相关试卷

1、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + a x + 1$ （a为常数），经过点 $P (2, - 7)$ ，点Q在抛物线上，其横坐标为m，将此抛物线上P、Q两点间的部分（包括P、Q两点）记为图象G．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、若点B是抛物线上一点，横坐标为1．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结 $B C$ ，求 $△ P B C$ 的面积．

(3)、当抛物线的顶点是图像G的最高点，且图像G的最高点与最低点到x轴的距离和为定值时，求m的取值范围．

(4)、已知点 $M (2 m - 1, - 7)$ 、 $N (2 m - 1, \frac{1}{2} m + 1)$ 、 $E (2, \frac{1}{2} m + 1)$ ，顺次连接 $P M 、 M N 、 N E 、 E P$ 得到矩形 $P M N E$ ，当图象G与该矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．

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2、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 6$ ， $A C = 8$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $B C$ 、 $A B$ 的中点，连接 $D E$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒4个单位长度的速度沿 $A C$ 向终点 $C$ 运动，过点 $P$ 作 $A C$ 的垂线交 $A B$ 于点 $M$ ，以 $P M$ 为直角边向 $P M$ 下方作 $△ P M N$ ，使 $∠ P M N = 90 °$ ，且 $P M = 2 M N$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ （秒）．

(1)、填空： $A B =$ ， $A M =$ （用含 $t$ 的代数式表示）；

(2)、当点 $N$ 落在线段 $B C$ 上时，求 $t$ 的值；

(3)、当 $△ P M N$ 与 $△ B D E$ 重合部分的图形是四边形时，设这个重叠部分的四边形的面积为 $S$ 平方单位，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $t$ 的取值范围．

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3、综合与实践
[问题背景]：
如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 4$ ， $A D ⊥ C D$ ，连接 $A C$ ， $A C ⊥ B C$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，且 $C E = C D$ ．
（1）求证： $A D = A E$ ．
[操作探究]：
如图2，将 $△ A C D$ 沿直线 $A B$ 方向向右平移一定距离，点 $A$ ， $C$ ， $D$ 的对应点分别为点 $A^{'}$ ， $C^{'}$ ， $D^{'}$ ，且点 $A^{'}$ 与点 $E$ 重合．
（2）①连接 $D D^{'}$ ，试判断四边形 $A E D^{'} D$ 的形状，并说明理由；
②求出 $△ A C D$ 平移的距离．
[拓展创新]：
如图3，在（2）的条件下，将 $△ A^{'} C^{'} D^{'}$ 绕点 $E$ 按顺时针方向旋转一定角度，在旋转的过程中，记直线 $C^{'} D^{'}$ 分别与边 $A B$ ， $B C$ 交于点 $N$ ， $M$ ．
（3）当 $C^{'} E ∥ B M$ 时，请求出 $B N$ 的长．

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4、2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“巳巳如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生观看春晚的方式（ $A$ ：平板观看： $B$ ：手机观看； $C$ ：电视观看： $D$ ：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图．
请根据图中信息解答下列问题：

(1)、这次随机抽取的学生共有______人，并将条形统计图补充完整；

(2)、扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为______；

(3)、该校九年级共有学生1000人，请估计九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？

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5、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k≠0）的图象经过点 $A (a, 8)$ 和点 $B (8,1)$ ．

(1)、求反比例函数的表达式和a的值；

(2)、若点C是线段 $A B$ 上一点，过点C作 $C D ∥ y$ 轴交反比例函数图象于点D，若点D的横坐标为4，求线段 $C D$ 的长．

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6、临近中考，心理专家建议考生可通过以下四种方式进行考前减压：A．享受美食，B．交流谈心，C．体育锻炼，D．积极心理暗示．

(1)、随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“享受美食”的概率是．

(2)、随机采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们选择同种减压方式的概率．

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7、先化简，再求值： $(\frac{a^{2} + b^{2}}{a b} + 2) \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - a b}$ ，其中 $a = 2$ ， $b = - \frac{1}{2}$ ．

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8、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ D = 60 °$ ， $A D = 10$ ，以 $B C$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，则 $\overset{⌢}{B E}$ 的长为（结果保留 $π$ ）．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A D E$ ，此时点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $B C$ 边上，则 $C D$ 的长为．

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10、如果关于 $x$ 的方程 $m x^{2} - 2 (m + 3) x + m = 0$ 有实数根，那么 $m$ 的取值范围是．

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11、单项式 $- 3 a^{2} b$ 的系数是．

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12、把不等式 $x + 1 \leq 2$ 的解集表示在数轴上，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、如图，值日生小东和小明两人共同拉着一根细线对课桌进行对齐，这样做所蕴含的数学道理是（）

A、垂线段最短 B、线段可以度量 C、两点确定一条直线 D、两点之间，线段最短

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14、倒数等于 $2$ 的数（）

A、 $- 2$ B、 $\pm 2$ C、 $2$ D、 $\frac{1}{2}$

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15、如图（1），抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x - 3$ 交 $x$ 轴于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在左边），交 $y$ 轴于点 $C$ ．

(1)、直接写出 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点的坐标；

(2)、 $D$ 是抛物线第四象限上的一点，连接 $A D$ 分别交 $B C$ ， $O C$ 于 $E$ ， $F$ 两点，若 $∠ F E C = ∠ F C E$ ，求直线 $A D$ 的解析式；

(3)、平移抛物线使它的顶点为 $(0, 1)$ ，如图（2）． $R$ 是 $y$ 轴上一个定点，以点 $R$ 为直角顶点作 $Rt △ R S T$ ，使顶点 $S$ ， $T$ 分别在 $x$ 轴和抛物线上．若 $Rt △ R S T$ 在变化的过程中，直线 $S T$ 与抛物线始终有唯一公共点，求点 $R$ 的坐标．

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16、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °, A B = A C$ ，点E在直线 $B C$ 上运动，作正方形 $A D E F$ ．

(1)、如图1，点E在线段 $B C$ 上，求证： $B D = C F$ ；

(2)、如图2，点E在线段 $B C$ 的延长线上，求证： $B D = D E$ ；

(3)、若 $B C = 2 \sqrt{2}$ ，过点B作 $A E$ 的垂线，垂足为G，当 $C G$ 最大时，求 $A G^{2}$ 的值．

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17、从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 $h (m)$ 满足关系式 $h = - 5 t^{2} + v_{0} t$ ，其中 $t (s)$ 是物体运动的时间， $v_{0} (m / s)$ 是物体被发射时的速度．科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向上发射小球（发射台离地面距离忽略不计）．

(1)、当 $v_{0} = 12 (m / s)$ 时，①求小球离地面的最大高度；②经过多少时间小球的高度达到 $4m$ ？

(2)、通过不断调整小球被发射时的速度，小明发现：若两次发射小球时的速度分别为 $v_{1}, v_{2}$ ，小球从发射到回到地面所需时间为 $t_{1}, t_{2}$ ，则 $\frac{v_{1} - v_{2}}{t_{1} - t_{2}}$ 的值为常数．判断小明发现的结论是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，举例说明．

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18、某校计划开设五项活动：跳绳、篮球、乒乓球、跑步、踢毽子．为了解学生对这五项活动的喜爱情况，在全校随机抽取部分学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择且只能选择其中一项），统计整理并绘制了如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次问卷调查的学生共有________人，并补全条形统计图；“乒乓球”所对应的扇形圆心角的度数为________度；

(2)、学校体育老师从喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．

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19、解方程组： $\{\begin{matrix} y - x = 3 \\ 2 x + y = 0 \end{matrix}$

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20、如图，菱形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ， $∠ A = 120 °$ ，点 $M$ 为菱形 $A B C D$ 内一动点，连接 $B M 、 D M$ ， $B M = 4$ ，点 $H$ 为 $B M$ 的中点，连接 $C H$ ，则 $D M + C H$ 的最小值为．

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