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相关试卷

1、如图是正四面体的平面展开图， $G, H, M, N$ 分别是 $D E, B E, E F, E C$ 的中点，则在该正四面体中，下列结论正确的是（）

A、 $D E$ 与 $M N$ 平行 B、 $B D$ 与 $M N$ 为异面直线 C、 $G H$ 与 $M N$ 成 $60^{°}$ 角 D、 $D E$ 与 $M N$ 垂直

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2、从甲口袋内摸出1个白球的概率是 $\frac{1}{3}$ ，从乙口袋内摸出1个白球的概率是 $\frac{1}{2}$ ，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是（）

A、2个球都是白球的概率为 $\frac{1}{6}$ B、2个球都不是白球的概率为 $\frac{2}{3}$ C、2个球不都是白球的概率为 $\frac{5}{6}$ D、2个球恰好有一个球是白球的概率为 $\frac{1}{2}$

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3、集合 $M = \{x |\ln x - \frac{x}{e} + 1 = 0\}$ 中所有元素之和记作 $|M|$ ，则（）

A、 $| M | = 2$ B、 $| M | < 2$ C、 $| M | = 2 e$ D、 $| M | > 2 e$

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4、已知 ${(2 - x)}^{11} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{11} x^{11}$ ，则下列结论中正确的个数是（）
① $a_{0} = 2^{11}$ ；
② $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{11} = 0$ ；
③ $a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7} + a_{9} + a_{11} = \frac{1 - 3^{11}}{2}$ ；
④ $a_{1} + 2^{1} \times a_{2} + 2^{2} \times a_{3} + \dots + 2^{10} \times a_{11} = - 2^{10}$

A、1 B、2 C、3 D、4

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5、已知命题 $p$ ： $\forall α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) = \cos (\frac{π}{4} + α)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $p$ 为真命题，且命题 $p$ 的否定为： $\forall α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) \neq \cos (\frac{π}{4} + α)$ B、 $p$ 为真命题，且命题 $p$ 的否定为： $\exists α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) \neq \cos (\frac{π}{4} + α)$ C、 $p$ 为假命题，且命题 $p$ 的否定为： $\forall α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) \neq \cos (\frac{π}{4} + α)$ D、 $p$ 为假命题，且命题 $p$ 的否定为： $\exists α \in R$ ， $\sin (\frac{π}{4} - α) \neq \cos (\frac{π}{4} + α)$

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6、已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（　　）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7、 $\tan 19^{°} + \tan 11^{°} + \frac{\sqrt{3}}{3} \tan 19^{°} \tan 11^{°}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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8、抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点到其准线的距离为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{8}$

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9、某景点周边文创店推出了一款单价 10元的“幸运文创刮刮卡”，每购买一张即可参与抽奖，奖项设置如下(未中奖则无奖金)：
①一等奖：奖金 40元，中奖概率 5%；
②二等奖：奖金 20元，中奖概率 10%；
③三等奖：奖金 10元，中奖概率 30%.

(1)、小明初始有 20元零花钱.
(i)若他购买 1张刮刮卡，求抽奖后剩余金额的数学期望；
(ii)小明想要购买一款定价 40元的航模配件，他打算通过反复购买刮刮卡的方式凑齐钱款，求他最终能够凑齐钱款的概率.

(2)、若小明初始有n元(n为正整数且n≥10)，他采取的购买策略是：一旦当前总金额超过初始的n元就立刻停止购买.设他最终能够成功挣到钱的概率为p，求证： $p < \frac{5}{11} .$

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b > 0)$ 过点 $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}),$ 离心率为 $\frac{1}{2}$ ， O是坐标原点.

(1)、求c的方程；

(2)、过C的右焦点F 作直线l与椭圆交于A，B两点，以OA，OB 为邻边作平行四边形OAQB .
(i)求点Q的轨迹方程并说明其形状；
(ii)过F的任意一条直线l'与椭圆C交于P₁ ， P₂两点，与Q的轨迹交于P₃ ， P₄两点，其中P₁ ， P₃在x轴上方，求△OP₁P₃和△OP₂P₄面积之和的范围.

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11、已知函数 $f (x) = x (2 l n x - x + 1) .$

(1)、设f'(x)是f(x)的导函数，求f'(x)的单调区间；

(2)、设x₀是f(x)的极小值点，求证： $- 1 < f (x_{0}) < 0;$

(3)、若 $f (x) \leq a \cdot x^{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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12、如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的菱形， $∠ A B C = \frac{π}{3}, ∠ A P D = \frac{π}{2},$ PA=1， PC=2， M是AD的中点.

(1)、证明： PA⊥CM ；

(2)、求直线AB 和平面PCM 所成角的正弦值.

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13、已知公差不为零的等差数列{a_n}中， $a_{3} = 7,$ 且a₁ ， a₄ ， a₁₃成等比数列.

(1)、求数列{a_n}的通项公式：

(2)、若数列{b_n}满足 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}},$ 求数列{b_n}的前n项和S_n.

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14、设矩形 ABCD(AB>AD)的周长为 24. 把△ABC 沿AC 向ADC 折叠， AB 折过去后交DC于点P，则△ADP 面积的最大值为.

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15、已知函数 $f (x) = l n (2 x - 1) + \frac{a}{x}$ 的图象在x=1处的切线与直线x+3y-2=0垂直，则a=.

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16、二项式 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为.

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17、已知数列{an}的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{2^{n + 1}} + \frac{1}{3^{n}}, n \in N^{*}, S_{n}$ 是其前n项的和. ∀n，m∈N*，下列结论正确的是( )

A、 $S_{n} < 1$ B、 $(m - n) (S_{m} - S_{n}) \leq 0$ C、 $1 - S_{m + n} > {(1 - S_{m})}^{2}$ D、 $1 - S_{m + n} > (1 - S_{m}) (1 - S_{n})$

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18、某城市连续 6天的最低温度(单位：℃)为 0、2、5、5、6、6，则这组数据的( )

A、极差为 6 B、40%分位数为 3.5 C、平均数为 4 D、方差为 5

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19、若曲线 $C : y = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}$ 上存在至少两点到直线l：x+my+2=0的距离为 1，则实数m的取值范围为( )

A、 $[- 2 \sqrt{2}, 0) \cup (0, 2 \sqrt{6}]$ B、 $[- 2 \sqrt{6}, 0) \cup (0, 2 \sqrt{2})$ C、 $(- \infty, - 2 \sqrt{6}] \cup (2 \sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2 \sqrt{2}) \cup [2 \sqrt{6}, + \infty)$

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过点F₂的直线与C的右支交于点A，B， $\vec{F_{1} A} \cdot \vec{F_{1} B} = \frac{1}{2} {\vec{F_{1} B}}^{2} = {\vec{F_{1} A}}^{2},$ 设双曲线的离心率为e，则 $e^{2} =$ ( )

A、 $4 - 2 \sqrt{2}$ B、 $5 - 2 \sqrt{2}$ C、 $6 - 2 \sqrt{2}$ D、 $7 - 2 \sqrt{2}$

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