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相关试卷

1、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面垂直， $A A_{1} = A B = A C = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ， M，N分别为 $C C_{1}$ ， BC的中点，若点P在棱 $A_{1} B_{1}$ 上运动，则下列说法中正确的有（）

A、 $A M ⊥ P N$ B、点P到直线BC的距离的最大值为 $\sqrt{6}$ C、 $P N$ 与平面 $A B C$ 所成最小角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、点N到平面AMP距离的最大值为 $\frac{\sqrt{30}}{5}$

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2、已知 ${(1 + 2 x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} x^{7}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{2} = 84$ B、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} = \frac{3^{7} - 1}{2}$ C、展开式的二项式系数和 $3^{7}$ D、展开式中二项式系数最大的项为第6项

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3、已知定义域为R的函数 $f (x)$ ，满足 $f (2 x)$ 是奇函数， $f (3 x - 1)$ 是偶函数，则下列说法不一定正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称 B、 $f (- 3) = 1$ C、 $f (x)$ 的一个周期为4 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(0, 0)$ 对称

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4、用模型 $y = c \cdot e^{k x}$ 拟合一组数据时，为了求出非线性回归方程，设 $z = \ln y$ ，其变换后得到线性回归方程为 $z = 0.5 x + 1$ ，则c等于（）

A、 $0.5$ B、 $e$ C、2 D、 $e^{2}$

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5、已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（）

A、 $\frac{33}{40}$ B、 $\frac{20}{21}$ C、 $\frac{50}{53}$ D、 $\frac{33}{50}$

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6、在 ${(x^{2} + 3 x + y)}^{5}$ 的展开式中， $x^{5} y^{2}$ 的系数为（）

A、90 B、60 C、30 D、20

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7、若空间向量 $\vec{a} = (2, 1, 0), \vec{b} = (1, 0, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标是（）

A、 $(4, - 1, 0)$ B、 $(- 1, 0, - 1)$ C、 $(- 2, 1, 0)$ D、 $(1, 0, 1)$

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8、若a<0，b<0，则p＝ $\frac{b^{2}}{a}$ ＋ $\frac{a^{2}}{b}$ 与q＝a＋b的大小关系为（）

A、p<q B、p≤q C、p>q D、p≥q

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9、设随机变量 $X ~ N (2, 32)$ ，且 $P (X > m) = P (X < m - 2)$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10、已知集合 $S = \{s |s = 3 n + 2, n \in Z\}$ ， $T = \{t |t = 6 n + 2, n \in Z\}$ ，则 $S \cap T =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $S$ C、 $T$ D、 $Z$

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11、已知函数 $f (x) = x + \ln x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线与曲线 $y = x^{2} + (2 a + 3) x + a$ 只有一个公共点，求实数 $a$ 的值；

(2)、若方程 $f (x) = 2 x - m$ 有两个不同的解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，
①求实数 $m$ 的范围，试比较 $x_{1} + \frac{1}{x_{1}}$ 与 $x_{2} + \frac{1}{x_{2}}$ 的大小关系，并说明理由；
②证明： $\ln (n + 1) < \frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2^{2} + 2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}}$ .

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12、已知函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的一个极值点是 $- 3$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(- 2, - 1)$ 内不单调，求实数 $a$ 的取值范围：

(3)、当 $x > 0$ 时， $f (x) > 2 x + 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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13、已知函数 $f (x) = x {(x - 3)}^{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间：

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(a, a + 4)$ 上存在最大值，求实数 $a$ 的范围；

(3)、过点 $(0, m)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的三条切线，求实数 $m$ 的范围.

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14、已知 ${(x^{2} + \frac{a}{x})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为2187.

(1)、求 $n$ 和 $a$ 的值；

(2)、求展开式中按 $x$ 的降幂排列的第3项；

(3)、求展开式中项的系数最大的项.

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15、（1）求值：① $A_{4}^{1} + A_{4}^{2} + A_{4}^{3} + A_{4}^{4}$ ；
② $C_{9}^{1} + C_{9}^{3} + C_{9}^{5} + C_{9}^{7} + C_{9}^{9}$ .
（2）求证： $(n + 1) C_{n}^{m} = (m + 1) C_{n + 1}^{m + 1}$ ；

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16、若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如212，324等都是“凹数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成三位数，则组成的三位数中，“凹数”的个数是，其中能被3整除的“凹数”的个数是.

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17、曲线 $y = \sin x$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线方程为.

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18、“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（）

A、在“杨辉三角”第6行中，从左到右第3个数是20 B、在“杨辉三角”中，第10行的所有的数字之和为1024 C、记“杨辉三角”第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 2^{i - 1} \cdot a_{i} = 3^{n}$ D、在“杨辉三角”中，第 $n$ 行所有数字的平方和恰好是第 $2 n$ 行的中间一项的数字

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19、若函数 $f (x) = e^{x + m} - \ln x$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq - 1$ B、 $m > - 1$ C、 $m \geq 0$ D、 $- 1 \leq m < 0$

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20、 $(1 + x + x^{2}) {(1 - x)}^{10}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为 $a$ ， ${(x^{2} + x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{5} y^{2}$ 的系数为 $b$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- 15$ B、75 C、135 D、165

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