得曲线 $C$ 经过原点 $O$ B、 $\forall a > 1$ ，曲线 $C$ 既是轴对称图形，也是中心对称图形 C、当 $a = 1.2$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、当 $a = 8$ 时，曲线 $C$ 围成的面积大于曲线 $E : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 围成的面积

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10、声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为 $π$ 的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是 $f (x) = \frac{3}{4} sin (\frac{2}{3} x - \frac{π}{6})$ ，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（）

A、 $g (x) = - \frac{3}{4} sin (\frac{2}{3} x - \frac{π}{6})$ B、 $g (x) = \frac{3}{4} cos (\frac{2}{3} x + \frac{π}{3})$ C、 $g (x) = \frac{3}{4} cos (\frac{2}{3} x)$ D、 $g (x) = \frac{3}{4} cos (\frac{2}{3} x - \frac{π}{6})$

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11、某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据：
研究学科
性别
数学
物理
化学
生物
合计
女
15
10
24
31
80
男
45
40
18
17
120
合计
60
50
42
48
200
欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么（）

A、若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人 B、若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取20人 C、若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人 D、若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项 $a_{n} = n^{2} + λ n (λ \in R)$ ，若 $\exists p, q \in N^{*}$ 且 $p \neq q$ ，使得 $a_{p} = a_{q} = - 120$ ，则 $λ$ 的取值个数为（）

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $8$ 个 D、无数个

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13、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (c, 0)$ ， $A$ ， $B$ 是其一条渐近线上的两点，且 $|A B| = 2 a$ ，若 $△ A B F$ 的面积等于 $c$ ，则 $c$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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14、已知 $△ A B C$ 的角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 1, b + c = 2, A = \frac{π}{4}$ ，则 $sin B + sin C =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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15、若 ${sin}^{2} θ = cos θ$ ，则 $cos 2 θ =$ （）

A、 $\sqrt{5} - 3$ B、 $2 - \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5} - 2$ D、 $3 - \sqrt{5}$

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16、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为1，若将其截去三棱锥 $A - A_{1} B_{1} D_{1}$ ，则剩余部分几何体的体积为（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{6}$

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17、已知 $O$ 为坐标原点，点 $A (1, \sqrt{3})$ ，将 $\vec{O A}$ 绕点 $O$ 逆时针方向旋转 $\frac{π}{3}$ 得到 $\vec{O A^{'}}$ ，则 $\vec{O A} - \vec{O A^{'}}$ 的模等于（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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18、已知 $a \in R$ ，则“ $x^{2} + 2 x + a > 0$ 的解集为 $R$ ”是“ $a > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知集合 $A = \{x |3 < x < 6\}, B = \{x |x \leq 4\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |3 < x \leq 4\}$ B、 $\{x |x < 6\}$ C、 $\{x |4 \leq x < 6\}$ D、 $\{x |x \leq 4\}$

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20、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足， $a_{1}, a_{2}$ 为正整数， $a_{n} = |a_{n + 1} - a_{n + 2}|, n \in N^{*}$ ．

(1)、若 $a_{1} = 1, a_{3} = 2$ ，求 $a_{4}$ ；

(2)、证明：“存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $a_{k} = 0$ ”是“ $\{a_{n}\}$ 是周期为3的数列”的必要不充分条件；

(3)、若 $a_{1} \neq a_{2}$ ，是否存在数列 $\{a_{n}\}$ ，使得 $a_{n} < 2025$ 恒成立？若存在，求出一组 $a_{1}, a_{2}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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研究学科性别	数学	物理	化学	生物	合计
女	15	10	24	31	80
男	45	40	18	17	120
合计	60	50	42	48	200