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相关试卷

1、已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{3}{16}$

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2、已知 $z (3 - i) = 10 (1 + 2 i)$ ，则 $|z| =$ （）

A、5 B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $10 \sqrt{2}$ D、50

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3、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - x + a ln x, a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程.

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(3, + \infty)$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围.

(3)、若 $a > 0$ ，且 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < a - 2$ .

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} (n \geq 2)$ ， $a_{2} = 2$ .

(1)、求 $a_{1}$ ；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设数列 $\{\frac{1}{n \log_{2} a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 2$ .

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5、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 b \cos C = 2 a - c$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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6、已知直线 $y = x$ 是函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ 和函数 $g (x) = ln x + b$ 图象的公切线，则 $2^{a} + 3 b =$ .

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7、若根据样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{15}, y_{15})$ 得到的回归直线方程为 $\hat{y} = 3 x + \hat{a}$ ，且 $\sum_{i = 1}^{15} x_{i} = 60$ ， $\sum_{i = 1}^{15} y_{i} = 150$ ，则 $\hat{a} =$ ．

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $2 a_{n + 2} + a_{n + 1} - a_{n} = 0$ ， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{2} = \frac{1}{4}$ ， $S_{n}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则（）

A、 $\{a_{n + 1} + a_{n}\}$ 是等比数列 B、 $\{a_{n} - \frac{1}{2^{n}}\}$ 是等比数列 C、 $\{S_{n}\}$ 是等比数列 D、 $\{\sin a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和小于1

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9、已知3张奖券中只有2张有奖奖券，甲､乙2名同学依次随机抽取1张奖券.记事件 $A$ 为“甲中奖”，事件 $B$ 为“乙中奖”，则下列说法正确的有（）

A、若抽取后放回，则 $P (A) = P (B)$ B、若抽取后不放回，则 $P (A) = P (B)$ C、若抽取后放回，则 $P (B) = P (B ∣ A)$ D、若抽取后不放回，则 $P (B) = P (B ∣ A)$

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10、定义在 $[- 1, 3]$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[0, 3]$ C、函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极大值 D、函数 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极大值

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11、方程 $x e^{x} = a (ln x + x)$ 有两实数根 $x_{1} 、 x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(e, + \infty)$ C、 $(0, e)$ D、 $(- \infty, e)$

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12、设 $A$ ， $B$ 是一个随机试验中的两个事件，若 $P (\bar{B}) = \frac{4}{9}$ ， $P (\bar{A} B) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (A |B) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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13、下列说法中错误的有几个（）
①数据1，2，3，5，7，8，9的60%分位数是6；
②根据 $2 \times 2$ 列联表中的数据计算得出 $χ^{2} \geq 6.635$ ，而 $P (χ^{2} \geq 6.635) \approx 0.01$ ，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于0.01；
③回归分析时，可用决定系数 $R^{2}$ 刻画模型的拟合效果， $R^{2}$ 越大，则拟合效果越好；
④若随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $ξ \sim N (1, σ^{2})$ ，若 $P (ξ < a) \geq P (ξ > 1 - 2 a)$ ，则实数 $a \leq - 1$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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14、某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（）

A、600 B、264 C、207 D、114

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15、某化学学习小组有10名同学，其中有4名女生，6名男生，现从中随机抽取3名同学完成一个实验，设抽到的女生人数为X，则 $P (X = 2) =$ （）

A、 $\frac{3}{20}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{2}$

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16、若 ${(x - \frac{\sqrt{a}}{x^{2}})}^{6}$ 展开式中的常数项为90，则常数 $a$ 的值为（）

A、4 B、2 C、8 D、6

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17、已知函数 $f (x) = 3 \ln x + 2$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、3 B、5 C、8 D、10

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18、定义：如果函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 具有 $C$ 关系.

(1)、判断函数 $f (x) = 4^{x} - 8$ 和 $g (x) = 2^{x + 1}$ 是否具有C关系；

(2)、若函数 $f (x) = \ln x - a x - 1$ 和 $g (x) = 1 - x^{2}$ 不具有C关系，求a的取值范围；

(3)、若函数 $f (x) = x (e^{x} - 1)$ 和 $g (x) = x + m \sin x (m < 0)$ 在区间 $(0, π)$ 上具有C关系，求m的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x + a e^{- x} (x \geq 0)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求证： $f (x) \geq 0$ ；

(2)、当 $a = 0$ 时，求方程 $f (x) = x$ 的解的个数；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\frac{1}{\sqrt{1^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{2^{2} + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}} > \ln (n + 1)$ ．

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20、甲参加围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，输的概率为 $1 - p$ ，每局比赛的结果独立．

(1)、当 $p = \frac{2}{3}$ 时，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？

(2)、比赛采用3局2胜制，为增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得 $- 2$ 分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．

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