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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 1 + a_{n} a_{n + 1}$ ， $a_{1} = 2$ ，则此数列前 $100$ 项的和为（）

A、 $\frac{97}{2}$ B、 $\frac{99}{2}$ C、 $50$ D、 $\frac{103}{2}$

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2、函数 $f (x) = x - (\frac{1}{2} x + a) \ln x - 1$ ．

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $f (x)$ 单调区间；

(2)、当 $x > 1$ 时 $f (x) < 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $a_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ ， $T_{n} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}^{2}$ ，请比较 $4 T_{n}$ 与 $ln (n + 1)$ 大小，并说明理由．

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3、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $e = \frac{1}{2}$ ，右焦点 $F (\sqrt{2}, 0)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、如图，过右焦点 $F$ 斜率为 $k$ （ $k > 0$ ）的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $B$ ， $D$ 两点（点 $B$ 在 $x$ 轴上方），点 $S$ ， $T$ 是椭圆 $C$ 上异于 $B$ 、 $D$ 的两点， $S F$ 平分 $∠ B S D$ ， $T F$ 平分 $∠ B T D$ .
（ⅰ）求 $\frac{|B S|}{|D S|}$ 的取值范围；
（ⅱ）动点 $M$ 与两定点 $H$ 、 $E$ 的距离之比 $\frac{|M H|}{|M E|} = λ$ （ $λ > 0$ ， $λ \neq 1$ ）， $λ$ 是一个常数，那么动点 $M$ 的轨迹称为阿波罗尼斯圆，且圆心在直线 $H E$ 上，将点 $S$ ， $F$ ， $T$ 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若 $△ S F T$ 外接圆的面积为 $\frac{81 π}{8}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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4、某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于 $[15, 25]$ 之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、以频率估计概率，若从所有花卉中随机抽4株，记高度在 $[19, 21)$ 内的株数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ；

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c = \sqrt{7}$ ， $c \sin B = b \sin (\frac{π}{3} + C)$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形， $A C$ 边上的高为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $b$ ．

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6、三棱锥 $P - A B C$ 的四个顶点在球 $O$ 的表面上，若 $P A = A C = P C = 1$ ， $B C = P B = 2$ ， $A B = \sqrt{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为.

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7、已知 $f (x) = b + cos(ω x - \frac{π}{4})$ （ $2 < ω < 3$ ）的图象关于点 $(- \frac{π}{2}, - 1)$ 中心对称，则 $f (\frac{π}{2}) =$ .

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8、已知事件 $A$ ， $B$ 相互独立， $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (A \cup B) =$ .

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9、已知 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ 到点 $F (1, 0)$ 的距离比它到直线 $x + 3 = 0$ 的距离小2，记动点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ，过点 $F$ 的直线交曲线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在第一象限），且 $|A F| = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A B$ 的方程为 $y = \sqrt{3} x - \sqrt{3}$ B、 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ C、 $|A B| = \frac{16}{3}$ D、若曲线 $y = k |x - 1|$ （ $k > 0$ ）与 $C$ 在第一象限相交于 $P$ 、 $Q$ 且 $∠ P O F = 2 ∠ Q O F$ ，则 $k = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

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10、函数 $f (x) = 2 \ln x + \frac{2 a}{3} x^{3} - x^{2} + 2 b x$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = - b = 1$ ，则 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极值点 B、若 $f^{'} (1) = 4$ ，则 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ C、若 $a = 0$ ， $f (x)$ 在 $(2, + \infty)$ 单调递减，则 $b \leq \frac{3}{2}$ D、若 $a \leq 0$ ， $b = 0$ ，则 $f (x)$ 无零点

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11、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 且公比 $q > 0$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $S_{3} = \frac{19}{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $q = \frac{3}{2}$ B、 $S_{4} < 8$ C、 $\{\log_{2} a_{n}\}$ 是等差数列 D、 $\{S_{n} - 2\}$ 是等比数列

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12、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）， $l$ 为 $C$ 的一条渐近线，若双曲线 $C$ 的左焦点 $F (- c, 0)$ 关于直线 $l$ 的对称点在圆 ${(x - c)}^{2} + y^{2} = c^{2}$ 上，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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13、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $\forall x$ ， $y \in R$ ， $f (x) = f (x - y) f (y)$ ，且 $f (1) = 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 1) = - 2$ C、 $f (x + 1) < f (x)$ D、 $f (x + 2) + f (x) > 2 f (x + 1)$

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14、已知各项为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ 且 $S_{n}^{2} - 2 S_{n} = S_{n - 1}^{2} + 2 S_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ），则 $S_{2026} =$ （）

A、4052 B、4051 C、2027 D、2026

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15、已知二项式 ${(a x + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中所有项的系数和为32，若 $ξ \sim N (μ, 4)$ 且 $P (ξ < a) = P (ξ > 3)$ ，则 $μ$ 为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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16、函数 $f (x) = \frac{\sin 4 x}{1 + 3^{|x|}}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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17、设集合 $A = \{x \in N |0 \leq x < 6\}$ ， $B = \{x |2 x - 1 \in A\}$ ，则 $A \cap B$ 为（）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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18、已知复数 $z = 1 - i$ ，则复数 $\frac{1}{z^{2}}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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19、已知函数 $h (x) = m \ln x + e^{- x} ， (m \in R)$

(1)、若函数 $h (x)$ 为增函数，求 $m$ 的取值范围；

(2)、已知实数 $p, q \in (0, + \infty)$ ，且 $p < q$ ．
（i）证明： $p (e^{p + 1} - e^{q + 1}) > e^{p + q} (p - q)$ ；
（ii）若 $p$ 与 $q$ 是函数 $h (x)$ 的两个极值点，证明： $0 < h (p) - h (q) < 1$ ．

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20、已知 $n \in N^{*}$ ，等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = \frac{3^{n + 1} - 3}{2}$ ，正项等差数列 $\{b_{n}\}$ 的首项为5，且 $b_{1}, b_{3} - 1, b_{6}$ 成等比数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 与数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、设 $p_{n} = (b_{n} - 3 n) 3^{n}$ ， $T_{i j} = \{\begin{array}{l} \sum_{k = i}^{j} p_{k}, i < j \\ p_{i}, i = j \end{array}$ ， $(i, j \in N^{*})$ ．求证：若 $m, r, s, t \in N^{*}$ ，满足 $m \leq r, s \leq t$ ，且有序实数对 $(m, r) \neq (s, t)$ ，则 $T_{m r} \neq T_{s t}$ ．

(3)、设 $A_{n} = \{1, 2, \dots, n\}, H = \{t |t =| a_{i} - a_{j} ∣, i, j \in A_{n}\}$ ，求集合 $H$ 的所有元素之和 $M$ ．

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