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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面是直角梯形 $A B C D, A B ∥ D C$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}, A B = 2, C D = 1, A D = \sqrt{3}, A E = \sqrt{6}, △ B C E$ 为正三角形，且平面 $B C E ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $B C ⊥ A E$ ；

(2)、求直线 $A B$ 和平面 $A D E$ 所成角的正弦值；

(3)、设点 $P$ 是三棱锥 $E - A B C$ 外接球上一点，求点 $P$ 到平面 $A D E$ 距离的最大值．

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2、随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 18)$ ，其中 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得 $\sum_{i = 1}^{18} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 66$ ， $\sum_{i = 1}^{18} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 7500, \sum_{i = 1}^{18} x_{i} y_{i} = 950, 18 \bar{x} \cdot \bar{y} = 270$ .

(1)、求样本 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \dots ， 18)$ 的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额 $y$ （单位：万元）和月份编号 $x$ 是否线性相关（当 $|r| \geq 0.75$ 时，即可认为线性相关）；

(2)、已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列．
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sqrt{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2})}}, \sqrt{22} \approx 4.7$ ．

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ，满足 $a_{n + 1} - 3 a_{n} - 1 = 0 (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明数列 $\{a_{n} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、设 $b_{n} = {log}_{3} (2 a_{n} + 1) ， T_{n}$ 为数列 $\{\frac{2}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_{2026}$ ．

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4、学校食堂每餐推出 $A 、 B$ 两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了 $A$ 套餐，则第2天选择 $A$ 套餐的概率为 $\frac{1}{4}$ ；若他前1天选择了 $B$ 套餐，则第2天选择了 $A$ 套餐的概率为 $\frac{3}{4}$ ．已知他开学第1天中午选择 $A$ 套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ，在该同学第3天选择了 $A$ 套餐的条件下，他第2天选择 $A$ 套餐的概率为．

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5、已知 $F_{1} (- 2 ， 0)$ ， $F_{2} (2 ， 0)$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点， $P$ 为第一象限内椭圆 $C$ 上的一个动点， $Q$ 为 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内心，过 $F_{1}$ 作直线 $P Q$ 的垂线，垂足为 $M$ ，若 $|O M| = \frac{4}{3} ， |P F_{1}| = |F_{1} F_{2}|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率 $e =$

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6、已知函数 $f (x) = (a \cdot 5^{x} - \frac{2}{5^{x}}) sin x$ 是偶函数，则 $a =$ ．

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7、已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $K$ ，过点 $K$ 的直线与抛物线交于两点 $P ， Q$ ，过 $P ， Q$ 作 $l$ 的垂线，垂足分别为 $T ， S$ ，若点 $A$ 是抛物线上的一动点，且满足 $|F A|$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $y^{2} = x$ B、 ${|O P|}^{2} + {|O Q|}^{2} > \frac{5}{2}$ C、 $\frac{|P F|}{|P K|} > \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $∠ P F Q = 2 ∠ S F T$

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8、在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B = 1 + {cos}^{2} C$ ， $cos B cos C = \frac{1}{2}$ ， $△ A B C$ 的面积为1，则（）

A、 $b c = 2$ B、 $A = \frac{π}{3}$ C、 $cos C = cos (A - B)$ D、 $b cos C + c cos B = \sqrt{2}$

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9、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ} ， A C = B C = C C_{1} ， E$ 为 $C C_{1}$ 的中点， $F$ 为线段 $A_{1} B_{1}$ 上的动点，下列结论正确的是（）

A、 $A B_{1} // B E$ B、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ C、平面 $B F C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ D、存在点 $F$ ，使得 $C_{1} F //$ 平面 $A_{1} B E$

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10、若 $\exists m \in R$ 使得不等式 $(\frac{ln x}{x} - m) (ln 2 - \frac{ln 2}{4} x - m) \leq 0$ 对任意 $x \in (0, a)$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值为（）

A、1 B、 $e$ C、4 D、 $2 e$

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11、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P ， Q$ 分别为棱 $A_{1} D_{1} ， C D$ 的中点，过直线 $P Q$ 的平面 $α$ 截该正方体所得截面 $β$ ，则当平面 $α$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成的锐二面角最小时，截面 $β$ 的面积为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、4 D、 $\sqrt{3}$

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12、南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列 $\{a_{n}\}$ 本身不是等差数列，但从数列 $\{a_{n}\}$ 中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列 $\{b_{n}\}$ （则称数列 $\{a_{n}\}$ 为一阶等差数列），或者 $\{b_{n}\}$ 仍旧不是等差数列，但从数列 $\{b_{n}\}$ 中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列 $\{c_{n}\}$ （则称数列 $\{a_{n}\}$ 为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．根据以上定义，解决如下问题．已知数列 $\{a_{n}\}$ 为二阶等差数列， $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ 且 $c_{n} = 2 n - 1 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、35 B、36 C、37 D、38

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13、随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为 $a$ 和 $b$ ，则直线 $y = a x + b$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 有2个公共点的概率为（）

A、 $\frac{7}{18}$ B、 $\frac{11}{18}$ C、 $\frac{7}{12}$ D、 $\frac{5}{18}$

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14、已知 $sin (α - β) = \frac{1}{2} ， sin β cos α = \frac{1}{6}$ ，则 $cos (2 α + 2 β) =$ （）

A、 $\frac{7}{18}$ B、 $- \frac{7}{18}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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15、已知复数 $\bar{z} = i (a - i)$ ，若 $z (2 - i)$ 是纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、-1 B、0 C、2 D、1

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16、已知集合 $A = \{x \in Z ∣ x (x - 3) < 0\}$ ， $B = {x ∣ x \leq - 1$ 或 $x > 2}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $（ 0 ， 2]$ B、 $(2, 3)$ C、 $[1, 2]$ D、 $\{1, 2\}$

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17、已知 $i$ 为虚数单位，定义 $x^{n} = 1$ 的解称为 $n$ 次单位根或单位根，这 $n$ 个单位根分别为 $ω_{k} = cos \frac{2 k π}{n} + i \cdot sin \frac{2 k π}{n} (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1)$ .复数单位根相关领域都有广泛的应用.例如在平面几何中，记 $\vec{O Z_{1}}$ 对应的复数为 $z_{1} = r (cos α + i·sin α)$ ，将 $\vec{O Z_{1}}$ 绕原点O逆时针旋转 $\frac{2 k π}{n}$ 得到 $\vec{O Z_{2}}$ ，则 $\vec{O Z_{2}}$ 对应的复数为 $z_{2} = z_{1} ω_{k} = r [cos (α + \frac{2 k π}{n}) + i·sin (α + \frac{2 k π}{n})]$ .

(1)、方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 在复数域上的两根为 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，将 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 对应的向量 ${\vec{O Z}}_{1}$ ， ${\vec{O Z}}_{2}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 后得到 ${\vec{O Z}}_{3}$ ， ${\vec{O Z}}_{4}$ ，记 ${\vec{O Z}}_{3}$ ， ${\vec{O Z}}_{4}$ 对应的复数为 $z_{3}$ ， $z_{4}$ ，求 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ ， $z_{4}$ （用代数形式表示）；

(2)、若把平面直角坐标系中的点 $P (x_{0}, y_{0})$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $θ$ 弧度后得到点 $Q (x, y)$ ，请用 $x_{0}$ 、 $y_{0}$ 、 $θ$ 分别表示出 $x$ 、 $y$ ；（其中 $x_{0}$ 、 $y_{0}$ 、 $x$ 、 $y$ 均为实数）

(3)、定义在整数集上的函数 $f (x) = \{\begin{cases} 1, & x = 3 k (k \in Z) \\ ω, & x = 3 k + 1 (k \in Z) \\ ω^{2}, & x = 3 k + 2 (k \in Z) \end{cases} (ω = cos \frac{2 π}{3} + i \cdot sin \frac{2 π}{3})$ ，若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) ω + f (x_{3}) ω^{2} = 0$ ，其中 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} \in \{0, 1, \dots, 9\}$ ，令 $n = 100 x_{1} + 10 x_{2} + x_{3}$ 求 $f (n)$ 的所有可能取值；

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18、已知在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， O为 $△ A B C$ 的外心， $△ A O C$ 、 $△ B O C$ 、 $△ A O B$ 的面积分别记 $S_{△ A O C}$ 、 $S_{△ B O C}$ 、 $S_{△ A O B}$ 满足 $S_{△ B O C} \cdot \vec{O A} + S_{△ A O C} \cdot \vec{O B} + S_{△ A O B} \cdot \vec{O C} = \vec{0}$

(1)、求证： $\vec{O B} + sin 2 A \cdot \vec{O A} - cos 2 A \cdot \vec{O C} = \vec{0}$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{2}$ ，求 $|3 \vec{O B} + 2 \vec{O A} + \vec{O C}|$ 的取值范围；

(3)、若 $\vec{B O} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，求 $x + y$ 的最大值.

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19、如图，在棱长都为4的直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中，D，E，F，G，H分别为 $B C$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 的体积；

(2)、证明：E，F，G，H四点共面，且此平面与 $A_{1} D$ 平行；

(3)、证明： $E G$ ， $F H$ ， $A A_{1}$ 三线共点.

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20、如图所示，在扇形广场 $A O B$ 中， $∠ A O B$ 为锐角，四边形 $O M P N$ 是平行四边形，点 $P$ 在弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上，点M，N分别在线段 $O A$ ， $O B$ 上， $O P = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 6$ ，记 $∠ P O B = θ$ .

(1)、当 $θ = \frac{π}{6}$ 时，求 $\vec{O P} \cdot \vec{N B}$ ；

(2)、草地为阴影部分，求面积 $S$ 关于 $θ$ 的函数关系式，并求当 $θ$ 为何值时， $S$ 取得最小值.

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