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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列， $a_{1} = b_{1} = 2, a_{2} = b_{2} + 1, a_{3} = b_{3}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、 $\forall n \in N^{*}$ ， $I = \{0, 1\}$ ，有 $T_{n} = \{p_{1} a_{1} b_{1} + p_{2} a_{2} b_{2} + ... + p_{n - 1} a_{n - 1} b_{n - 1} + p_{n} a_{n} b_{n} | p_{1}, p_{2}, ..., p_{n - 1}, p_{n} \in I\}$ ，
（i）求证：对任意实数 $t \in T_{n}$ ，均有 $t < a_{n + 1} b_{n + 1}$ ；
（ii）求 $T_{n}$ 所有元素之和．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $∠ B A P = ∠ B A D$ ， $C D = 1$ ， $A B = A P = A D = 2$ ， $D P = \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $A B ⊥ D P$ ；

(2)、若 $C D ⊥ A D$ ，求直线 $B P$ 与平面 $C D P$ 所成角的正弦值．

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3、若关于x的不等式 $ln x \leq \frac{1}{a} x^{2} - b x + 1$ 恒成立，则 $a b$ 的最大值是.

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4、已知函数 $f (x) = sin (2 x + φ) (|φ| < π)$ 的部分图象如图所示，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $- \frac{2 π}{3}$ D、 $- \frac{5 π}{6}$

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5、已知 $l, m$ 是两条不同的直线， $α$ 为平面， $m \subset α$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $l \cap α = A$ ，且 $l$ 与 $α$ 不垂直，则 $l$ 与 $m$ 一定不垂直 B、若 $l$ 与 $α$ 不平行，则 $l$ 与 $m$ 一定是异面直线 C、若 $l \cap α = A$ ，且 $A \notin m$ ，则 $l$ 与 $m$ 可能平行 D、若 $l / / α$ ，则 $l$ 与 $m$ 可能垂直

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6、已知集合 $A = \{1, 2\}, B = \{1, 2, 3\}, C = \{\begin{matrix} x | x^{2} - 2 x - 3 < 0 \end{matrix}\}$ ，则 $(A \cap B) \cap C =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{\begin{matrix} 3 \end{matrix}\}$ D、 $\{1, 2\}$

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7、定义可导函数 $y = f (x)$ 在x处的弹性函数为 $f^{'} (x) \cdot \frac{x}{f (x)}$ ，其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．在区间D上，若函数 $f (x)$ 的弹性函数值大于1，则称 $f (x)$ 在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作 $f (x)$ 的弹性区间．
（1）若 $r (x) = e^{x} - x + 1$ ，求 $r (x)$ 的弹性函数及弹性函数的零点；
（2）对于函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} + \ln x - t x$ （其中e为自然对数的底数）
（ⅰ）当 $t = 0$ 时，求 $f (x)$ 的弹性区间D；
（ⅱ）若 $f (x) > 1$ 在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围．

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8、已知函数 $f (x) = a \ln x - x (a > 0)$ ．
（1）当 $a = e$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；
（2）讨论函数 $f (x)$ 的零点个数．

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9、已知函数 $f (x) = {l o g}_{a} \frac{4^{x} + 1}{2^{x}}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）

(1)、试判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(3)、已知 $g (x) = x - 2 \sqrt{x}$ ，若 $\forall x_{1} \in [- 4, 4], \exists x_{2} \in [0, 4]$ ，使得 $f (x_{1}) - g (x_{2}) \geq 2$ ，求实数a的取值范围．

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10、函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = f (x) + f (x + 2)$ ，若 $f (1) = 2 ， f (11) = 3$ ，则 $f (2025) =$

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11、若 $m \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x + m ln x$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $m (x_{1} x_{2} + x_{2}^{2})$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2}{27}$ B、 $\frac{4}{27}$ C、 $\frac{6}{27}$ D、 $\frac{8}{27}$

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12、已知函数 $y = f (x)$ 的图象与函数 $y = 2^{x}$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称， $g (x)$ 为奇函数，且当 $x > 0$ 时， $g (x) = f (x) - x$ ，则 $g (- 8) =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 6$ C、5 D、6

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13、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 > 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \geq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \geq 0$

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14、集合 $A = {x ∣ - 2 < x \leq 2}, B = {- 2, - 1, 0, 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 1, 2}$ B、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$

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15、若复数 $z = (1 - i) (1 + 2 i)$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、10

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16、如图，在空间平移 $△ A B C$ 到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，连接对应顶点，设 $\vec{A A^{'}} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ， $\vec{A C} = \vec{c}$ ， M是 $B C^{'}$ 的中点，N是 $B^{'} C^{'}$ 的中点，用基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 表示向量 $\vec{A M}$ ， $\vec{A N}$ .

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17、已知直线 $x - 2 y + 4 = 0$ 与抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 交于 $A, B$ 两点，且 $A, B$ 分别在第一、二象限， $Q$ 为线段 $A B$ 的中点．设 $C$ 在点 $A, B$ 处的切线交于点 $P$ ， $D$ 为曲线段 $A B$ （不含端点）上一点， $C$ 在点 $D$ 处的切线与直线 $P A, P B$ 分别交于点 $M, N$ ．

(1)、证明：
①直线 $P Q ⊥ x$ 轴；
②四边形 $M P N Q$ 的面积为定值；

(2)、设 $△ P M N$ 的外接圆为圆 $E$ ，问：圆 $E$ 是否过定点（点 $P$ 除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由．

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18、已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (2 a + 1) x$ ．

(1)、当 $a = 0 时，$ 求 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a < 0$ 时，证明 $f (x) \leq - \frac{3}{4 a} - 2$ ；

(3)、若对任意的不等正数 $x_{1}, x_{2}$ ，总有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、某高校男女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男、女各50名学生的成绩，情况如下表：

合格
不合格
男生
35
15
女生
45
5

(1)、依据小概率值α=0.010的独立性检验，分析该校首次参加英语四级考试的学生能否合格是否与性别有关；

(2)、从这50名男生中任意选2人，设这2人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望．
$P (χ^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 4^{x} - 1, x \leq a \\ \log_{\frac{1}{2}} x, x > a \end{array}$ ，其中 $a > 0$ ．
（1）当 $a = 2$ 时， $f (f (4))$ ．
（2）若 $f (x)$ 有最大值，则 $a$ 的取值范围为．

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	合格	不合格
男生	35	15
女生	45	5

$P (χ^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828