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相关试卷

1、椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与椭圆 $E$ 交于点 $A, B$ ，过点 $A$ 作椭圆的切线 $l$ ，点 $B$ 关于 $l$ 的对称点为 $M$ ，若 $|A B| = a, \frac{S_{△ M A B}}{S_{△ A F_{1} B}} = \frac{3}{4}$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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2、已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $1, ∠ D A B = 60^{\circ}, E$ 是 $B C$ 的中点， $A E$ 与 $B D$ 相交于点 $F$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、1 D、 $\frac{7}{6}$

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3、已知复数 $z \in C$ ，满足 $1 \leq |z - \frac{1}{1 + i}| \leq 2$ ，在复平面内 $z$ 对应的点为 $Z$ ，则点 $Z$ 所在区域的面积为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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4、已知 $lg a + lg b = 0 (a > 0, b > 0$ ，且 $a \neq 1, b \neq 1)$ ，则函数 $f (x) = a^{- x}$ 与 $g (x) = {log}_{b} x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5、若 $α = - 5$ ，则（）

A、 $\sin α > 0, \cos α > 0$ B、 $\sin α > 0, \cos α < 0$ C、 $\sin α < 0, \cos α > 0$ D、 $\sin α < 0, \cos α < 0$

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6、已知集合 $A = \{- 1, 0, 2, m^{2}\}, B = \{x \in Z ∣ x^{2} \leq 3\}$ ，若 $A \cap B = \{- 1, 0, 1\}$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\pm 1$ D、0

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7、对于数据 $1, 2, 4, 6, 6, 11$ ，下列说法错误的是（）

A、平均数为5 B、众数为6 C、极差为10 D、中位数为6

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8、已知 $f (x) = a x - (l n x)^{2}$

(1)、 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、 $f (x)$ 有3个零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，
①求 $a$ 的取值范围；
②证明： $(l n x_{2} - l n x_{1}) \cdot l n x_{3} < \frac{4 e}{e - 1}$ .

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9、已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = b_{1} = 2, a_{2} = b_{2} + 1, a_{3} = b_{3}$ ，

(1)、求 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、 $\forall n \in N^{*}$ ， $I = {0, 1}$ ，有 $T_{n} = {p_{1} a_{1} b_{1} + p_{2} a_{2} b_{2} + ⋯+ p_{n - 1} a_{n - 1} b_{n - 1} + p_{n} a_{n} b_{n} ∣ p_{1}, p_{2}, ⋯, p_{n} \in I}$ ，
①求证： $\forall t \in T_{n}$ ，均有 $t < a_{n + 1} b_{n + 1}$ ；
②求 $T_{n}$ 中所有元素之和．

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10、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A, P$ 为 $x = a$ 上一点，且直线 $P F$ 的斜率 $= \frac{1}{3},$ △PFA的面积为 $\frac{3}{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过点P的直线与椭圆有唯一交点 $B$ （异于点A），求证： $P F$ 平分 $∠ A F B$ .

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11、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4， $E, F$ 分别为 $A_{1} D_{1}, C_{1} B_{1}$ 中点， $C G = 3 C_{1} G$

(1)、证明： $G F ⊥$ 平面 $E B F$ ；

(2)、求平面 $F B E$ 与平面 $E B G$ 夹角的余弦值；

(3)、求三棱锥D-FBE的体积.

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12、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 $a s i n B = \sqrt{3} b c o s A, c - 2 b = 1, a = \sqrt{7}$ .

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、求 $c, b$ 的值；

(3)、求 $s i n (A + 2 B)$ 的值.

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13、 $a . b \in R$ ，对 $\forall x \in [- 2, 2]$ ，均有 $(2 a + b) x^{2} + b x - a - 1 \leq 0$ 恒成立，则 $(2 a + b)_{m i n} =$ ．

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14、 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 边的中点 $\vec{C E} = \frac{1}{3} \vec{C D}, \vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （用 $\vec{a} ， \vec{b}$ 表示），若 $| \vec{A E} | = 5$ ， $A E ⊥ C B$ ．则 $\vec{A E} \cdot \vec{C D} =$ ．

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15、小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈，
第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，
若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6，
若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4，
①小桐一周跑11圈的概率为．
②若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4圈，记合格周数为 $X$ ，则期望 $E (X) =$ ．

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16、 $l_{1} : x - y + 6 = 0$ 与 $x$ 轴交于点A ，与 $y$ 轴交于点B ，与圆 $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = r^{2}$ 交于C ， D两点， $| A B | = 3 | C D |$ ，则 $r =$ ．

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17、在 $(x - 1)^{6}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为．

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18、已知i是虚数单位，则 $| \frac{3 + i}{i} | =$ ．

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19、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ 0 ， b ＞ 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ . 以右焦点 $F_{2}$ 为焦点的抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与双曲线交于第一象限的 $P$ 点，若 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 3 | F_{1} F_{2} | .$ 则双曲线的离心率 $e =$ （）

A、2 B、5 C、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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20、已知 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0, - π < φ < π)$ ，在 $[- \frac{5π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上单调递增， $x = \frac{π}{12}$ 为它的一条对称轴， $(\frac{π}{3}, 0)$ 为它的一个对称中心，当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)_{m i n} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、0

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