高中数学北师大版-试题列表-第40页

1、若集合

A = \{x | x^{2} −5 x +6<0\}

，

B = \{x | x^{2} −4 a x +3 a^{2} <0\}

，且

A ⊆ B

，则实数a的取值范围是（　　）

A、

1< a <2

B、

1≤ a ≤2

C、

1< a <3

D、

1≤ a ≤3

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2、对于实数

a

，

b

，

c

下列命题中的真命题是（）

A、若

a > b

，则

a c^{2} > b c^{2}

B、若

a > b > 0

，则

\frac{1}{a} > \frac{1}{b}

C、若

a < b < 0

，则

\frac{b}{a} > \frac{a}{b}

D、若

a > b

，

\frac{1}{a} > \frac{1}{b}

，则

a > 0

，

b < 0

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3、已知函数

y =2 x^{2} +2 x +1

，则当

−1≤ x ≤1

时，y的最大值和最小值分别是（　　）

A、5，

\frac{1}{2}

B、5，1 C、5，

\frac{1}{4}

D、1，

\frac{1}{2}

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4、若集合

X = \{x | x < 1\}

，下列关系式中成立的是（）

A、

0 \subseteq X

B、

\{0\} \subseteq X

C、

\emptyset \in X

D、

\{0\} \in X

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5、命题“

\exists x_{0} \in R

，

1 < f (x_{0}) ⩽ 2

”的否定形式是（）

A、

\forall x \in R

，

1 < f (x) ⩽ 2

B、

\exists x_{0} \notin R

，

1 < f (x_{0}) ⩽ 2

C、

\forall x \in R

，

f (x) ⩽ 1

或

f (x) > 2

D、

\exists x_{0} \in R

，

f (x_{0}) ⩽ 1

或

f (x_{0}) > 2

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6、已知集合

A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\} (0 \leq a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}, n \in N^{*}, n \geq 3)

具有性质

P

：对任意

i, j (1 \leq i \leq j \leq m)

，

a_{i} + a_{j}

与

a_{j} - a_{i}

至少一个属于

A

.

(1)、分别判断集合

C = \{0, 2, 4\}

与

D = \{1, 2, 3\}

是否具有性质P，并说明理由；

(2)、

A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}\}

具有性质P，当

a_{2} = 2023

时，求：集合A；

(3)、当

n = 2025

时，请直接写出

f (n) = \frac{a_{n}}{a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}}

的值.

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7、在①

A = \{x | \frac{1}{x} > 1\}

， ②

A = {x | x > 1}

这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题.

设集合________，集合 $B = \{x | x^{2} - 2 x + 1 - a^{2} = 0\}$ ；

(1)、若集合B的子集有2个，求实数a的取值范围；

(2)、若

A \cup B = A

，求实数a的取值范围.

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8、汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间

t_{0}

、人的反应时间

t_{1}

、系统反应时间

t_{2}

、制动时间

t_{3}

，相应的距离分别为

d_{0}

，

d_{1}

，

d_{2}

，

d_{3}

，当车速为v（单位：m/s），且

0 \leq v \leq 33.3

时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且

0.5 \leq k \leq 0.9

）.

阶段	准备	人的反应	系统反应	制动
时间	$t_{0}$	$t_{1} = 0.8 s$	$t_{2} = 0.2 s$	$t_{3}$
距离	$d_{0} = 20 m$	$d_{1}$	$d_{2}$	$d_{3} = \frac{v^{2}}{20 k} m$

(1)、请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求：当

k = 0.9

时，汽车撞上固定障碍物的最短时间t

(2)、若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则：车辆设计的最高速应小于多少km/h.

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9、命题

α

：关于

x

的方程

x^{2} + 3 x + m + 2 = 0

有两个相异负根．命题

β

：关于

$x$ 的不等式 $x^{2} + 4 m x + 8 m + 12 > 0$ 对 $x \in R$ 恒成立．

(1)、若命题

α

为真命题，求实数

m

的取值范围；

(2)、若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数

m

的取值范围．

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10、已知R的子集U为一个数集，集合

A = \{s^{2} + 3 t^{2} | s, t \in U\}

.

(1)、设

U = {1, 3, 5}

，求：集合A的非空真子集个数；

(2)、设

U = ​ ​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Z

，证明：若

x \in A

，则

7 x \in A

.

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11、集合

P = \{x ∣ x = 2 k, k \in Z\}

，

Q = \{x ∣ x = 2 k + 1, k \in Z\}

，

M = \{x ∣ x = 4 k + 1, k \in Z\}

，且

a \in P

，

b \in Q

，则（　　）

A、

a + b \in P

B、

a + b \in Q

C、

a + b \in M

D、

a + b

不属于

P

，

Q

，

M

中的任意一个

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12、已知a，b，

c \in R

，则“

a \leq b

”的必要不充分条件可以是下列的选项（）

A、

\frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}

B、

a c \leq b c

C、

a c^{2} \leq b c^{2}

D、

a^{2} \leq b^{2}

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13、集合

M = \{930, - 5, - 1, 0, π\}

有5个元素，设

M

的所有非空子集为

M_{i} (1, 2, \dots, 31)

，每一个

M_{i}

中所有元素乘积为

m_{i} (i = 1, 2, \dots, 31)

，则

m_{1} + m_{2} + m_{3} + \dots + m_{31} =

.

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14、已知不等式

x^{2} - 6 x + a (6 - a) < 0

的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为.

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15、已知集合

P = \{x| - 2 \leq x \leq 10\}

，

Q = \{x| x^{2} - 2 x + (1 - m^{2}) \leq 0\}

，其中

m > 0

，全集

U = R

.若“

x \in \bar{P}

”是“

x \in \bar{Q}

”的必要不充分条件，则实数

m

的取值范围为.

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16、如图，设I为全集，则阴影部分所表示的集合是（请用各集合的交，并，补表示）

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17、已知关于x的不等式组

\{\begin{array}{l} x^{2} - x - 2 > 0 \\ 2 x^{2} + (2 k + 5) x + 5 k < 0 \end{array}

的整数解的集合为

\{- 2\}

，则实数k的取值范围是．

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18、下列不等式中，不成立的是．（填序号）

①若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ ；②若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ ；③若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ；

④若 $a > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ；⑤若 $a > b$ ，若 $a^{5} > b^{5}$ ；⑥若 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ；

⑦若 $a > b > 0$ ， $0 < c < d$ ，则 $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$ ；⑧若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$ ．

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19、若一元二次方程

x^{2} - 4 x + 1 = 0

的两根分别为a，b，则

a^{2} - 2 a + a (b - 2) - 2024 =

.

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20、若关于x的不等式x²－4x－m≥0对任意x∈(0，1]恒成立，则m的最大值为．

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