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相关试卷

1、已知 $a > 0$ ， $f (x) = (a e^{x} - \frac{1}{x}) ln (x + b)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 0$ ，则 $a {(1 - b)}^{3}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{e^{2}}$ B、 $\frac{2}{e^{2}}$ C、 $\frac{3}{e^{2}}$ D、 $\frac{4}{e^{2}}$

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2、在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $A B = A D = A A_{1} = 2$ ，点 $Q$ 在侧面 $D C C_{1} D_{1}$ 内，且 $A_{1} Q = \sqrt{7}$ ，则点 $Q$ 轨迹的长度为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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3、研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量x，y，z若x，y的样本相关系数为 $\frac{12}{13}$ ， y，z的样本相关系数为 $\frac{4}{5}$ ，则x、z的样本相关系数的最大值为（）
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

A、 $\frac{48}{65}$ B、 $\frac{63}{65}$ C、 $\frac{64}{65}$ D、1

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4、在杭州亚运会上，我国选手盛李豪夺得射击第一枚金牌，他射击的方向向量 $\vec{a} = (3, 1)$ ，另一名选手余浩楠射击的方向向量 $\vec{b} = (5, 2)$ ，若 $(x \vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 16$ B、 $\frac{126}{37}$ C、 $- \frac{126}{37}$ D、16

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5、已知正数 $a, b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 8$ ，则 $a + 9 b$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = - 9$ ， $a_{3} + a_{5} = - 9$ ， $a_{2 n - 1} = 9$ ，则 $n =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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7、函数 $f (x) = a sin x + b cos x$ 图像的一条对称轴为 $x = \frac{π}{3}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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8、已知集合 $A = \{x |- 2 \leq x \leq 5\}$ ， $B = {x ∣ m - 1 < x < 2 m + 1}$ ，若 $B \neq \emptyset$ ，且 $A \cap B = B$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 ${m ∣ - 2 < m < 2}$ B、 ${m ∣ - 1 < m < 2}$ C、 ${m ∣ - 2 < m \leq 2}$ D、 $\{m |- 1 \leq m \leq 2\}$

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9、球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球 $O$ 的半径为R ， A ， B ， $C$ 为球面上三点，劣弧BC的弧长记为 $a$ ，设 $O_{a}$ 表示以 $O$ 为圆心，且过B ， C的圆，同理，圆 $O_{b}, O_{c}$ 的劣弧 $A C, A B$ 的弧长分别记为 $b, c$ ，曲面 $A B C$ （阴影部分）叫做曲面三角形， $a = b = c$ ，则称其为曲面等边三角形，线段OA ， OB ， OC与曲面 $△ A B C$ 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面 $O - A B C$ ．设 $∠ B O C = α, ∠ A O C = β, ∠ A O B =$ $γ$ ，则下列结论正确的是（）

A、若平面 $△ A B C$ 是面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} R^{2}$ 的等边三角形，则 $a = b = c = R$ B、若 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，则 $α^{2} + β^{2} = γ^{2}$ C、若 $a = b = c = \frac{π}{3} R$ ，则球面 $O - A B C$ 的体积 $V > \frac{\sqrt{2}}{12} R^{3}$ D、若平面 $△ A B C$ 为直角三角形，且 $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

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10、在 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $a = \sqrt{6}$ ， $\sqrt{6} c o s B = (3 c - b) c o s A$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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11、如图，在锐角 $△ A B C$ 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $s i n A = s i n B$ ，且 $\sqrt{3} (a c o s B + b c o s A) = 2 c s i n C$ ， D是 $△ A B C$ 外一点且B、D在直线AC异侧， $D C = 2$ ， $D A = 6$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B C$ 是等边三角形 B、若 $A C = 2 \sqrt{13}$ ，则A ， B ， C ， D四点共圆 C、四边形ABCD面积的最小值为 $10 \sqrt{3} - 12$ D、四边形ABCD面积的最大值为 $10 \sqrt{3} + 12$

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12、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边为a、b、c若 $\frac{b^{2}}{c^{2}} = \frac{t a n B}{t a n C}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形或直角三角形 D、等腰直角三角形

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13、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b^{2} = 2 a c$ 且 $s i n C = 2 s i n A$ ，则 $c o s A$ 的值为 .

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14、 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = 2 a s i n B$ ， $b c = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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15、若 $△ A B C$ 的三个内角为 $A, B, C$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $s i n A, s i n B, s i n C$ 一定能构成三角形的三条边 B、 $s i n 2 A, s i n 2 B, s i n 2 C$ 一定能构成三角形的三条边 C、 $s i n^{2} A, s i n^{2} B, s i n^{2} C$ 一定能构成三角形的三条边 D、 $\sqrt{s i n A}, \sqrt{s i n B}, \sqrt{s i n C}$ 一定能构成三角形的三条边

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16、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F ，点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在C上，若 $∠ M O F = 4 5^{∘}$ （O为坐标原点），则（）

A、 $x_{0} = 4$ B、 $y_{0} = 4$ C、 $| M F | = 5$ D、 $c o s ∠ O F M = \frac{3}{5}$

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17、设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 9, b = 8, c = 5$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的面积为（）

A、 $\frac{225}{11} π$ B、 $\frac{125}{11} π$ C、 $\frac{123}{6} π$ D、 $\frac{113}{6} π$

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18、已知 $△ A B C$ 中， $A = 12 0^{∘} ，$ $D$ 是 $B C$ 的中点，且 $A D = 1$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、1 D、2

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19、在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a c o s (B + \frac{π}{6}) = b s i n A$ ，若 $a = \sqrt{3}$ ， $c = 2$ ，则 $b =$ （）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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20、在 $△ A B C$ 中，A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $B = \frac{π}{3}$ ， $c = 2$ ， $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{b + c}{s i n B + s i n C}$ 的值为．

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