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相关试卷

1、下列函数中，满足 $f (2 x) = 2 f (x)$ 的是（）

A、 $f (x) = |x|$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = x + 1$ D、 $f (x) = - x$

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2、已知实数 $a, b, c$ 满足 $2^{a} = 3^{b - 1} = 5^{c - 2}$ ，则下列关系不可能成立的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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3、函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则（）

A、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ C、 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{6})$ D、 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$

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4、“ $x = 1$ ”是“ $x^{2} - 1 = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、函数 $f (x) = 2^{x}$ 与 $g (x) = \log_{2} x$ 的图象关于（）

A、 $x$ 轴对称 B、 $y$ 轴对称 C、坐标原点对称 D、直线 $y = x$ 对称

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6、下列函数中，与函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 有相同定义域的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = \ln x$ D、 $y = \sqrt{- x}$

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7、已知集合 $A = \{2, 3, 4\}, B = \{x |1 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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8、在 $△ A B C$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 对应的边分别为 $a, b, c, b sin A + a tan A cos B = 2 a sin C$ .

(1)、求A；

(2)、奥古斯丁·路易斯·柯西，法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式： $x_{1}, x_{2}, x_{3}, y_{1}, y_{2}, y_{3} \in R$ ， ${(x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} + x_{3} y_{3})}^{2}$ $\leq (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) (y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2})$ ，当且仅当 $\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}} = \frac{x_{3}}{y_{3}}$ 时等号成立.在（1）的条件下，若a＝3.
（ⅰ）求： $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) [\frac{2}{1 - \cos 2 A} + \frac{1}{\cos^{2} (\frac{π}{2} - B)} + \frac{1}{\sin^{2} (π + C)}]$ 的最小值；
（ⅱ）若P是 $△ A B C$ 内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设 $△ A B C$ 的面积为S，求 $T = \frac{|A B|}{|P D|} + \frac{9 |B C|}{|P E|} + \frac{|A C|}{|P F|}$ 的最小值.

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9、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} (x + \frac{π}{6}) - 1$ .
（1）求 $f (x)$ 的单调递增区间；
（2）若函数 $g (x) = f (x) - k$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{13 π}{12}]$ 上有三个零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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10、古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点 $A$ 、 $B$ 的距离之比为定值 $λ$ （ $λ > 0$ 且 $λ \neq 1$ ）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 2, 0)$ 、 $B (2, 0)$ ，点 $P$ 满足 $\frac{|P A|}{|P B|} = 3$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为.

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11、已知 $a, b, c$ 分别是 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边， $b^{2} + c^{2} = a c \cos C + c^{2} \cos A + a^{2}$ ，且 $S_{Δ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $Δ A B C$ 周长的最小值为．

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对边长为 $a, b, c$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，角 $A$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于 $D$ ，且 $A D = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $c = 2$ ，则 $B D = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ B、若 $c = 2$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆半径是 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3} b c = b + c$ D、 $b c \geq \frac{16}{3}$

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13、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面为直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = C C_{1} = \sqrt{2}$ ，点 $P$ 是线段 $B C_{1}$ 上一动点，则 $C P + P A_{1}$ 的最小值是

A、 $\sqrt{26}$ B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{37} + 1$ D、 $6 + \sqrt{2}$

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14、在锐角三角形 $A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $cos C sin (A - B) = cos B sin (C - A)$ ，则角 $A$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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15、复数 $z = \frac{5}{i - 2}$ 的共轭复数为（）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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16、如图，几何体 $O A B - O_{1} A_{1} B_{1}$ 是圆柱的四分之一部分，其中底面OAB是半径为2的扇形，母线长为4，C是 $O O_{1}$ 的中点，M为 $A B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $C M / /$ 面OAB；

(2)、若P在弧 $\overset{⌢}{A B}$ 中点，求平面ACM与平面PCM所成角的正弦值；

(3)、若P是弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的动点，Q是弧 $\overset{⌢}{A_{1} B_{1}}$ 上的动点，且 $∠ A O P + ∠ A_{1} O_{1} Q = \frac{π}{2}$ ，求直线 $O A_{1}$ 与直线PQ所成角余弦值的最大值．

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17、为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行6轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”.6轮比赛中，至少获得5次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅，其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准．

(1)、从这8幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；

(2)、以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了 $\frac{1}{6}$ ，
①设该同学赛前强化训练后，规定作品入选的概率为 $p_{1}$ ，创意作品入选的概率为 $p_{2}$ ，该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为p，请写出p关于 $p_{1}$ ， $p_{2}$ 的表达式，并求p的最大值；
②以获得“巧手奖”的次数均值为参考，试预测该同学能否进入决赛？

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，直线 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ 被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $M (3, 0)$ 的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，求 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的取值范围．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + a x$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[2, + \infty)$ 上单调递增，求实数a的最小值；

(2)、若函数 $g (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，对 $\forall x_{1} \in [1, 3]$ ， $\exists x_{2} \in [1, 3]$ ，使 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 成立，求实数a的取值范围．

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20、已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \times 2^{- x}$ （ $a$ 为常数， $a \in R$ ），且 $f (x)$ 为偶函数，

(1)、求a的值；

(2)、若方程 $k = f (2 x) - 3 f (x)$ 在 $x \in [0, 1]$ 上有解，求实数k的取值范围．

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