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相关试卷

1、定义 $f (x) = [x]$ （其中 $[x]$ 表示不小于 $x$ 的最小整数）为“向上取整函数”．例如 $[- 1.1] = - 1, [2.1]$ $= 3, [4] = 4$ ．以下描述正确的是（）

A、若 $f (x) = 2025$ ，则 $x \in (2024, 2025]$ B、若 ${[x]}^{2} - 5 [x] + 6 \leq 0$ ，则 $x \in (1, 3]$ C、 $f (x) = [x]$ 是 $R$ 上的奇函数 D、若 $f (x) = f (y)$ ，则 $|x - y| < 1$

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2、如图，这是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $φ \in (0, \frac{π}{2})$ ）的部分图象，则（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $f (x)$ 图象的一个对称中心为点 $(- \frac{4}{3}, 0)$ C、 $f (x)$ 图象的一条对称轴为直线 $x = \frac{2}{3}$ D、 $f (x)$ 在 $(- 1, \frac{1}{2})$ 上单调递增

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3、下列四个命题中正确的是（）

A、已知集合 $A = \{1, a^{2}\}$ ，若 $a \in A$ ，则 $a = 0$ B、函数 $y = \sqrt{x^{2} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为2 C、设 $a, b, c \in R$ ，若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、不等式 $\frac{x - 3}{2 x + 1} \geq 0$ 成立的一个充分不必要条件是 $x < - 1$ 或 $x > 4$

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4、若 $a > b > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a c^{2} > b c^{2}$ B、 $a + \frac{1}{a} > b + \frac{1}{b}$ C、 $a + \frac{a}{b} > b + \frac{b}{a}$ D、 $\frac{2 a + b}{a + 2 b} > \frac{a}{b}$

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5、已知 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (α + \frac{2π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6、将函数 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，所得图象对应的函数为（）

A、 $y = sin (x + \frac{π}{6})$ B、 $y = \sin (x - \frac{π}{6})$ C、 $y = \cos x$ D、 $y = - \cos x$

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7、在下列区间中，函数 $f (x) = e^{x} - 5 x$ 一定存在零点的有（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(- 2, - 1)$

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8、已知 $f (x - 2) = x^{2} + 1$ ，则 $f (5) =$ （）

A、50 B、48 C、26 D、29

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9、已知命题 $p : \exists x \in (0, 1)$ ， $x^{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则p的否定是（）

A、 $\forall x \in (0, 1)$ ， $x^{3} \neq \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\exists x \in (0, 1)$ ， $x^{3} \neq \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\forall x \in (0, 1)$ ， $x^{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\forall x \notin (0, 1)$ ， $x^{3} \neq \frac{\sqrt{3}}{3}$

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10、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{a - e^{x}}{e^{x} + 1}$ 是奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $y = f (x)$ 的单调性，并利用定义法证明；

(3)、若不等式 $f (cos x) + f (cos x + m \cdot tan x) < 0$ 在 $x \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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11、已知不等式 $m x^{2} - n x + 3 > 0$ 的解集为 $\{x |x < 1$ 或 $x > 3\}$ .

(1)、求实数 $m$ 、 $n$ 的值；

(2)、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $m a + n b = 3$ ，并且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq k^{2} - 2 k$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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12、已知全集为 $R$ ，集合 $A = {x | \frac{2 x - 3}{x + 2} < 1}$ ，集合 $B = {x ∣ x^{2} - (a + 2) x + 2 a > 0, a \in R}$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求 $A \cap B, A \cup B$ ；

(2)、若 $a < 2$ ，且 $(∁_{R} A) \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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13、对于任意实数 $a, b$ ，定义 $min \{a, b\} = \{\begin{matrix} a, a \leq b \\ b, a > b \end{matrix}$ ，设函数 $f (x) = - x + 5, g (x) = {log}_{3} x + 1$ ，则函数 $h (x) = min \{f (x), g (x)\}$ 的最大值是.

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14、 ${log}_{3} \sqrt{27} + \lg 25 + \lg 4 - 7^{\log_{7} 2} - {(- 9.8)}^{0} =$ ．

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15、已知 $a > b$ ，且 $a b \neq 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a^{3} > b^{3}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $2^{a} > 2^{b}$

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16、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且满足 $f (x) = f (4 - x)$ ，当 $x \leq 2$ 时， $f (x) = ln (3 - x)$ ，则 $f (x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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17、已知 $x > 1$ ，则 $\frac{1}{1 - x} - x$ 的最大值为（）

A、3 B、 $- 3$ C、1 D、 $- 1$

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18、设 $A = \{3, 5, 6\}$ ， $B = \{3, 4, 6, 8\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3, 5\}$ B、 $\{3, 6\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{6, 8\}$

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19、已知 $f (x) = x \ln x + a \sin (x - 1)$ ， $a \in R$

(1)、当 $a = 0$ 时，证明： $f (x) \leq x (x - 1)$ ；

(2)、设 $g (x) = f (x + 1)$ ，若对任意的 $x \in (0, π)$ ， $g (x) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明：对任意的正整数 $n$ ，总有 $\frac{1}{2} \sin 1 + \frac{2}{3} \sin \frac{1}{2} + \dots + \frac{n}{n + 1} \sin \frac{1}{n} < \ln (n + 1)$ .

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20、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为菱形， $A B ⊥ B_{1} C$ .

(1)、证明： $A C = A B_{1}$ ；

(2)、若 $A B_{1} = \sqrt{2}, A B = B C, A C ⊥ A B_{1}, ∠ C B B_{1} = 60^{\circ}$ ，求直线 $A C$ 与平面 $A A_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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