相关试卷

1、德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
如图①，点 $C$ 把线段 $A B$ 分成两部分，如果 $\frac{C B}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ，那么称点 $C$ 为线段 $A B$ 的黄金分割点．

(1)、特例感知：在图①中，若 $A B = 100$ ，求 $A C$ 的长；

(2)、知识探究：如图②，作 $⊙ O$ 的内接正五边形；
①作两条相互垂直的直径 $M N$ 、 $A I$ ；
②作 $O N$ 的中点 $P$ ，以 $P$ 为圆心， $P A$ 为半径画弧交 $O M$ 于点 $Q$ ；
③以点 $A$ 为圆心， $A Q$ 为半径，在 $⊙ O$ 上连续截取等弧，使弦 $A B = B C = C D = D E = A Q$ ，连接 $A E$ ；
则五边形 $A B C D E$ 为正五边形．
在该正五边形作法中，点 $Q$ 是否为线段 $O M$ 的黄金分割点？请说明理由；

(3)、拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系．
延长题（2）中的正五边形 $A B C D E$ 的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图③，点 $E$ 是线段 $P D$ 的黄金分割点，请利用题中的条件，求 $c o s 72 °$ 的值．

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2、如图，一次函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x - \sqrt{3}$ 图象与坐标轴交于点 $A$ 、 $B$ ，二次函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x^{2} + b x + c$ 图象过 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、求二次函数解析式；

(2)、点 $B$ 关于抛物线对称轴的对称点为点 $C$ ，点 $P$ 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点 $Q$ ，使得以 $B$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出 $Q$ 点坐标；若不存在，请说明理由．

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3、2020年12月30日，中共湘潭市委创造性地提出了深化“六个湘潭”（实力湘潭、创新湘潭、文化湘潭、幸福湘潭、美丽湘潭、平安湘潭）建设的发展目标．为响应政府号召，湘潭县湘莲种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售湘莲．已知线上零售 $40 k g$ 、线下批发 $80 k g$ 湘莲共获得4000元；线上零售 $60 k g$ 和线下批发 $80 k g$ 湘莲销售额相同．

(1)、求线上零售和线下批发湘莲的单价分别为每千克多少元？

(2)、该产地某种植大户某月线上零售和线下批发共销售湘莲 $2000 k g$ ，设线上零售 $x$ $k g$ ，获得的总销售额为 $y$ 元：
①请写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；
②若总销售额不低于70000元，则线上零售量至少应达到多少千克？

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4、如图，点 $A (a, 2)$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上， $A B / / x$ 轴，且交 $y$ 轴于点 $C$ ，交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 于点 $B$ ，已知 $A C = 2 B C$ ．

(1)、求直线 $O A$ 的解析式；

(2)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的解析式；

(3)、点 $D$ 为反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 上一动点，连接 $A D$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，当 $E$ 为 $A D$ 中点时，求 $Δ O A D$ 的面积．

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5、为隆重纪念中国共产党成立100周年，进一步激发师生的爱党爱国热情，某校开展了四项庆祝活动： $A$ 、感党恩 $\cdot$ 我们诵； $B$ 、听党话 $\cdot$ 我们唱； $C$ 、跟党走 $\cdot$ 我们画； $D$ 、学党史 $\cdot$ 我们写．其中 $C$ 项活动全体同学参与，预计成绩 $95 < x ⩽ 100$ 可获一等奖，成绩 $90 < x ⩽ 95$ 可获二等奖，随机抽取50个同学的作品进行打分并对成绩进行整理、分析，得到频数分布直方图如图：
收集其中 $90 < x ⩽ 100$ 这一组成绩如下：
$n$ 93 92 98 95 95 96 91 94 96
整理该组数据得下表：
组别
平均数
中位数
众数
获奖组
94.5
95
95
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、频数分布直方图中 $m =$ ；

(2)、 $90 < x ⩽ 100$ 组中 $n =$ ；

(3)、已知该校有1200名学生，估计本次活动获一等奖的同学有多少人？

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6、万楼是湘潭历史上的标志性建筑，建在湘潭城东北、湘江的下游宋家桥．万楼的外形设计既融入了皇家大院、一类寺庙的庄严典雅，也吸收了江南民居诸如马头墙、猫拱背墙、灰瓦等特色，而最为独特的还是万楼“九五至尊”的结构．
某数学小组为了测量万楼主楼高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基 $A$ 处起飞，沿直线飞行120米至点 $B$ ，在此处测得楼基 $A$ 的俯角为 $60 °$ ，再将无人机沿水平方向向右飞行30米至点 $C$ ，在此处测得楼顶 $D$ 的俯角为 $30 °$ ，请计算万楼主楼 $A D$ 的高度．（结果保留整数， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

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7、“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到 $70 %$ 计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近 $80 %$ ，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点
疫苗种类
医院
$A$
新冠病毒灭活疫苗
$B$
重组新冠病毒疫苗 $(C H O$ 细胞）
社区卫生服务中心
$C$
新冠病毒灭活疫苗
$D$
重组新冠病毒疫苗 $(C H O$ 细胞）
若居民甲、乙均在 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 表示选取结果）

(1)、求居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率；

(2)、请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．

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8、如图，矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为边 $B C$ 上一点，将△ $A B E$ 沿 $A E$ 翻折后，点 $B$ 恰好落在对角线 $A C$ 的中点 $F$ 上．

(1)、证明：△ $A E F ≅$ △ $C E F$ ；

(2)、若 $A B = \sqrt{3}$ ，求折痕 $A E$ 的长度．

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9、天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸

4
5
6
7
8
9
0
1
2
3

地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥

4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．
2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是年．（用天干地支纪年法表示）

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10、如图，在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别为边 $A B$ ， $A C$ 上的点，试添加一个条件：，使得 $Δ A D E$ 与 $Δ A B C$ 相似．（任意写出一个满足条件的即可）

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11、如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是边 $A B$ 的中点．已知 $B C = 10$ ，则 $O E =$ ．

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12、如图，直线 $a$ ， $b$ 被直线 $c$ 所截，已知 $a / / b$ ， $∠ 1 = 130 °$ ，则 $∠ 2$ 为度．

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13、“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平为世界粮食安全作出了杰出贡献．全球共有40多个国家引种杂交水稻，中国境外种植面积达800万公顷．某村引进了甲、乙两种超级杂交水稻品种，在条件（肥力、日照、通风 $\dots)$ 不同的6块试验田中同时播种并核定亩产，统计结果为： $\bar{x_{甲}} = 1042 k g /$ 亩， $s_{甲}^{2} = 6.5$ ， $\bar{x_{乙}} = 1042 k g /$ 亩， $s_{乙}^{2} = 1.2$ ，则品种更适合在该村推广．（填“甲”或“乙” $)$

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14、若二次根式 $\sqrt{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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15、如图， $B C$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $A D ⊥ B C$ 于点 $E$ ，直线 $l$ 切 $⊙ O$ 于点 $C$ ，延长 $O D$ 交 $l$ 于点 $F$ ，若 $A E = 2$ ， $∠ A B C = 22.5 °$ ，则 $C F$ 的长度为（　　）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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16、为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为 $x$ ，可列方程得（　　）

A、 $100 (1 - x)^{2} = 64$ B、 $100 (1 + x)^{2} = 64$ C、 $100 (1 - 2 x) = 64$ D、 $100 (1 + 2 x) = 64$

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17、下列几何体中，三视图不含圆的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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18、2021的相反数是（　　）

A、2021 B、 $- 2021$ C、 $\frac{1}{2021}$ D、 $- \frac{1}{2021}$

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19、如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (1,0) ， B (4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点．

(1)、求抛物线的函数表达式及点 $D$ 的坐标；

(2)、若四边形 $B C E F$ 为矩形， $C E = 3 . 点 M$ 以每秒 $1$ 个单位的速度从点 $C 沿 C E$ 向点 $E$ 运动，同时点 $N$ 以每秒 $2$ 个单位的速度从点 $E 沿 E F$ 向点 $F$ 运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以 $M 、 E 、 N$ 为顶点的三角形与 $△ B O C$ 相似时，求运动时间 $t$ 的值；

(3)、抛物线的对称轴与 $x$ 轴交于点 $P$ ，点 $G$ 是点 $P$ 关于点 $D$ 的对称点，点 $Q 是 x$ 轴下方抛物线图象上的动点．若过点 $Q$ 的直线 $l ： y = k x + m (| k | < \frac{9}{4})$ 与抛物线只有一个公共点，且分别与线段 $G A 、 G B$ 相交于点 $H 、 K$ ，求证： $G H + G K$ 为定值．

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20、如图，四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O ， A B$ 是直径，点 $C 是 \overset{⏜}{B D}$ 的中点，延长 $A D 交 B C$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $C E = C D$ ；

(2)、 $若 A B = 3 ， B C = \sqrt{3}$ ，求 $A D$ 的长．

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接种地点		疫苗种类
医院	$A$	新冠病毒灭活疫苗
医院	$B$	重组新冠病毒疫苗 $(C H O$ 细胞）
社区卫生服务中心	$C$	新冠病毒灭活疫苗
社区卫生服务中心	$D$	重组新冠病毒疫苗 $(C H O$ 细胞）

天干	甲	乙	丙	丁	戊	己	庚	辛	壬	癸
	4	5	6	7	8	9	0	1	2	3
地支	子	丑	寅	卯	辰	巳	午	未	申	酉	戌	亥
	4	5	6	7	8	9	10	11	12	1	2	3

组别	平均数	中位数	众数
获奖组	94.5	95	95