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相关试卷

1、“函数 $y = a x^{2} + x + a (a > 0)$ 在区间 $[0, 3]$ 单调递增”是“ $0 < a < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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2、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且它的图象关于 $x = 1$ 对称，当 $x_{1} > x_{2} \geq 1$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 恒成立，则下列命题正确的是（）

A、 $f (0) > 0$ B、 $f (0) < f (π)$ C、 $f (x)$ 在区间 $(0, 2)$ 内单调递增 D、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 时取最大值

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3、已知集合 $A = {y ∣ 3 y - 2 \geq 2 y - 3}, B = {x ∣ - 2 \leq x \leq 0}, U = R$ ，则 $A \cap ∁_{U} B =$ （）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (0, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [0, + \infty)$

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4、已知 $f (x) = \frac{1}{4} {(x - 3)}^{2} + 1$ ，则函数 $f (x)$ 在下列区间内单调递增的是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(2, 3)$

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5、已知集合 $A = {0, 1}, B = {- 3, 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0, 1, - 3, 1}$ B、 ${- 3, 0, 1}$ C、 ${0, - 3}$ D、 ${1}$

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6、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $A D / / B C$ 且 $A B ⊥ A D$ ， $A D = 6 \sqrt{2}$ ， $A B = 4$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $△ P A D$ 的面积等于 $12 \sqrt{2}$ ， E是PD是中点.
（Ⅰ）求四棱锥 $P - A B C D$ 体积的最大值；
（Ⅱ）若 $P B = 4 \sqrt{5}$ ， $\tan ∠ P A D = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（i）求证： $A D ⊥ P C$ ；
（ii）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

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7、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 底面 $A B C$ ，若二面角 $P - A B - C$ 的大小为30°， $A B ⊥ B C$ ， $A C = 2$ ， $P C = 1$ ， $M$ 是 $P A$ 上靠近点 $A$ 的三等分点， $N$ 是 $P B$ 上的一点，且 $P B = 4 P N$ .

(1)、求直线 $B C$ 与直线 $P A$ 所成角的余弦值；

(2)、求三棱锥P－MNC的体积.

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8、神舟十四号，简称“神十四”，为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船，已经于2022年6月5日上午10时44分07秒在酒泉卫星发射中心发射，3名航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进驻核心舱并在轨驻留6个月．“神十四”的成功发射是我国载人航天上又一个重要的里捏碑，实现了“神十四”与天宫一号的快速对接，创造了新的奇迹，为了宣传这一航天盛事，某高校组织了一场航天知识竞赛，共有1000名大学生参加，经统计发现他们的成绩（满分120）全部位于区间 $[50, 110]$ 内．现将成绩分成6组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80,90)$ ， $[90, 100)$ ， $[100, 110]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图估计该1000名大学生成绩的平均分是77分，现规定前250名在10天后进行复赛.

(1)、求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表），并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线（结果保留整数）；

(2)、复赛共分为两个环节：A和B，经统计，通过初赛的学生在准备复赛的首日有 $\frac{2}{3}$ 的学生准备项目A，其余学生准备项目B；在前一天准备项目A的学生中，次日会有 $\frac{4}{5}$ 的学生继续选择准备项目A，其余选择准备项目B；在前一天选择准备项目B的学生中，次日会有 $\frac{2}{3}$ 的学生继续选择准备项目B，其余学生选择准备项目A，用频率近似估计概率，记某学生在第n天准备项目A的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{10}$ ．

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正项，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ ，若对 $\forall n \in N *$ 总 $\exists x \in [0, \frac{π}{2}]$ 使不等式 $\frac{1}{a_{1} \cdot a_{2}} + \frac{1}{a_{2} \cdot a_{3}} + + \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} - \sin x - \sqrt{3} \cos x - λ \leq 0$ 成立，则实数 $λ$ 的取值范围是．

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10、已知6名同学中恰有两名女同学，从这6名同学中任选两人参加某项活动，则在选出的同学中至少包括一名女同学的概率是.

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11、北京时间2024年8月12日凌晨，第33届法国巴黎奥运会闭幕式正式举行，中国体育代表团以出色的表现再次证明了自己的实力，最终取得了40枚金牌、27枚银牌和24枚铜牌的最佳境外参赛成绩，也向世界展示了中国体育的蓬勃发展和运动员们顽强拼搏的精神.某校社团为发扬奥运体育精神举办了竞技比赛，此比赛共有5名同学参加，赛后经数据统计得到该5名同学在此次比赛中所得成绩的平均数为8，方差为4，比赛成绩 $x \in [0, 15]$ ，且 $x \in N^{*}$ ，则该5名同学中比赛成绩的最高分可能为（）

A、13 B、12 C、11 D、10

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12、下列四个命题中正确命题的个数是（）
①如果 $a$ ， $b$ 是两条直线， $a // b$ ，那么 $a$ 平行于经过 $b$ 的任何一个平面；
②如果直线 $a$ 和平面 $α$ 满足 $a // α$ ，那么 $a$ 与平面 $α$ 内的任何一条直线平行；
③如果直线 $a$ ， $b$ 和平面 $α$ 满足 $a // b$ ， $a // α$ ， $b ⊄ α$ ，那么 $b // α$ ；
④如果 $a$ 与平面 $α$ 上的无数条直线平行，那么直线 $a$ 必平行于平面 $α$ ．

A、0 B、1 C、2 D、3

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13、设 $x, y \in R$ ，向量 $\overset{⇀}{a} = (x, 2), \overset{⇀}{b} = (3, y),$ $\overset{⇀}{c} = (1, - 1)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{c}, \overset{⇀}{b} / / \overset{⇀}{c},$ 则 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} |$ 等于

A、 $5$ B、 $4$ C、 $\sqrt{26}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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14、已知复数 $z$ 满足 $z (1 - 2 i) = 3 + 4 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $| z |$ 为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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15、在平面直角坐标系xOy中，利用公式 $\{\begin{array}{l} x^{'} = a x + b y \\ y^{'} = c x + d y \end{array}$ ①（其中a，b，c，d为常数），将点 $P (x, y)$ 变换为点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表 $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 唯一确定，我们将 $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A，B，…表示．若在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $x y = 3$ 通过二阶矩阵 $(\begin{matrix} \frac{\sqrt{3}}{6} & \frac{\sqrt{3}}{6} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix})$ 进行线性变换后得到双曲线C．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：若直线 $l_{2}$ 是过C的右支上点P的切线，且 $l_{2}$ 不与x轴垂直， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线C的左、右焦点，过 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别作直线 $l_{2}$ 的垂线，垂足为 $T_{1}$ ， $T_{2}$ ．
①求证：点 $T_{1}$ ， $T_{2}$ 均在以O为圆心的定圆上，且 $O T_{1} ∥ P F_{2}$ ， $O T_{2} ∥ P F_{1}$ ；
②求证： $| F_{1} T_{1} | \cdot | F_{2} T_{2} |$ 是定值．

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16、如图，已知圆E： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $F (1, 0)$ ， P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C．

(1)、求动点Q的轨迹C的方程；

(2)、设动点Q的轨迹C分别与x轴交于点A，B，过点F作一条直线与 $C$ 交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围．

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17、已知圆C过点 $A (- \sqrt{15}, 1)$ 和 $B (2 \sqrt{3}, 4)$ ，且圆心C在y轴上.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若直线l过点 $P (2, 0)$ ，且被圆C截得的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程.

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18、已知点 $P (- 2, 3, 1)$ 关于坐标平面 $O x y$ 的对称点为 $P_{1}$ ，点 $P_{1}$ 关于坐标平面 $O y z$ 的对称点为 $P_{2}$ ，则 $|P P_{2}| =$ .

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19、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ， M，N分别是AB， $B_{1} C_{1}$ 的中点，P是 $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 的交点，Q为线段 $A_{1} N$ 上的动点（包含线段的端点），K为平面 $A_{1} B C$ 上的动点，则以下说法正确的是（）

A、三棱锥A-QBC的体积为定值 B、Q为线段 $A_{1} N$ 的中点时，异面直线PQ与 $A_{1} B$ 所成角为30° C、若 $P Q ∥ 平面 A_{1} C M$ ，则 $\frac{N Q}{A_{1} Q} = \frac{2}{3}$ D、若K是平面 $A_{1} B C$ 上一动点，则 $| P K | + | K Q |$ 的最小值为 $\frac{5}{3}$

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20、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{b^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1 (b > 0)$ 的公共焦点，点 $P$ 是两曲线的一个交点， $e_{1}$ ， $e_{2}$ 分别为 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的离心率，则（）

A、 $a > b$ B、 $e_{1} e_{2} < 1$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 是直角三角形 D、 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 是个定值

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