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相关试卷

1、某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为 $t$ ，规则如下：
①当 $0 < t \leq 3$ 的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值 $E$ （单位：EXP）与
游玩时间 $t$ （单位：小时）满足关系式： $E = t^{2} + 20 t + 20 a (t > 0)$ ；
②当 $3 < t \leq 5$ 的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；
③当 $t > 5$ 的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50.

(1)、写出 $E$ 与 $t$ 的函数关系式 $E = f (t)$ ，并求出当 $a = 2$ ， $t = 6$ 时的 $E$ 值；

(2)、该游戏厂商把 $E$ 与 $t$ 的比值称为“玩家愉悦指数”，记为 $H (t)$ ，直接写出函数 $H (t)$ 的解析式；

(3)、在(2)的条件下，若 $a = \frac{5}{16}$ ，当 $t \leq 5$ 时，求 $H (t)$ 的最小值.

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2、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{a \cdot 3^{x}}{3^{x} + 1}$ 为奇函数.

(1)、求 $a$ 的值，判断 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性并说明理由；

(2)、已知 $f (m - 1) + f (m - 3) > 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、已知幂函数 $f (x) = {(m - 1)}^{2} x^{m^{2} - 5 m + 2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，函数 $g (x) = 2^{x} - k$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、记集合 $A = \{y ∣ y = f (x), x \in [1, 2]\}$ ，集合 $B = \{y ∣ y = g (x), x \in [1, 2]\}$ ，若 $A \cap B = B$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2 - x}}{ln x}$ ，则 $f (x + 1)$ 的定义域为．

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5、已知 $10^{2 a} = 5$ ， $10^{b} = 2$ ，则（）

A、 $a < b$ B、 $2 a + b = 1$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b < - 3$ D、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} > 9$

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6、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b \in R$ ，则函数 $f (x) = b x - a$ 与 $g (x) = b \cdot a^{x}$ 在同一坐标系内的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7、设集合 $A = \{x |0 < x \leq 4\}$ ， $B = \{y |0 < y \leq 1\}$ ，则从 $A$ 到 $B$ 的函数 $f (x)$ 可能为（）

A、 $f (x) = x^{- 1}$ B、 $f (x) = \sqrt{x}$ C、 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ D、 $f (x) = \frac{1}{5} x$

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8、“ $\frac{x - 1}{x + 1} \leq 1$ ”是“ $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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9、已知函数 $f (x) = ln \frac{x}{2 - x} + a x + b {(x - 1)}^{3}$

(1)、若 $b = 0$ ，且 $f^{'} (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的最小值；

(2)、证明：曲线 $y = f (x)$ 关于点 $(1, a)$ 中心对称；

(3)、若 $f (x) > - 2$ 当且仅当 $1 < x < 2$ ，求 $b$ 的取值范围.

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10、已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x) = 4^{x} + a \cdot 4^{- x}$ 和奇函数 $g (x) = 4^{x} + b \cdot 4^{- x}$ ．
（1）求 $a, b$ 的值；
（2）当 $x \in (- \frac{1}{2}, 0)$ 时，不等式 $f (2 x) - k \cdot g (x) + 1 \geq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；
（3）若方程 $f (x) = m \cdot 4^{x} - m$ 在 $(0, \frac{1}{2})$ 上恰有一个实根，求实数 $m$ 的取值范围．

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11、如图，平行四边形 $E F G H$ 的四个顶点分别在空间四边形 $A B C D$ 的边 $A B, B C, C D, D A$ 上，求证： $B D / /$ 平面 $E F G H$ ．

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12、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 边长为 $2, E 、 F$ 分别为 $A D_{1}, C D_{1}$ 中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求异面直线 $E F$ 与 $B_{1} C_{1}$ 所成角的大小．

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13、一个小商店从一家有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）如下：
486 495 496 498 499 493 493 498 484 497 504 489 495 503
499 503 509 498 487 500 508
（1）21袋白糖的平均质量是多少？标准差s是多少？
（2）质量位于 $\bar{x} - s$ 与 $\bar{x} + s$ 之间有多少袋白糖？所占的百分比是多少？

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14、已知函数 $f (x) = e^{x} + a \ln x - x^{a} - x (a > 0)$ ，当 $a = 2$ 时，函数 $f (x)$ 在点 $P (1, f (1)$ 处的切线方程为；若 $f (x) \geq 0$ 对 $\forall x \in (1, + \infty)$ 恒成立，则实数a的最大值为．

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15、已知函数 $f (x) = a x^{3} - x^{2} - x + 2 a$ ，其中 $a \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 有两个零点 B、若 $f (x)$ 在 $(- 1, 3)$ 上存在两个极值点，则 $a$ 的取值范围是 $(\frac{7}{27}, + \infty)$ C、当 $a > 0$ 时，函数 $f (x)$ 至少有一个零点 D、存在实数 $a$ ，使函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 3)$ 上有最大值

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 是 $C$ 上一点， $△ P F_{1} F_{2}$ 是等腰三角形，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积可能是（）

A、 $\sqrt{35}$ B、 $\sqrt{42}$ C、7 D、 $3 \sqrt{7}$

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17、已知定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (x) + 2 f (x) = \frac{\sqrt{x}}{e^{x}}$ ， $2 f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2 e}}$ ，若对任意正数 $a$ ， $b$ 都有 $f ({(\frac{1}{2})}^{x} - \frac{3}{2}) < \frac{1}{4 b^{2} e^{2}} + \frac{1}{64 a^{2}} + \frac{a b}{4}$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- 1, \frac{1}{2})$ D、 $(0 ， \frac{1}{2})$

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18、若函数 $f (x)$ 的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对 $[A, B]$ 称为 $y = f (x)$ 的“友情点对”，点对 $[A, B]$ 与 $[B, A]$ 看作同一个“友情点对”，若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a, x \leq 0 \\ \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2, x > 0 \end{array}$ ，恰好有两个“友情点对”，则实数a的取值范围为（）

A、 $[2, \frac{31}{3}) \cup \{- \frac{1}{3}\}$ B、 $(- \frac{31}{3}, - 2] \cup \{\frac{1}{3}\}$ C、 $[2, \frac{31}{3})$ D、 $(- \frac{31}{3}, - 2]$

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19、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = 4, E, F, H$ 分别是棱 $P B, B C, P D$ 的中点，则过 $E, F, H$ 的平面截四棱锥 $P - A B C D$ 所得截面面积为（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $4 \sqrt{6}$ C、 $5 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{6}$

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20、已知 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ 是函数图象上任意两点，如果对于函数自变量取值范围内的 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，都有 $|y_{1} - y_{2}| < |x_{1} - x_{2}|$ 成立，那么就称该函数是自变量取值范围上的“平缓函数”，则以下函数是“平缓函数”的是（）

A、 $y = 2 x + 2$ ， x取任意实数 B、 $y = \frac{1}{x}, - 1 < x < 0$ C、 $y = - x^{2} + 6 x - 8, 0 < x < 2$ D、 $y = - x^{2} + 6 x - 8, 3 < x < \frac{7}{2}$

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