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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = 3 \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| \leq \frac{π}{2})$ ，且有 $f (x) + f (\frac{π}{3} - x) = 0$ ， $f (\frac{π}{3} + x) = f (\frac{π}{3} - x)$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(0, 4 π)$ 内至少有（）个零点．

A、4 B、8 C、10 D、12

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2、对于函数 $f (x) = (2^{x} - 2^{- x}) \cdot x^{3}$ 和实数m、n．下列结论正确的是（）

A、若 $f (m) < f (n)$ ，则 $m^{2} < n^{2}$ B、若 $f (m) < f (n)$ ，则 $m^{3} < n^{3}$ C、若 $m < n$ ，则 $f (m) < f (n)$ D、若 $0 < m < n$ ，则 $f (\frac{1}{m}) < f (\frac{1}{n})$

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3、我们知道 $x \in (0 °, 90 °)$ 时， $\tan x > \sin x$ 恒成立； $x \in (0 °, 45 °)$ 时， $\cos x > \sin x$ ， $x \in (45 °, 90 °)$ 时， $\sin x > \cos x$ ，某数学研究小组欲研究 $x \in (0 °, 90 °)$ 时， $\cos x$ 与 $\tan x$ 的大小关系，小组成员经过分析得出结论，存在 $α$ ，当 $x \in (0 °, α °)$ 时， $\cos x > \tan x$ ，当 $x \in (α °, 90 °)$ 时， $\tan x > \cos x$ ，为更准确地估计 $α$ ，该小组查到如下相关数据： $\sqrt{5} \approx 2.236$ ， $\sin 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\sin 38 ° \approx \frac{8}{13}$ ， $\sin 39 ° \approx \frac{17}{27}$ ， $\sin 40 ° \approx \frac{9}{14}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x \in (0 °, 37 °)$ 时， $\cos x > \tan x > \sin x$ ； $x \in (38 °, 45 °)$ 时， $\tan x > \cos x > \sin x$ B、 $x \in (0 °, 38 °)$ 时， $\cos x > \tan x > \sin x$ ； $x \in (39 °, 45 °)$ 时， $\tan x > \cos x > \sin x$ C、 $x \in (0 °, 39 °)$ 时， $\cos x > \tan x > \sin x$ ； $x \in (40 °, 45 °)$ 时， $\tan x > \cos x > \sin x$ D、 $x \in (0 °, 40 °)$ 时， $\cos x > \tan x > \sin x$

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4、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1), \vec{b} = (1, 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + m \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、5 C、 $- 1$ D、 $- 5$

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5、已知集合 $A = {x | \log_{9} x > \frac{1}{2}}$ ， $B = {x | x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 3}$ B、 ${x | 1 < x < 3}$ C、 ${x | 1 < x < 4}$ D、 ${x | 3 < x < 4}$

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6、已知复数z满足(2＋i)z＝1＋i，则z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7、已知函数 $f (x) = 2 a \ln x - x^{2} + a$ ， $a \in R$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在这两个零点处的切线交于点 $(x_{0}, y_{0})$ ，求证： $x_{0}$ 小于 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的等差中项；

(3)、证明： $2 \ln (n + 1) > \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n + 1}$ ， $n \in N^{*}$ .

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8、已知函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围.

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9、已知 ${(2 x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56.

(1)、求展开式中所有二项式系数的和；

(2)、求展开式中的常数项.

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10、若函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} + 3 m x + 1$ 是 $R$ 上的单调函数，则实数 $m$ 的取值范围是．

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11、对任意实数 $x$ ，有 ${(2 x - 3)}^{9} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + a_{3} {(x - 1)}^{3} + \dots \dots + a_{9} {(x - 1)}^{9}$ .则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2} = - 144$ B、 $a_{0} = 1$ C、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{9} = 1$ D、 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \dots - a_{9} = - 3^{9}$

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12、下列求导过程正确的是（）

A、 ${(\frac{2}{x})}^{'} = - \frac{2}{x^{2}}$ B、 $(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ C、 ${(\frac{\ln x}{\ln a})}^{'} = \frac{1}{x \ln a}$ D、 ${[\cos (\frac{3}{2} π - 3 x)]}^{'} = - 3 \sin (\frac{3}{2} π - 3 x)$

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13、定义在区间 $[- \frac{1}{2}, 4]$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 4)$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{1}{2}, 0)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极小值

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14、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，且 $f (x) > f^{'} (x)$ ，则当 $a > b$ 时，下列不等式成立的是（）

A、 $e^{a} f (a) > e^{b} f (b)$ B、 $e^{b} f (a) > e^{a} f (b)$ C、 $e^{b} f (b) > e^{a} f (a)$ D、 $e^{a} f (b) > e^{b} f (a)$

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15、学校乒乓团体比赛采用 $5$ 场 $3$ 胜制（ $5$ 场单打），每支球队派 $3$ 名运动员参赛，前 $3$ 场比赛每名运动员各出场 $1$ 次，其中第 $1$ 、 $2$ 位出场的运动员在后 $2$ 场比赛中还将各出场 $1$ 次，假设某球队派甲、乙、丙 $3$ 名运动员参加比赛，则所有可能的出场情况的种数为（）

A、 $12$ B、 $18$ C、 $30$ D、 $36$

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16、已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 x$ ， $x \in R$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $5 x - y + 2 = 0$ B、 $5 x - y - 2 = 0$ C、 $x - 5 y + 2 = 0$ D、 $x - 5 y - 2 = 0$

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17、若有5名实习学生到甲、乙、丙、丁4个公司学习，每人限报一个公司，则不同的报名方式有（）

A、625 B、1024 C、120 D、24

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18、若 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 - Δ x) - f (1)}{Δ x} = 2$ ，则可导函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的导数为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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19、 ${(x + \frac{1}{x^{2}})}^{3}$ 的展开式中常数项是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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20、定义正方形数阵 $\{a_{(i, j)}\}$ 满足 $a_{(i, j)} = i^{2} - j^{2}$ ，其中i， $j \in N^{*}$ .

(1)、若 $i + j = 100$ ，求数阵 $\{a_{(i, j)}\}$ 所有项的和T；

(2)、若m，n，p， $q \in N^{*}$ ，求证： $a_{(m, n)} a_{(p, q)}$ 也是数阵 $\{a_{(i, j)}\}$ 中的项；

(3)、若 $i$ ， $j \in \{1, 2, 3, \dots, n\}$ ， $i \neq j$ 且 $n \geq 3$ ，求 $a_{(i, j)}$ 的值为奇数的概率 $P_{n}$ .

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