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相关试卷

1、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，椭圆 $E$ 的四个顶点构成的四边形的面积是4，若直线 $l$ 过点 $P (3, 0)$ 且与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、若 $|M N| = \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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2、如图，在三棱锥 $D - A B C$ 中，侧面 $D A C ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A D = D C$ ， $A B = B C$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、已知 $A B = \sqrt{5}$ ， $A C = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $F$ 是线段 $B D$ 上一点，当 $A F ⊥ B D$ 时，求平面 $F A C$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值．

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3、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ ， $N$ ， $P$ 分别为 $A B$ ， $B C$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B P //$ 平面 $C_{1} M N$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A C, A A_{1} = A B = A C = 2$ ，求直线 $B_{1} C_{1}$ 与平面 $C_{1} M N$ 所成角的正弦值．

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4、已知直线 $l : x + y + a = 0$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点.若圆 $O$ 上存在一点 $P$ ，使得四边形 $O A P B$ 为菱形，则实数 $a$ 的值是.

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5、曲线 $E : \frac{x^{2}}{m + 2} + \frac{y^{2}}{2 - m} = 1 (m \neq \pm 2)$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则 $m$ 的一个取值为.

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6、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = a (a > 0)$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 9 = 0$ 关于直线 $l$ 对称，则 $a =$ ，直线 $l$ 的方程为.

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7、两条直线 $l_{1} : x - y = 0$ 与 $l_{2} : 2 x - 2 y - 3 = 0$ 之间的距离是.

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8、椭圆 $\frac{y^{2}}{4} + x^{2} = 1$ 的长轴长为，焦点坐标分别为.

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9、蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ .已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上， $A$ ， $B$ 为椭圆 $E$ 上任意两点，动点 $P$ 在直线 $x - \sqrt{3} y - 8 = 0$ 上.若 $∠ A P B$ 恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆 $E$ 离心率的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{7})$ B、 $(0, \frac{6}{7})$ C、 $(0, \frac{\sqrt{21}}{7})$ D、 $(0, \frac{\sqrt{42}}{7})$

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10、已知直线 $l_{1} : x - λ y + 1 = 0$ ， $l_{2} : 2 x - 4 y + 7 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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11、经过点 $(1, - 1)$ 且倾斜角为45°的直线的方程为（）

A、 $x + y - 1 = 0$ B、 $x - y - 2 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x + y - 2 = 0$

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12、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = 1$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ， $A D = 2$ ， M是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C M / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的余弦值；

(3)、在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面 $P A Q$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$ ？若存在，求出 $\frac{B Q}{B D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $A B C D$ 是矩形， $P D = C D = 2. E$ 是 $P C$ 的中点，过 $E$ 作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ ．

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面 $D E F$ ；

(2)、若 $P C$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

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14、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A C = B D = C D = 3, A D = B C = 2, M, N$ 分别是 $A D, B C$ 的中点．求

(1)、 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}, \vec{A D} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{A N}, \vec{C M}$

(2)、求异面直线 $A N, C M$ 所成角的余弦值．

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15、已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (- 1, 1)$ ， $C (- 4, 0)$ ，线段 $A B$ 的垂直平分线方程为 $2 x - y - 2 = 0$ .

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆 $E$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $P (2, 0)$ ，且与圆 $E$ 相交截所得弦长为8，求直线 $l$ 的方程.

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16、已知圆心为C的圆经过 $A (1, 1)$ ， $B (3, 3)$ 两点，且圆心C在直线 $l$ ： $x - 2 y - 1 = 0$ 上.

(1)、求圆C的方程；

(2)、求直线 $x - y - 4 = 0$ 被圆C所截得的弦长.

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17、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B C A = 90^{°}$ ， $M, N$ 分别是 $A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点， $B C = C A = C C_{1}$ ，则 $B M$ 与 $A N$ 所成角的余弦值为．

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18、已知 $x, y \in R$ ，且 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ ，则 $x^{2} + y^{2} - 11$ 的最大值为.

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19、已知直线 $l_{1} : x + a y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : y = 2 x + 2$ 互相垂直，则 $a$ 的值是．

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20、下列说法正确的是（）

A、“直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x - a y - 2 = 0$ 互相垂直”是“ $a = - 1$ ”的充分不必要条件 B、直线 $x sin α + y + 2 = 0$ 的倾斜角 $θ$ 的取值范围是 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ C、若圆 $M : {(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上恰有两点到点 $N (1, 0)$ 的距离为1，则 $r$ 的取值范围是 $(4, 6)$ D、过点 $P (1, 2)$ 且在 $x$ 轴， $y$ 轴上的截距互为相反数的直线方程是 $x - y + 1 = 0$

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