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相关试卷

1、已知 $α, β, γ$ 是三个不同的平面， $a, b, c$ 为三条不同的直线且 $α \cap β = a, α \cap γ = b, β \cap γ = c$ ，则三条直线 $a, b, c$ 的位置关系可能是（）

A、三条直线两两平行 B、有且仅有两条直线平行 C、三条直线相交于同一点 D、有且仅有两条直线相交

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2、已知曲线 $y = 2^{x}$ 上的点 $A$ 和曲线 $y = 2^{x - 1} - \frac{4}{3}$ 上的两点 $B, C$ 满足 $△ A B C$ 是等腰直角三角形，且直角边与坐标轴平行，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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3、已知正项等比数列{a_n}的公比不为1， $T_{n}$ 为其前n项积，若 $T_{7} = 1$ ，则集合 $\{T_{k} ∣ 1 \leq k \leq 20\}$ 中的元素个数为（）

A、13 B、17 C、18 D、20

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4、甲、乙、丙、丁、戊共 $5$ 名同学进行劳动技术比赛，决出第 $1$ 名到第 $5$ 名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“祝贺，你排在前两名.”对乙说：“遗憾，你不是第一名.”从这两个回答分析，这 $5$ 人名次排列的所有可能情况共有（）

A、 $36$ 种 B、 $42$ 种 C、 $48$ 种 D、 $54$ 种

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5、一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（）

A、0 nmile B、15 nmile C、30 nmile D、40 nmile

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6、如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π，π]的大致图象，则该函数是（）

A、 $y = (e^{x} + e^{- x}) s i n x$ B、 $y = (e^{x} - e^{- x}) s i n x$ C、 $y = (e^{x} + e^{- x}) c o s x$ D、 $y = (e^{x} - e^{- x}) c o s x$

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7、已知 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (0, - 1)$ ，若 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $k =$ （）

A、 $- \frac{4}{17}$ B、 $- \frac{1}{11}$ C、 $0$ D、 $\frac{4}{17}$

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8、已知复数 $z = (m + 1) + (m^{2} + 3 m) i$ 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(- 3, 0)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (0, + \infty)$

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9、已知命题： $\forall x \in R$ ， $x + |x| \geq 0$ ，则该命题的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x + |x| < 0$ B、 $\forall x \in R, x + |x| \leq 0$ C、 $\exists x \in R, x + |x| \geq 0$ D、 $\exists x \in R, x + |x| < 0$

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10、某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量 $X$ 的分布列为
$X$
$0$
$1$
$2$
$3$
$P$
$k {(1 - α)}^{2}$
$k α$
$k$
$k (1 - α)$
其中 $k > 0$ ， $0 < α < 1$ ．

(1)、当 $α = \frac{1}{2}$ 时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值；

(2)、已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人．
（i）求该顾客为幸运客户的概率 $f (α)$ ；
（ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过 $\frac{1}{2}$ ，求 $α$ 的取值范围．

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11、四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面ABCD是菱形，且 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $A D = 2$ ，侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 是矩形，且M是 $A_{1} D_{1}$ 的中点.

(1)、求证：平面 $M C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若平面 $A D D_{1} A_{1}$ 与平面ABCD所成二面角的平面角为 $\frac{π}{3}$ ， $A_{1} A = \sqrt{3}$ ，求直线 $B_{1} D$ 与平面MAB所成角的正弦值.

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12、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a \ln x$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

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13、已知函数 $f (x) = \sin 2 x - \sin (x + φ)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 是奇函数，求 $φ$ ；

(2)、当 $φ = \frac{π}{2}$ 时， $f (x)$ 的所有正零点从小到大排列构成数列 $\{x_{n}\}$ ，求 $\{x_{n}\}$ 的前 $20$ 项和 $S_{20}$ ．

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14、双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与 $C$ 在第一象限的交点为 $M$ ，若直线 $M F_{2}$ 与 $C$ 的一条渐近线平行，则 $C$ 的离心率为.

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差不为0， $a_{4} = 5$ ，且 $a_{2}, a_{5}, a_{6}$ 成等比数列，则 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和的最大值为．

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16、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $〈\vec{a}, \vec{b}〉 =$ .

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17、曲线C： ${|x|}^{α} + {|y|}^{α} = 1$ （ $α > 0$ ）是优美的封闭曲线，其围成的面积记为 $S_{α}$ ， M是C与y轴正半轴的交点，过原点O的直线交C于点A，B，则（）

A、 $S_{\frac{1}{2}} < S_{1}$ B、 $S_{2} > S_{3}$ C、当 $α = 1$ 时， $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的最大值是 $\frac{1}{2}$ D、当 $α = \frac{1}{2}$ 时， $\vec{M A} \cdot \vec{M B} \in [0, \frac{7}{8}]$

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18、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点P，Q，M，N分别是 $A B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ ， BC的中点，则下列说法中正确的有（）

A、 $P Q / /$ 平面ABC B、 $M N ⊥ B C$ C、 $P Q ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ D、PQ与MN相交

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19、下列说法正确的是（）

A、随机事件A，B相互独立的充要条件是 $P (\bar{A} B) = [1 - P (A)] \cdot P (B)$ B、设X为随机变量，则 $E (X^{2}) = D (X) + {[E (X)]}^{2}$ C、 $X ~ B (3, \frac{1}{3})$ ，则 $E (X) = 1$ ， $D (X) = 2$ D、若 $X ~ N (1, 2^{2})$ ，记函数 $f (x) = P (X \leq x)$ ， $x \in R$ ，则 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, \frac{1}{2})$ 对称

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20、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，任意给定 $n \in N^{*}$ ，都存在 $x_{0} \in D$ ，使得 $f (n x_{0}) = n f (x_{0})$ ，则 $f (x)$ 不可能为（）

A、 $f (x) = x$ B、 $f (x) = \sqrt{x}$ C、 $f (x) = ln x$ D、 $f (x) = e^{- x^{2}}$

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$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$k {(1 - α)}^{2}$	$k α$	$k$	$k (1 - α)$