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相关试卷

1、已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + b^{2} + a b = 3$ .

(1)、求 $\sqrt{a b}$ 的最大值；

(2)、求 $a + b$ 的最大值.

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2、某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益 $f (x)$ 与投资额 $x$ 成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益 $g (x)$ 与投资额 $x$ 的算术平方根成正比，其关系如图2．

(1)、分别写出两种产品的年收益 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的函数关系式；

(2)、该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？

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3、已知 $f (x) = (\frac{1}{a + 2}) x^{a + \frac{1}{2}}$ 是幂函数.

(1)、用定义法证明： $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数；

(2)、若 $f (1 - m) > f (3 m - 2)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $(0, + \infty)$ ，且 $\forall x, y \in (0, + \infty)$ ，都有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) < 0, f (2) = - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (1024) = - 10$ C、函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数 D、 $f (\frac{1}{2025}) + f (\frac{1}{2024}) + f (\frac{1}{2023}) + \dots + f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{2}) + f (2) + f (3) + \dots + f (2023) + f (2024)$ $+ f (2025) = 2025$

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5、下列说法正确的是（）

A、一个真命题的否定一定是假命题 B、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分条件，则 $B \subseteq A$ C、如果 $a b > 0$ ，那么“ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ”是“ $a > b$ ”的充分不必要条件 D、已知 $A, B$ 是全集 $U$ 的子集，则“ $A \cup (∁_{U} B) = U$ ”是“ $B \subseteq A$ ”的充要条件

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6、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - a x + 3 < 0$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 4]$ 上有解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 2 \sqrt{3})$ B、 $(2 \sqrt{3}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{9}{2})$ D、 $(\frac{9}{2}, + \infty)$

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7、已知函数 $f (x) = \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ ，则函数 $g (x) = f (2 x) + f (1 - x)$ 的定义域为（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, 2)$ D、 $(- 1, 1)$

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8、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 4, |x| \leq 2 \\ \frac{1}{1 + 2 x}, |x| > 2 \end{array}$ ，则 $f [f (1)] =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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9、命题“ $\exists x \in R$ ， $- 2 \leq f (x) < 3$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $f (x) < - 2$ 或 $f (x) \geq 3$ B、 $\forall x \in R$ ， $- 2 \leq f (x) < 3$ C、 $\forall x \in R$ ， $f (x) < - 2$ 或 $f (x) \geq 3$ D、 $\exists x \in R$ ， $- 2 < f (x) \leq 3$

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10、给定函数 $f (x)$ ，若实数 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的不动点，若实数 $x_{0}$ 使得 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点.

(1)、求函数 $g (x) = \frac{2 x + 6}{x + 1}$ 的不动点：

(2)、设 $f (x) = x^{2} + a x - a$ ， $a \in R$ ，且 $f (x)$ 恰好有两个稳定点 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ .
（i）求实数 $a$ 的取值范围，
（ii） $\forall x \in [x_{1}, x_{2}]$ ， $2 x_{1} \leq f (f (x)) \leq 2 x_{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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11、已知正实数 $x, y$ 满足 $x + y = 6$ ．

(1)、求 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值及此时 $x, y$ 的值；

(2)、求 $(x - 1) (y - 2)$ 的最大值及此时 $x, y$ 的值；

(3)、求 $x + \frac{4}{7 - y}$ 的最小值及此时 $x, y$ 的值．

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12、已知幂函数 $f (x) = x^{3 m - 9} (m \in N^{*})$ 的图像关于 $y$ 轴对称，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则关于 $a$ 的不等式 ${(a + 1)}^{- \frac{m}{3}} < {(3 a - 2)}^{- \frac{m}{3}}$ 的实数 $a$ 取值范围为．

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13、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{2} - 3 x + 2}$ 的定义域是．

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14、函数 $f (x) = x^{2} - 4 | x | + 3$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- \infty, - 2)$ B、 $(- \infty, - 2)$ 和 $(0, 2)$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(- 2, 0)$ 和 $(2, + \infty)$

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15、已知集合 $A = \{x | x^{2} - 3 x + 2 = 0\}$ ， $B = \{x | a x - 2 = 0\}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则实数 $a =$ （）．

A、0或1或2 B、1或2 C、0或1 D、1

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16、如图双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右顶点分别为 $A, B$ 且 $|A B| = 2$ ，已知双曲线的离心率为2．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程．

(2)、直线 $l$ 与双曲线交于 $P, Q$ 两点且以线段 $P Q$ 为直径的圆恰好经过点 $A$ ．
①证明：直线 $P Q$ 过 $x$ 轴上一定点 $M$ ，请求出点 $M$ 的坐标；
②若 $P, Q$ 都在双曲线的右支，求 $△ A P Q$ 的面积的最小值．

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17、已知函数 $f (x) = - \frac{x}{e^{x}}$ ， $g (x) = x ln x - \frac{a}{2} x^{2} - x$ ， $a \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若当 $x \in (1, + \infty)$ 时， $f (x)$ 与 $g (x)$ 的单调性相同，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若当 $a \in [0, \frac{1}{e})$ 时， $g (x) (x \in (0, e])$ 有最小值 $h (a)$ ，证明： $- \frac{e}{2} < h (a) \leq - 1$ .

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18、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点， $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，点 $E$ 在棱 $A D$ 上， $D E = 2 E A$ .

(1)、证明： $O A ⊥ B C$ ；

(2)、当 $A O = 1$ 时，求点 $E$ 到直线 $B C$ 的距离.

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19、已知实数 $a, b, c \in (0, 1)$ ，设 $\frac{3}{a} + \frac{1}{1 - b}$ ， $\frac{3}{b} + \frac{1}{1 - c}$ ， $\frac{3}{c} + \frac{1}{1 - a}$ 这三个数的最大值为 $M$ ，则 $M$ 的最小值为.

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x - 5 (x \leq 1) \\ \frac{a}{x} (x > 1) \end{array}$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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