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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足 $g (x) = f (x) + \frac{a^{2}}{f (x)} (a > 0)$ .

(1)、设 $f (x) = x$ ，求证：函数 $g (x)$ 在区间 $(0, a)$ 上为减函数，在区间 $(a, + \infty)$ 上为增函数；

(2)、设 $f (x) = \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$ .
①当 $a = 1$ 时，求 $g (x)$ 的最小值；
②若对任意实数 $r, s, t \in [- \frac{3}{5}, \frac{3}{5}]$ ， $|g (r) - g (s)| < g (t)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、如图，已知直线 $l_{1} / / l_{2}$ ， $A$ 是 $l_{1}, l_{2}$ 之间的一个定点，过 $A$ 作 $l_{1}, l_{2}$ 的垂线分别交 $l_{1}, l_{2}$ 于 $D, E$ 两点， $A D = A E = 2$ ， $B, C$ 分别是 $l_{1}, l_{2}$ 上的两个动点（ $B, C$ 均在 $D E$ 的右侧）．设 $∠ B A C = α$ ， $∠ A B D = θ$ ， $△ A B C$ 的周长和面积分别为 $L (θ)$ 和 $S (θ)$ ．

(1)、当 $α = \frac{π}{2}$ 时，求 $L (θ)$ 的最小值；

(2)、当 $α = \frac{2 π}{3}$ 时，求 $S (θ)$ 的最小值．

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3、如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为3的菱形， $A A_{1} = 4, ∠ D A B = ∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{\circ}, E, F$ 分别在线段 $B_{1} B$ 和 $D_{1} D$ 上，且 $B E = \frac{1}{4} B B_{1}$ ， $D F = \frac{3}{4} D D_{1}$ ．

(1)、证明： $A, E, C_{1}, F$ 四点共面；

(2)、求平面 $A E C_{1} F$ 与平面 $A_{1} A D D_{1}$ 夹角的余弦值．

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4、为了提高市民的普法意识，某市举行了普法知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了 $100$ 人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为 $6$ 组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低 $40$ 分，最高 $100$ 分）．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值，并求出样本中成绩在 $60$ 分以上的人数：

(2)、若划定成绩大于或等于第 $75$ 百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围；

(3)、现知道样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为 $88$ ，方差为 $18$ ，成绩在 $[80, 90)$ 内的平均数为 $86$ ，方差为 $2$ ，求成绩在 $[90, 100]$ 内的平均数和方差．

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5、已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3 \vec{b}) = - 5$ .

(1)、若 $(4 \vec{a} - 3 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} + \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 的夹角.

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6、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{A B} | = 2$ ．设 $C (3, 4)$ ，则 $| 2 \vec{C A} + \vec{A B} |$ 的取值范围是．

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7、已知函数 $f (x) = x^{2} + a |x| + a^{2} - 4$ 有唯一零点，则 $a =$ ．

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8、已知i是虚数单位，则 $|\frac{3+i}{i}| =$ ．

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $\forall x, y \in R$ ， $f (x) f (y) = f (x + y)$ ，且 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 1) = 2$ C、 $f (x + 1) < f (x)$ D、 $f (x + 2) - f (x + 1) < f (x + 1) - f (x)$

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10、某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面 $A F R ⊥$ 平面ABC，平面 $C D T ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ B C, A B ∥ E F ∥ R S ∥ C D, B C ∥ D E ∥ S T ∥ A F$ ．若 $A B = B C = 8, A F = C D = 4, R A = R F = T C = T D = \frac{5}{2}$ ，则该多面体的体积为（）

A、40 B、50 C、60 D、70

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11、在 $△ A B C$ 中，三边长 $a, b, c$ 满足 $a + c = 3 b$ ，则 $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12、已知函数 $f (x) = cos2 x - cos x$ ，则 $f (x)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上的所有零点之和为（）

A、 $π$ B、 $2π$ C、 $3π$ D、 $4π$

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13、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 3$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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14、从2，4，8，16中任取两个数，分别记作a，b，则使 $\log_{a} b$ 为整数的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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15、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 3, A D = 1, A B = \sqrt{2}$ ，则异面直线 $D B_{1}$ 与 $A A_{1}$ 所成角的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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16、已知集合 $A = {x| 3 \leq x < 10}$ ， $B = {x| 2 < x \leq 7}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[3, 7]$ B、 $(2, 10)$ C、 $(2, 3]$ D、 $[7, 10)$

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，且经过点 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ 的左右焦点，过双曲线 $C$ 上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 作双曲线的切线 $l$ （ $l$ 的方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ）交 $y$ 轴于点 $Q$ ；
（ⅰ）证明： $F_{1}, F_{2}, P, Q$ 四点共圆；
（ⅱ）当 $x_{0} > 0$ 时，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线与 $∠ P F_{1} F_{2}$ 的角平分线交于点 $M$ ，求点 $M$ 的轨迹方程．

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18、若无穷正项数列 $\{a_{n}\}$ 同时满足以下两个性质：①存在 $M > 0$ ，使得 $a_{n} < M, n \in N^{*}$ ；② $\{a_{n}\}$ 为单调数列，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $Q$ ．

(1)、若 $a_{n} = 2 n - 1, b_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$ ；
（ⅰ）判断数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 是否具有性质 $Q$ ，并说明理由；
（ⅱ）记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，判断数列 $\{S_{n}\}$ 是否具有性质 $Q$ ，并说明理由；

(2)、某同学投篮命中率为 $\frac{1}{4}$ ，每次投篮相互独立，设随机变量 $X$ 为投篮 $2 n$ 次命中的次数，记 $c_{n} = \sum_{k = 1}^{n} P (X = 2 k - 1)$ ，证明：数列 $\{c_{n}\}$ 具有性质 $Q$ ．

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19、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2, A D = 1, ∠ D A B = 60 °, E$ 为 $A B$ 中点，将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折至 $△ A_{1} D E$ ．设 $M$ 是线段 $A_{1} C$ 的中点， $C E ⊥ A_{1} E$ ．

(1)、证明： $C E ⊥$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(2)、求三棱锥 $A_{1} - D E C$ 的体积；

(3)、求直线 $B M$ 与平面 $A_{1} D C$ 所成角的正弦值．

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20、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ ．

(1)、求 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(3)、判断方程 $f (x) = a (a \in R)$ 的解的个数．

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