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相关试卷

1、已知结论：设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $a, b \in R$ ，若 $f (a + x) + f (a - x) = 2 b$ 对 $x \in R$ 恒成立，则 $f (x)$ 的图象关于点 $(a, b)$ 中心对称，反之亦然.特别地，当 $a = b = 0$ 时， $f (x)$ 的图象关于原点对称，此时 $f (x)$ 为奇函数.设定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \frac{2^{x} + 2}{2^{x} + 1}$ .

(1)、计算 $f (x) + f (- x)$ 的值，证明 $f (x)$ 的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性，并用定义法证明；

(3)、求不等式 $f (4^{x} - 32) + f (- 2^{x + 2}) \leq 3$ 的解集.

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2、已知二次函数满足 $f (- 1) = 3$ ，且 $f (x) < 0$ 的解集为 $(0, 2)$ ，若函数 $g (x) = \{\begin{array}{l} f (x), x \leq 1 \\ 7 x - 4, x > 1 \end{array}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若实数 $a$ 满足 $g (a + 3) \leq 8$ ，求 $a$ 的取值范围.

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3、 $e^{ln 5} - {log}_{2} 3 \cdot {log}_{3} 4 + lg 200 + lg 5 =$ .

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4、若函数 $y = x^{2} - a x - 3, x \in [- 3, 2]$ 的最小值为 $- 8$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $- \frac{14}{3}$ B、 $- 2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\frac{9}{2}$

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5、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 4 b = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $7$ C、 $a^{2} + 16 b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{a} + 2 \sqrt{b}$ 的最大值为 $\sqrt{2}$

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6、已知集合 $M = \{- 1, 1\}$ ， $N = \{x |m x = 1\}$ ，且 $N \subseteq M$ ，则实数 $m$ 的值可以为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $1$

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7、函数 $y = 1 - x + \sqrt{1 - 2 x}$ 的值域为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2}]$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$

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8、函数 $f (x) = e^{x^{2} - t x}$ 在 $(2, 3)$ 上单调递减，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 6]$ B、 $[6, + \infty)$ C、 $(- \infty, 4]$ D、 $[4, + \infty)$

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9、已知幂函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减 B、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、 $f (x)$ 的图象过点 $(0, 0)$ D、 $f (π) < f (3)$

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10、已知a， $b \in R$ ，则“ $a = b = 0$ ”是“ $a + b = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、设全集 $U = \{0, 1, 2\} ， A = \{1\} ， B = \{1, 2\}$ ，则 $∁_{U} (A \cap B) =$ （）

A、 $\{0, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{1\}$ D、 $\{0, 1\}$

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12、对于给定的非空数集 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots a_{n}\} (n \in N^{*})$ ，定义集合 $A^{+} = \{x |x = a_{i} + a_{j}, a_{i}, a_{j} \in A, 1 \leq i \leq j \leq n\}$ ， $A^{-} = \{x |x = |a_{i} - a_{j}|, a_{i}, a_{j} \in A, 1 \leq i \leq j \leq n\}$ ，当 $A^{+} \cap A^{-} = \emptyset$ 时，称 $A$ 具有孪生性质.

(1)、若集合 $A = \{2, 5\}$ ，求集合 $A^{+}$ ， $A^{-}$ ；

(2)、若集合 $B = \{b_{1}, b_{2}, b_{3}\}$ ， $b_{1} < b_{2} < b_{3}$ ，且 $B^{-} = B$ ，求 $b_{1}$ 的值并证明： $b_{3} = 2 b_{2}$ ；

(3)、若集合 $C \subseteq \{x |1 \leq x \leq 2024, x \in N^{*}\}$ ，且集合 $C$ 具有孪生性质，记 $|C|$ 为集合 $C$ 中元素的个数，求 $|C|$ 的最大值.

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13、已知函数 $f (x) = a x^{2} - b x + 3$ .

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $(1, 3)$ ，求 $a + b$ 的值；

(2)、若 $a > 0$ ， $b = a + 3$ ，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集（结果用 $a$ 表示）；

(3)、若 $f (- 1) = 4$ ， $a > 0$ ， $b > - 1$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b + 1}$ 的最小值.

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14、工厂生产某种产品，次品率 $p$ 与日产量 $x$ （万件）间的关系 $p = \{\begin{cases} \frac{1}{6 - x} (0 < x \leq c) \\ \frac{2}{3} (x > c) \end{cases}$ （ $c$ 为常数，且 $0 < c < 6$ ），已知每生产一件合格产品盈利 $3$ 元，每出现一件次品亏损 $1.5$ 元.
（1）将日盈利额 $y$ （万元）表示为日产量 $x$ （万件）的函数；
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注： $次品率 = \frac{次品数}{产品总数} \times 100 %$ ）

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15、已知 $f (x) = \frac{2 a x + b}{x^{2} + 4}$ 在定义域 $[- 2, 2]$ 上为奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{17}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 在定义域内的单调性；

(3)、若 $f (2 - t) + f (4 - t^{2}) < 0$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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16、已知集合 $A = \{x |\frac{x + 1}{x - 2} \leq 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 4 x + 4 - a^{2} \leq 0, a \in R\}$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若存在正实数 $a$ ，使得“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”成立的充分条件，求正实数 $a$ 的取值范围.

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17、已知函数 $f (x) = (x^{2} + a x + b) (\sqrt{x + 1} - 2)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为.

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18、函数 $y = \frac{x + 1}{x - a}$ 的图像关于点 $(2, b)$ 中心对称，则 $\frac{b}{a} =$ .

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19、设 $m, n \in R$ ，集合 $M = \{1, m\}$ ， $N = \{- 1, - n\}$ ，若 $M = N$ ，则 $m - n =$ .

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20、设函数 $f (x) = (x - 1) |x|$ ，则下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 在 $(0, a)$ 上单调递减，则 $0 < a \leq \frac{1}{2}$ B、当 $- 1 < x < 1$ 时， $f (1 - x) \geq f (x)$ C、对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ 总成立 D、若 $f (x)$ 在区间 $(m, n)$ 上既有最大值也有最小值，则 $n - m \geq \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

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