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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} ω x + \sqrt{3} sin ω x cos ω x - \frac{1}{2} (ω > 0)$ ．

(1)、当 $ω = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的值域；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $b + c = \frac{3}{2} b c$ ，若 $f (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ ， $f (\frac{A}{2}) = 0$ ， $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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2、 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点均在同一球面上， $∠ B A C = 120^{\circ}$ ， $△ B C D$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，则 $△ A B C$ 面积的最大值为，四面体 $A B C D$ 体积最大时球的表面积为．

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3、用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数 $\bar{a b c d e}$ ，其中满足 $a > b > c < d < e$ 的五位数有n个，则在 $1 + {(1 + x)}^{1} + {(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{n}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是（用数字作答）

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 短轴长为4，焦距为 $3$ ， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，若点 $P$ 为 $C$ 上的任意一点， $\frac{1}{|P F_{1}|} + \frac{2}{|P F_{2}|}$ 的最小值为.

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5、已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域为 $R$ ， $g^{'} (x)$ 为 $g (x)$ 的导函数，且 $f (x) + g^{'} (x) - 8 = 0$ ， $f (x - 2) - g^{'} (6 - x) - 8 = 0$ ，若 $g (x)$ 为偶函数，则下列一定成立的有（）

A、 $g^{'} (4) = 0$ B、 $f (1) + f (3) = 16$ C、 $f (2023) = 8$ D、 $\sum_{n = 1}^{20} f (n) = 160$

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6、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点若． $z_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ （i为虚数单位），向量 $\vec{O A}$ 绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量 $\vec{O B}$ 重合，则（）

A、 $z_{2}$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、点B在第二象限 C、 $|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{2}$ D、 $|\frac{z_{2}}{z_{1}}| = 2$

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7、甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个社区中随机选择一个社区，设事件 $M$ 为“甲和乙至少一人选择了 $A$ 社区”，事件 $N$ 为“甲和乙选择的社区不相同”，则 $P (N | M) =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{6}{7}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{5}{9}$

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8、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ， $\vec{c} = \frac{1}{3} \vec{a}$ ，若 $\vec{c}$ 为 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角的余弦值为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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9、已知函数 $f (x) = 2 sin x + sin 2 x .$

(1)、判断 $f (x)$ 是否为周期函数，并说明理由；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值和最小值；

(3)、设 $n \in N^{*} ，$ 证明： $sin x + sin 2 x + sin 4 x + \dots + sin 2^{n} x \leq \frac{\sqrt{3}}{2} n + 1.$

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的长轴长是短轴长的2倍，点 $P (2, 1)$ 在椭圆 $C$ 上，斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点（异于点 $P$ ）．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $△ O M N$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、记直线 $P M$ 与 $P N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，直线 $O M$ ， $O N$ 的斜率分别为 $k_{3}$ ， $k_{4}$ ，证明： $k_{1} k_{2} = k_{3} k_{4}$ ．

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11、如图，三棱锥 $D - A B C$ 的四个顶点均在半径为2的球O的球面上， $∠ A C B = 90^{\circ}, A D = C D$ ，点 $E, F$ 分别为棱 $A B, A C$ 的中点.

(1)、证明： $A C ⊥ D E$ ；

(2)、若 $A C = 2 \sqrt{2}, B C = 2$ ，三棱锥 $D - A B C$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ 时，求平面 $D B C$ 与平面 $D E F$ 所成角的余弦值.

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = n^{2} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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13、已知 $f (x) = {(2 x - 1)}^{100} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{100} x^{100}$ ，则下列描述正确的是（）

A、 $a_{1} + a_{2} + a 3 + \dots + a_{100} = 0$ B、 $f (x)$ 的展开式中，所有含 $x$ 的偶数次项的二项式系数和为 $2^{99}$ C、 $f (- 1)$ 被7整除所得的余数是4 D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 100 a_{100} = 100$

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14、若函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - π < φ < 0)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期 $T = \frac{π}{2}$ B、 $f (\frac{π}{6}) = 1$ C、函数 $y = f (x + \frac{π}{12})$ 为奇函数 D、 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{7 π}{12} + \frac{k π}{2}, 0) (k \in Z)$ 对称

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15、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $b c = 3 a^{2}$ ，且 $b + c = \frac{7}{2} a$ ，则 $\cos A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{8}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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16、已知集合 $A = \{x |\sqrt{x} > x\}$ ， $B = \{x |2 x < 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |x > 1\}$ B、 $\{x |x < \frac{1}{2}\}$ C、 $\{x |0 < x < \frac{1}{2}\}$ D、 $\{x |\frac{1}{2} < x < 1\}$

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17、已知函数 $f (x) = x e^{3 x}$ ，记 $f_{1} (x) = f^{'} (x)$ ，且 $f_{n + 1} (x) = {f^{'}}_{n} (x)$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ；

(2)、设 $f_{n} (x) = (a_{n} + b_{n} x) e^{3 x}$ ， $n \in N^{*}$ ，
（ⅰ）证明数列 $\{\frac{a_{n}}{3^{n}}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ；
（ⅱ）证明： $\frac{1}{b_{1} - 1} + \frac{1}{b_{2} - 1} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{b_{n} - 1} < \frac{3}{4}$ ．

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18、已知抛物线 $C$ 的顶点是坐标原点 $O$ ，而焦点是双曲线 $4 x^{2} - y^{2} = 1$ 的右顶点.
（1）求抛物线 $C$ 的方程；
（2）若直线 $l : y = x - 2$ 与抛物线相交于A、B两点.
①求弦长 $|A B|$ ；
②求证： $O A ⊥ O B$ .

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， $B C = 3$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $P B E$ 所成角的正弦值.

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ．

(1)、求证： $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及前10项的和．

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