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相关试卷

1、已知 $\vec{O A} = (2, 8)$ ， $\vec{O B} = (- 7, 2)$ ，则 $\frac{1}{3} \vec{A B}$ 等于（）

A、 $(3, 2)$ B、 $(- \frac{5}{3}, - \frac{10}{3})$ C、 $(- 3, - 2)$ D、 $(- \frac{5}{3}, 4)$

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2、已知圆心在坐标原点的圆O与直线 $3 x - 4 y + 10 = 0$ 相切.

(1)、求圆O的方程.

(2)、设点A是圆O与x轴正半轴的交点，点B是圆O与y轴正半轴的交点，点P，Q分别是圆O上在第二象限、第一象限的动点，点 $Q_{1}$ 是点Q关于y轴的对称点.将圆O的左半部分沿着y轴翻折，使得点 $P, Q_{1}$ 分别到达点 $P^{'}, Q_{1}^{'}$ 的位置，记二面角 $A - O B - P$ 的大小为θ，且 $0 < θ < π$ .以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 $O x y z$ .将线段 $Q Q_{1}^{'}$ 在平面 $O y z$ 上的正投影的中点记为点M.
（i）证明：点M的轨迹为椭圆的一部分.
（ii）若 $θ \in [\frac{π}{3}, \frac{5 π}{6}]$ 求（i）中椭圆离心率的取值范围.

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3、有 $m$ 个编号分别为 $1, 2, \dots, m$ 的盒子，第1个盒子中有3个红球2个蓝球，其余盒子中均为2个红球1个蓝球.现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推.在以上取球过程中，记从第 $n (1 \leq n \leq m, n \in N^{*})$ 个盒子中取出蓝球的概率为 $p_{n}$ .

(1)、求 $p_{2}$ ；

(2)、求 $p_{n}$ ；

(3)、求数列 $(n p_{n})$ 的前 $n$ 项和.

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4、如图三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = B C = C A = 2$ ，平面 $D A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $D A C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $D A ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若二面角 $A - C D - B$ 的正切值为2，求三棱锥 $A - B C D$ 的体积.

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5、已知函数 $f (x) = - x e^{1 - x}$

(1)、设 $g (x) = f^{'} (x)$ ，分别讨论函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上的单调性；

(2)、证明：当 $0 < t < x$ 时， $f (t) + f (x) < f (t + x)$ .

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6、已知 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $1 - \cos^{2} A - \cos^{2} B + \cos^{2} C = \sin A \sin B$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $C$ 的角平分线与 $A B$ 交于点 $D$ ，且 $C D = 1$ ，求 $4 a + b$ 的最小值.

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7、甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲传出，共传5次结束，记 $X$ 表示5次传球过程中，甲接到球的总次数，则X的数学期望 $E (X) =$ ．

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8、已知 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{1}{e} ， f (\frac{1}{e}))$ 处的切线方程为．

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9、已知 $f (x) = \frac{x}{x - 1} (x > 1)$ ，若 $α, β$ 分别是方程 $f (x) = e^{x}$ 和 $f (x) = \ln x$ 的根，则下列说法正确的是（）

A、 $α < 2 \ln 2$ B、 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} > 1$ C、 $α β < 6$ D、 $β + \ln β > 4$

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10、如图，已知圆台的轴截面为四边形EFGH，FG=4，EH=2，EF=3，沿着该圆台侧面从E到G的路径的长度为a.在该圆台内有一个棱长为b的正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则（）

A、圆台的高为 $\sqrt{7}$ B、圆台的体积为 $\frac{14 \sqrt{2}}{3} π$ C、a的最小值为 $3 \sqrt{3}$ D、b的最大值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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11、过双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0, b > 0$ ）的右焦点 $F$ 作渐近线的垂线，垂足为 $A$ ，若点 $F$ 关于点 $A$ 的对称点 $B$ 恰好落在双曲线 $C$ 上，则双曲线 $C$ 的渐近线的方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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12、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，设甲： $f (x + π)$ 是偶函数，乙： $f (x + \frac{π}{4})$ 是奇函数，则（）

A、甲是乙的必要不充分条件 B、甲是乙的充分不必要条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲是乙的既不充分也不必要条件

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13、我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（）

A、 $72$ B、 $108$ C、 $180$ D、 $216$

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14、在如图的平面图形中，已知 $O M = 1, O N = 2, ∠ M O N = 120^{\circ}$ ， $\overset{⇀}{B M} = 2 \overset{⇀}{M A}, \overset{⇀}{C N} = 2 \overset{⇀}{N A},$ 则 $\overset{⇀}{B C} · \overset{⇀}{O M}$ 的值为

A、 $- 15$ B、 $- 9$ C、 $- 6$ D、0

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15、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ，若数列 $\{a_{n} \cdot a_{n + 1}\}$ 是公比为2的等比数列，则 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{19} =$ （）．

A、2048 B、2047 C、1024 D、1023

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16、已知函数 $f (x) = x e^{x} - a x + 1$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程.

(2)、若 $f (x) \geq 1$ 在 $(0, + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

(3)、当 $a = 1$ 时，证明：对 $\forall x > 0$ ，有 $f (x) > l n x + x + 1$ .

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17、已知角 $α (0 < α < π)$ 的顶点为 $A$ ，在 $α$ 的两边上截取 $|A B| = |A C|$ ，连接 $B C$ ，在线段 $B C$ 上取一点 $O$ ，使得 $|B O| = 2 |C O|$ ，记 $B O$ 的中点为 $D$ ，以 $O$ 为中心， $C, D$ 为顶点作离心率为2的双曲线 $M$ ，以 $A$ 为圆心， $A B$ 为半径作圆，与双曲线 $M$ 左支交于点 $E$ （射线 $A E$ 在 $∠ B A C$ 内部），则 $∠ B A E = \frac{1}{3} ∠ B A C$ .在上述作法中，以 $O$ 为原点，直线 $B C$ 为 $x$ 轴建立如图所示的平面直角坐标系，若 $B (- 2, 0)$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴的上方.

(1)、求双曲线 $M$ 的方程；

(2)、若过点 $A$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交 $x$ 轴于点 $G$ ，点 $E$ 到直线 $A G$ 的距离为 $d$ .
证明：① $\frac{|B E|}{d}$ 为定值；
② $∠ B A E = \frac{1}{3} ∠ B A C$ .

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18、如图，在矩形 $C D E F$ 中， $C D = 1, D E = 2$ ， $A, B$ 分别是 $D E, C F$ 的中点，点 $P, Q$ 分别是对角线 $A C, B E$ 上的动点（不包括端点），且 $C P = B Q = a (0 < a < \sqrt{2})$ ，将四边形 $A B C D$ 沿 $A B$ 翻折，使平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B F E$ ．

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $A E C$ ；

(2)、求线段 $P Q$ 的长（用 $a$ 表示）；

(3)、当线段 $P Q$ 的长最小时，求平面 $P Q A$ 与平面 $A E C$ 夹角的余弦值．

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19、甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为 $\frac{1}{2}$ ，同学乙每次击中目标的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且两人是否击中目标相互独立.

(1)、射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行.
（i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率；
（ii）记第 $n$ 次射击由同学甲进行的概率为 $P (n)$ ，求 $P (21)$ 的值.

(2)、新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率.

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20、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积为 $S$ ，满足 $2 S = a^{2} - {(b - c)}^{2}$ ，若 $a^{2} + b^{2} = \sqrt{2} t S$ ，则 $t$ 的最小值为．

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