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相关试卷

1、在三棱锥 $A - B C D$ 中，若 $A B ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ ， $B D = 1$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、0

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2、为筹备“2025浙江省城市篮球联赛（浙BA）”城市争霸赛，某市级联队面向社会公开选拔战术助理教练，选拔流程包括两轮测试，重点考察选手的篮球知识储备与临场战术应对能力：第一轮为战术理解测试：从5道经典战术分析题中任选2题作答，若两题均答对得40分，其余情况得0分；第二轮为实战应变测试：从5道实战应变题中任选2题作答，每答对1题得30分，答错得0分；若两轮总成绩不低于60分，选手将获得面试资格，且进入正式教练团队备选名单.现有两位候选人甲与乙参加此次测试，甲对两轮题目中每道题的答对概率均为0.5；乙第一轮测试题仅掌握其中4题（掌握的题必答对，未掌握的题必答错），乙第二轮每题答对的概率为0.4；所有测试中，每项成功与否互不影响.

(1)、求甲两轮测试总分为30分的概率；

(2)、求乙在第一轮测试中得40分的概率；

(3)、试判断谁更有可能进入正式教练团队备选名单？

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3、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 b = c + 2 a \cos C$ .

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为9，面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，求a.

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4、甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，密码被成功破译的概率是（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{12}$

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5、已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ （ $a$ 为常数， $a \in R$ ）．

(1)、当 $a$ 取何值时，函数 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、当 $a = 1$ 时，若方程 $f (2 x) - k \cdot f (x) = 3$ 在 $x \in [0, 1]$ 上有实根，求实数 $k$ 的取值范围．

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6、函数 $f (x) = \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7、已知函数 $f (x) = x \ln (x + a) - 2 x + 2 \ln (x + 1), g (x) = 2 \ln (x + a + 1) - 3 x$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $g (x)$ 在 $(1, g (1))$ 处的切线 $l$ 的方程；

(2)、判断 $x = 0$ 是否是函数 $f (x)$ 的极值点，并说明理由；

(3)、若不等式 $f (x) > g (x) + k (x - 2)$ 对任意的 $x \in (2, + \infty)$ ， $a \in [0, 2]$ 恒成立，求正整数 $k$ 的最大值．（参考数据： $e = 2.71828 \dots, e^{2} = 7.38906 \dots, e^{3} = 20.08554 \dots$ ）．

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8、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过点 $Q (2, 0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点．当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时， $|A B| = 4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的解析式；

(2)、若 $\cos ∠ A O B = - \frac{\sqrt{13}}{13}$ ，过 $x$ 轴上一点 $P$ 作直线 $O A, O B, A B$ 的垂线，垂足分别为 $E, F, G$ ，且满足 $E,$ $F, G$ 三点共线．
（i）求直线 $l$ 的方程；
（ii）求 $P$ 点的坐标．

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9、已知 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $S_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (1, 0)$ ，定义点 $A_{n} (1 + \frac{1}{a_{n}}, 1), B_{n} (n, 1)$ （其中 $n \in N_{+}$ ），记 $a_{n} = ∠ A_{n} O P, β_{n} = ∠ B_{n} O P$ ．
（i）求 $\tan (β_{2} + β_{3})$ 的值；
（ii）证明： $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} + β_{n + 1} = \frac{π}{4}$ ．

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B // C D, B C ⊥ A B,$ $A B = 1 + \sqrt{3}, C D = \sqrt{3}, B C = P B = 2$ ，且四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3} + 1}{3}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ P D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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11、某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， …， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，

(1)、求图中 $a$ 的值和样本成绩的中位数；

(2)、已知学校用分层抽样的方法，从 $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在 $[90,100]$ 内的有 $X$ 人，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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12、已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作直线交双曲线 $C$ 的右半支于 $P, Q$ 两点，满足 $P F_{1} ⊥ P Q$ ，且 $△ Q F_{1} F_{2}$ 面积是 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的两倍，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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13、用1，2，3， $12$ 四个数组成一个五位数（每个数仅用到1次），则能组成个不同的五位数．

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14、已知实数 $a, b$ 满足 $2^{a} = 3, 3^{b} = 2$ ，则 $a b =$ ．

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15、现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为 $A$ 队，丙、丁为 $B$ 队．已知甲、乙传给队友的概率为 $\frac{1}{3}$ ，丙、丁传给队友的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为 $n$ （ $n \in N_{+}$ 且 $n \geq 2$ ），则（）

A、传球 $n$ 次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B、 $n = 3$ 时，球在乙手中的概率为 $\frac{5}{27}$ C、传球 $n$ 次后，球在 $A$ 队成员手中的概率恒为一个常数 D、设球在乙手中的概率为 $p_{n}$ ，则 $p_{n} = \frac{1}{6} [1 + {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}] (n > 2)$

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16、已知 $△ A B C$ 的三个内角分别为 $A, B, C$ ， $B = C + \frac{π}{2}$ ， $A B = 2, A C = 3$ ， $D$ 在线段 $B C$ 上，且满足 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．则（）

A、 $\sin B = \frac{3}{2} \sin C$ B、 $\tan C = \frac{2}{3}$ C、 $B C = \frac{25}{13}$ D、 $A D = \frac{6 \sqrt{26}}{13}$

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17、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $M$ 是线段 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $A_{1} B_{1} //$ 平面 $B C_{1} M$ B、 $B_{1} D_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成夹角为 $60 °$ C、平面 $A_{1} B_{1} D ⊥$ 平面 $B C_{1} M$ D、三棱锥 $C - B C_{1} M$ 的体积为 $\frac{1}{12}$

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18、已知随机变量 $X ~ N (1, 4)$ ，随机变量 $Y ~ N (2, 4)$ ，正实数 $a, b$ 满足 $P (X \leq a) = P (Y \geq b)$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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19、晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”．现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中 $A B C D$ 为矩形， $A B = 20 m$ ， $A E, D E, B F, C F$ 为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为5m，圆心角为 $\frac{π}{3}$ ．已知区域 $A B F E$ 和 $D C F E$ 是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（）

A、 $20 π$ m² B、 $\frac{100 π}{3}$ m² C、 $50 π$ m² D、 $\frac{200 π}{3}$ m²

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20、已知函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的定义域为 $[\frac{π}{2}, a]$ ，值域为 $[- 1, \frac{1}{2}]$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}]$ B、 $[\frac{5 π}{6}, π]$ C、 $[\frac{2π}{3}, \frac{7 π}{6}]$ D、 $[\frac{2π}{3}, π]$

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