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相关试卷

1、设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} - 2 S_{n} = 1$ （ $n \in N^{*}$ ）．
（1）求证：数列 ${a_{n}}$ 为等比数列；
（2）若数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{1} = 1$ ， $b_{n + 1} = \frac{b_{n}}{2} + \frac{1}{a_{n + 1}}$ ．
① 求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；
② 是否存在正整数n，使得 $\sum_{i = 1}^{n} b_{i} = 4 - n$ 成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．

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2、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = e^{x - 1} + \frac{1}{3} f^{'} (1) x^{2} + 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若对于任意的 $x \in [- 1, 2], f (x) \geq m x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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3、记 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(2 c - \sqrt{3} a) cos B = \sqrt{3} b cos A$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为等腰三角形且腰长为2，求 $△ A B C$ 的底边长.

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4、英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是.

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5、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{C B} - \vec{A C} \cdot \vec{B C} = - \frac{1}{2} {\vec{B C}}^{2}$ ，则 $\tan (B - C)$ 的最大值为.

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6、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，过左焦点 $F$ 作直线 $l$ 与圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{c^{2}}{4}$ 相切于点 $E$ ，与椭圆 $C$ 在第一象限的交点为 $P$ ，且 $|P E| = 3 |E F|$ ，则椭圆离心率为.

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7、已知复数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 4 - 3 i$ ，则 $| z | =$ .

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8、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x)$ 为非常数函数， $f (x) + f (x + 2) = 6$ ， $g (2 x + 1)$ 为奇函数，则下列结论中正确的是（）

A、 $g (1) = 0$ B、 $g (x + 2) = g (2 - x)$ C、 $f (x) = f (x + 2)$ D、 $\sum_{i = 1}^{40} f (i) = 120$

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9、函数 $f (x) = \sqrt{2} sin (ω x + φ) (0 < ω \leq 2, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（）

A、 $φ = - \frac{π}{4}$ B、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, \frac{7 π}{8})$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的表达式可以写成 $f (x) = \sqrt{2} cos (2 x + \frac{3 π}{4})$ D、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 1$ 在 $(0, m)$ 上有且只有4个实数根，则 $m \in (\frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{4}]$

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10、在 $Δ A B C$ 中，点 $P$ 满足 $\overset{⇀}{B P} = 3 \overset{⇀}{P C}$ ，过点 $P$ 的直线与 $A B$ 、 $A C$ 所在的直线分别交于点 $M$ 、 $N$ ，若 $\overset{⇀}{A M} = λ \overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{A N} = μ \overset{⇀}{A C} (λ > 0, μ > 0)$ ，则 $λ + μ$ 的最小值为

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, b_{1} = 6, a_{n + 1} = 2 a_{n}, b_{n + 1} = 2 b_{n} - a_{n}$ ，若 $a_{m} = b_{m}$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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12、如图，已知等腰 $△ A B C$ 中， $|A B| = |A C| = 3, |B C| = 4$ ，点 $P$ 是边 $B C$ 上的动点，则 $\vec{A P} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C})$ 的值（）

A、为定值 $6$ B、不为定值，有最大值 $6$ C、为定值 $10$ D、不为定值，有最小值 $10$

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13、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F, O$ 为坐标原点， $E$ 为抛物线上一点， $| E F | = 4 | O F |$ 且 $S_{△ E F O} = 4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若点 $P$ 在抛物线的准线上，且 $△ P A B$ 为等边三角形，求直线 $A B$ 的斜率．

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 经过 $A (1, 0)$ 和点 $B (- 1, 2)$ ，且圆心在直线 $2 x - y + 2 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $x = a y + 4$ 被圆 $C$ 截得弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求实数 $a$ 的值

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15、如图，在空间直角坐标系中有长方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $A A^{'} = 3$ ．求：

(1)、向量 $\vec{A C^{'}}$ ， $\vec{B D^{'}}$ ， $\vec{A D^{'}}$ 的坐标；

(2)、 $\vec{A C^{'}} + 2 \vec{B D^{'}}$ ， $\vec{A C^{'}} + \vec{B D^{'}} - 2 \vec{A D^{'}}$ 的坐标．

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16、如图，边长为 $a$ 的正 $△ A B C$ 的中线 $A F$ 与中位线 $D E$ 相交于 $G$ ，已知 $△ A^{'} E D$ 是 $△ A E D$ 绕 $D E$ 旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有（只需填上正确命题的序号）．
①动点 $A^{'}$ 在平面 $A B C$ 上的射影在线段 $A F$ 上；
②三棱锥 $A^{'} - F E D$ 的体积有最大值；
③恒有平面 $A^{'} G F ⊥$ 平面 $B C E D$ ；
④异面直线 $A^{'} E$ 与 $B D$ 不可能互相垂直；
⑤异面直线 $F E$ 与 $A^{'} D$ 所成角的取值范围是 $(0, \frac{π}{2}]$ ．

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17、唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为 $B (- 2, 0)$ ，若将军从山脚下的点 $A (3, 0)$ 处出发，河岸线所在直线方程为 $x + y = 5$ ，则“将军饮马”的最短总路程为.

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, x)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (1, 2, 3)$ 满足 $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = - 1$ ，则 $x =$ ．

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19、已知直线 $l$ 的方向向量 $\vec{n} = (1 ， 0 ， - 1)$ ， $A = (2, 1, - 3)$ 为直线 $l$ 上一点，若点P( $-$ 1，0， $-$ 2)为直线外一点，则P到直线 $l$ 上任意一点Q的距离可能为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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20、柜子里有 $3$ 双不同的鞋子，从中随机地取出 $2$ 只，下列计算结果正确的是（）

A、“取出的鞋成双”的概率等于 $\frac{2}{5}$ B、“取出的鞋都是左鞋”的概率等于 $\frac{1}{5}$ C、“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于 $\frac{2}{5}$ D、“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于 $\frac{1}{2}$

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