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相关试卷

1、若复数 $z$ 满足 $| z |^{2} = i z$ ，则 $z =$ （）

A、 $- i$ B、 $i$ C、0或 $- i$ D、0或 $i$

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2、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $tan C = \frac{sin A + sin B}{cos A + cos B}$ .

(1)、求C的值.

(2)、设 $△ A B C$ 的外接圆半径为R，内切圆半径为r.
（i）若 $R = 4 \sqrt{3}$ ， $r = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长；
（ii）求 $\frac{r}{R}$ 的最大值.

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3、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 和 $△ P A B$ 都是边长为2的正三角形．

(1)、证明： $P C ⊥ A B$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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4、已知 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = 7 - 2 i$ ， $z_{3} = 1 - 3 i$ ，在复平面内，复数 $z_{1} + 1$ ， $z_{2} - z_{3}$ ， $z_{1} \cdot z_{2}$ 对应的点分别为A，B，C．

(1)、求 $|\vec{B C}|$ ；

(2)、已知四点A、B、C、D组成平行四边形 $A B C D$ ，求D点坐标以及 $\cos ∠ B A D$ 的值．

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5、如图所示，为测量河对岸的塔高 $A B$ ，选取了与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $\tan ∠ A C B = \frac{3}{5}$ ， $C D = 50 m$ ， $∠ B C D = 75^{°}$ ， $∠ B D C = 60^{°}$ ，则塔高 $A B =$ ．

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6、已知向量 $\vec{a} = (11, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标是

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7、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E为边CD的中点，P为空间内一动点，则下列说法中正确的是（）

A、当P在线段 $B C_{1}$ 上运动时，四面体 $D_{1} - A P E$ 的体积为定值 B、当P在正方体表面上运动时，若 $A P ⊥ B_{1} E$ ，则P的轨迹长度为 $3 \sqrt{2} + \sqrt{5}$ C、当P在线段AE上运动时，直线 $D_{1} P$ 与AD成角最小值为 $\frac{π}{4}$ D、当P在线段 $A_{1} C$ 上运动时，四面体 $P - A B C$ 的外接球半径的取值范围为 $[\sqrt{2}, \sqrt{6})$

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8、给出下列命题，不正确的有（）

A、两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ C、若 $\vec{a}$ 为非零向量，则 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ 与 $\vec{a}$ 同向 D、已知 $λ$ ， $μ$ 为实数，若 $λ \vec{a} = μ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3 A D$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点.设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{6} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$

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10、已知复数 $z = 1 + i$ ，则 $|\frac{z}{z - 2 i}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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11、如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角 $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ ，其中 $A^{'} B^{'} = 1$ ，则原图形的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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12、复数 $m + (m^{2} - 1) i$ 是实数，则实数 $m =$ （）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 1$ 或 $1$

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13、化简： $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{B A} - \vec{B C}$ 等于（）

A、 $\vec{A C}$ B、 $\vec{C A}$ C、 $\vec{B A}$ D、 $\vec{A B}$

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14、设n个不同的元素1，2，3，…，n的一个排列中，若每个元素都不在原来的位置，则称该排列为一个错位排列（也叫“错排”），记 $D_{n}$ 为n个元素的错位排列的总数．

(1)、求 $D_{1} ， D_{2} ， D_{3} ；$

(2)、求证： $\{D_{n + 1} - (n + 1) D_{n}\}$ 是等比数列；

(3)、求证： $D_{n} = n! \sum_{i = 1}^{n - 1} \frac{{(- 1)}^{i + 1}}{(i + 1)!} (n \geq 2)$ .

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15、已知 ${(x + \frac{1}{2 x^{2}})}^{n}, (n \geq 4, n \in N^{*})$ 的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为 $15 : 2$ ．

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中系数最大项．

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16、一座五层高的灯塔，底层所开灯的数量为3盏，每一层开灯的数量都是下面一层的两倍，则一共开了盏灯．

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17、下列求导数的运算正确的是（）

A、 ${(x^{3} - \frac{1}{x})}^{'} = 3 x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ B、 $(\ln 2)^{'} = \frac{1}{2}$ C、 ${(x e^{x})}^{'} = (x + 1) e^{x}$ D、 $(x \cdot \cos x)^{'} = - \sin x$

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18、若函数 $f (x) = x - \frac{1}{3} \sin 2 x + a \sin x$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是

A、 $[- 1, 1]$ B、 $[- 1, \frac{1}{3}]$ C、 $[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ D、 $[- 1, - \frac{1}{3}]$

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19、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} + a_{9} = 12$ ，则 $S_{11}$ 的值为（）

A、33 B、44 C、66 D、132

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20、已知实数 $m$ 是1，4的等比中项，则 $m =$ （）

A、 $\pm 4$ B、 $- 4$ C、 $\pm 2$ D、 $- 2$

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