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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $n, a_{n}, S_{n}$ 成等差数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 是公差为2的等差数列，且 $b_{3} = 2 b_{2} - 3$ ．若将数列 $\{b_{n}\}$ 中去掉数列 $\{a_{n}\}$ 的项后余下的项按原顺序组成数列 $\{c_{n}\}$ ，求 $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{30}$ 的值．

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2、如图1，在边长为2的正方形 $A B C D$ 中， $E, F$ 分别为线段 $B C, A D$ 的中点，现将四边形 $C D F E$ 折起至 $M N F E$ ，得到三棱柱 $A F N - B E M$ ，如图2，记二面角 $M - E F - A$ 的平面角为 $θ$ ．

(1)、若 $θ = \frac{π}{2}$ ，求三棱柱 $A F N - B E M$ 的体积；

(2)、若 $θ = \frac{π}{4}, P$ 为线段 $E F$ 上一点，满足 $A P ⊥ B P$ ，求直线 $A P$ 与平面 $N B E$ 所成角的正弦值．

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3、已知正实数a，b满足 $a - 2 \ln a = 2 \ln b - 4 b + 4$ ，则 $a^{b} =$ ．

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4、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边，若 $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{2}$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则角 $B =$ ．

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5、对于无穷数列 $\{a_{n}\}$ ，若存在常数 $M > 0$ ，使得对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有不等式 $|a_{2} - a_{1}| + |a_{3} - a_{2}| + \dots + |a_{n + 1} - a_{n}| \leq M$ 成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ ．则下列结论正确的是（）

A、存在公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ B、以1为首项， $q (| q | < 1)$ 为公比的等比数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ C、若由数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和构成的数列 $\{S_{n}\}$ 具有性质 $P$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 也具有性质 $P$ D、若数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 均具有性质 $P$ ，则数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 也具有性质 $P$

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6、将函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6}) (0 < ω < 6)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $(0, \frac{π}{ω})$ 是 $g (x)$ 的一个单调递增区间，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3})$ 上单调递增 C、函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ 的最大值为1 D、方程 $6 f^{2} (x) + f (x) - 1 = 0$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有5个实数根

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7、设 $z$ 为复数（i为虚数单位），下列命题正确的是（）

A、若 $z \in R$ ，则 $z = \bar{z}$ B、若 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若 $z^{2} + 1 = 0$ ，则 $z = \pm i$ D、若 $(1 + i) z = 1 - i$ ，则 $| z | = \sqrt{2}$

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8、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $4 \sqrt{2}$ ，用满足 $M A^{2} + M B^{2} = M C^{2} + M D^{2}$ 的动点 $M$ 构成的平面截正四面体 $A B C D$ ，所得截面多边形的周长为（）

A、4 B、8 C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $16 \sqrt{2}$

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9、将直线 $l : x - 2 y = 0$ 绕点 $(2, 1)$ 逆时针旋转 $θ$ （ $θ$ 为锐角，其中 $\cos θ = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ）后所得直线方程为（）

A、 $y = x - 1$ B、 $y = 2 x - 3$ C、 $y = 3 x - 5$ D、 $y = 4 x - 7$

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10、若 $2^{a} = 3 = \log_{b} 9$ ， $c = e^{ln \frac{2}{3}}$ ，则实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小顺序为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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11、已知向量 $\vec{a} = (m - 2, 1)$ ， $\vec{b} = (3, m)$ ，则“ $m = - 1$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，且满足 $f (x + 2) = f (- x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (\frac{5}{2}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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13、某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位： $cm$ ）与体重（单位： $kg$ ）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（）

A、表示x与y之间的函数关系 B、表示x与y之间的不确定关系 C、反映x与y之间的真实关系 D、反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合

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14、设集合 $A = {x ∣ - 2 < x \leq 2}, B = \{x ∣ y = \log_{2} (x - 1)\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 2, 2]$ C、 ${1}$ D、 $(1, 2]$

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15、已知有穷数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{n + 1} = \log_{a} x_{n} - \log_{a} e$ ，其中 $a > 1$ ，且最后一项 $x_{m} \leq 0 (m \geq 2)$ $.$

(1)、当 $a = e$ ，且 $m = 2$ 时，求 $x_{1}$ 的取值范围；

(2)、当 $a > e^{e^{- 2}}$ 时，如果 $m$ 足够大，
（i）证明：数列 $\{x_{n}\}$ 为单调递减数列；
（ii）探究数列 $\{x_{n}\}$ 中是否存在连续三项成等差数列.若存在，说明有多少个；若不存在，请说明理由.

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16、如图，在三棱台 $A^{'} B^{'} C^{'} - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 A^{'} B^{'} = 4$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A C, B C$ 的中点，且 $A N ⊥ B^{'} N$ $.$

(1)、证明： $A^{'} M / /$ 平面 $A B^{'} N$ ；

(2)、证明：平面 $A B^{'} N ⊥$ 平面 $A^{'} B M$ ；

(3)、若 $B^{'} B = C^{'} C = \sqrt{6}$ ，求平面 $A B^{'} N$ 与平面 $A B C$ 的夹角的正弦值.

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17、已知函数 $f (x) = \sin ω x - 2 \sin^{2} \frac{ω x}{2} + 1$ 其中实数 $ω > 0$ .

(1)、若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上恰有三个极值点、两个零点，求 $ω$ 的取值范围.

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18、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a > 0, b > 0)$ 过点 $A (- 1, 0)$ ，且焦距为 $2 \sqrt{2} .$

(1)、求双曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、过定点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $Γ$ 交于 $B, C$ 两点，若 $|A B| = |A C|$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19、为了得到某种新产品表面的腐蚀刻线，技术员通过实验检测，发现该产品的腐蚀深度 $y$ (单位： $μm$ )与腐蚀时间 $t$ (单位： $s$ )有关，并收集数据如下表：
腐蚀时间t/s
5
10
15
20
30
40
腐蚀深度 y/μm
5
8
10
13
17
19

(1)、根据表中样本数据，计算样本相关系数，（系数精确到 $0.01$ ）并推断它们的线性相关程度；

(2)、建立 $y$ 关于 $t$ 的线性回归方程(系数精确到 $0.01$ )；若腐蚀时间为 $60 s$ ，请估计腐蚀深度.参考数据： $\sqrt{34} \approx 5.83$ $.$
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$
线性回归方程的斜率 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ $，$ 截距 $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ $.$

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20、已知以原点为中心的椭圆 $C_{1}$ 、双曲线 $C_{2}$ ，与抛物线 $C_{3} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 有公共焦点 F，且三个曲线在第一象限交于同一点 $P$ .若 $C_{2}$ 的离心率为2，则 $C_{1}$ 的离心率为.

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腐蚀时间t/s	5	10	15	20	30	40
腐蚀深度 y/μm	5	8	10	13	17	19