相关试卷

1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4 (a \neq 0)$ 与x轴交于A、C两点，其中 $A (- 1,0)$ ， $C (4,0)$ ，与y轴交于点B ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结 $B C$ ，过点D作 $D E ⊥ B C$ 于点E ，延长 $D E$ 与直线 $y = - 2$ 交于点F ，求 $\frac{\sqrt{2}}{2} D F + \sqrt{2} D E$ 的最大值及此时点D的坐标；

(3)、若将原抛物线绕原点O旋转 $180 °$ 得到新的抛物线 $y^{'}$ ， P是新抛物线 $y^{'}$ 上的一个动点，H是直线 $y = - 2$ 上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K ，使得四边形 $O P K H$ 为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标．

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2、如图，一次函数 $y_{1} = a x + b$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (6, 1)$ ， $B (2, m)$ ．

(1)、求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)、利用图像，直接写出不等式 $a x + b > \frac{k}{x}$ 的解集为；

(3)、在x轴上找一点C ，使 $△ A B C$ 的周长最小，并求出最小值．

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3、某种落地灯如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为120cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm，CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度，支杆BC与悬杆CD之间的夹角∠BCD为70°．

(1)、如图2，当A、B、C三点共线且CD＝50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；

(2)、在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转50°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为160cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

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4、如图，在 $△ P B D$ 中， $P O$ 平分 $∠ B P D$ ， $D E ⊥ P O$ 交 $P O$ 延长线于点E ， $∠ E D B = ∠ E P B$ ，以 $O B$ 为半径的 $⊙ O$ 交 $B D$ 于点A ，已知 $P B = 6$ ， $D B = 8$ ．

(1)、求证： $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、求 $⊙ O$ 的半径．

(3)、连接 $B E$ ，求 $B E$ 的长．

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5、如图：平行四边形 $A B C D$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $E$ ，将 $△ B C D$ 沿着 $B D$ 折叠，使点 $C$ 落在平面上的 $F$ 处， $F D$ 与 $A B$ 相交于 $G$ ，连接 $G E$ 并延长，与 $A C$ 相交于 $H$ ．

(1)、求证： $△ A D G ≌ △ F B G$ ；

(2)、连接 $B H$ ，判断四边形 $D G B H$ 的形状，并说明理由．

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6、青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为了解九年级学生对时事热点的掌握程度，特举办了一场“中国事，我知道”的调研．随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，把学生掌握情况分为5类：其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分，“应用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程如下：
【数据整理】
【数据分析】

平均数
众数
中位数
第1组
$a$
4
3
第2组
$1.65$
$b$
1
第3组
$2.25$
2
$c$

(1)、请补全第1小组得分条形统计图．

(2)、第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为．

(3)、根据上述图表填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ．

(4)、若该校九年级有1200名学生参加此次调研，请估算九年级学生掌握情况是“应用”的人数．

(5)、结合上述数据，请你分析对于时事热点哪组掌握程度最弱，并说明原因．

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7、

(1)、计算： $- 2 s i n 6 0^{∘} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} - {(π - 2026)}^{0} - \sqrt{12}$

(2)、 ${\begin{cases} x + 11 \geq 2 x + 3 \\ \frac{2 x + 5}{3} - 1 > 2 - x \end{cases}$

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8、如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 6$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ．四边形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A_{1} A_{2} B_{2} C_{2}$ ， $A_{2} A_{3} B_{3} C_{3}$ ， $A_{3} A_{4} B_{4} C_{4}$ ， $⋯ ⋯$ 都是正方形，顶点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ ， $⋯ ⋯$ 都在 $x$ 轴上，顶点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ， $B_{4}$ ， $⋯ ⋯$ ，都在直线 $y = - \frac{1}{2} x + 6$ 上，连接 $B A_{1}$ ， $B_{1} A_{2}$ ， $B_{2} A_{3}$ ， $B_{3} A_{4}$ ， $⋯ ⋯$ ，分别交 $C_{1} B_{1}$ ， $C_{2} B_{2}$ ， $C_{3} B_{3}$ ， $C_{4} B_{4}$ ， $⋯ ⋯$ ，于点 $D_{1}, D_{2}, D_{3}, D_{4}$ ， $⋯ ⋯$ ．设 $△ B B_{1} D_{1}, △ B_{1} B_{2} D_{2}, △ B_{2} B_{3} D_{3}, △ B_{3} B_{4} D_{4}$ ， $⋯ ⋯$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ ， $⋯ ⋯$ ，则 $S_{2026} =$ ．

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9、如图，五边形 $A B C D E$ 与五边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'}$ 是位似图形， $O$ 为位似中心．若 $A A^{'} = 2 A^{'} O$ ，则 $B C$ 与 $B^{'} C^{'}$ 的数量关系为．

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10、如图，以正五边形 $A B C D E F$ 的 $A B$ 边为直径作 $⊙ O$ ，连接 $A C$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ， $C B$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，则 $∠ F A G$ 的度数为．

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11、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点 $A$ 的坐标为 $(- \frac{1}{2}, m)$ ，与 $x$ 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：① $a b c > 0$ ；② $2 b + c > 0$ ；③若图象经过点 $(- 3, y_{1}), (3, y_{2})$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；④若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c - 3 = 0$ 无实数根，则 $m < 3$ ．其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、如图，在边长为2的正方形 $A B C D$ 中，按如下步骤作图：
①分别以 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径作弧，两弧分别交于 $A B$ 两侧，过两交点作直线，分别交 $A B$ ， $C D$ 于点 $E$ ， $F$ ；②连接 $A F$ ，以 $A$ 为圆心，适当长为半径作弧，分别与 $A B$ ， $A F$ 交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于 $∠ B A F$ 内一点，过 $A$ 与该交点作射线，交 $B C$ 于点 $M$ ；③过点 $M$ 作 $M N ⊥ A D$ 于点 $N$ ．根据以上作图，线段 $B M$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $3 - \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{5} - 3$ D、 $\sqrt{5} - 1$

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13、如图， $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $64 °$ 得到 $△ A D E$ ，且 $D E$ 经过点C ，已知 $∠ A B C = 38 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $56 °$ B、 $57 °$ C、 $58 °$ D、 $64 °$

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14、已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器， $R_{1}$ 的阻值随空气中甲醛质量浓度 $c$ 的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度 $c > 0.1 m g / m^{3}$ 时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（）

A、空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时， $R_{1}$ 的阻值逐渐增大 B、当 $R_{1} = 300 Ω$ 时，甲醛检测仪会报警 C、当 $c = 0.8 m g / m^{3}$ 时， $R_{1}$ 的阻值为 $25 Ω$ D、当房间内甲醛质量浓度低于 $0.1 m g / m^{3}$ 时， $R_{1}$ 的阻值高于 $200 Ω$

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15、如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， $A C = \sqrt{6}$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，以 $A B$ 为半径画弧，交 $B C$ 延长线于点 $D$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{4}{3} π - \sqrt{3}$ B、 $π - 2 \sqrt{3}$ C、 $π - \sqrt{3}$ D、 $\frac{2}{3} π - \sqrt{3}$

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16、已知函数 $y = k x + b$ （ $k b \neq 0$ ）的图象在第一、三、四象限内，点 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ 都在函数 $y = \frac{k b}{x}$ 上．若 $x_{1} > x_{2} > 0$ ，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2}$ B、 $y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} > y_{2}$ D、 $y_{1} \geq y_{2}$

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17、下列运算中，计算正确的是（）

A、 $2 x^{2} - 3 x^{2} = x^{2}$ B、 $2 a^{- 2} = \frac{2}{a^{2}}$ C、 $(- 2 x)^{3} = - 6 x^{3}$ D、 $(x + 1)^{2} = x^{2} + 1$

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18、数学课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动探究．将矩形纸片 $A B C D$ （ $B C > A B$ ）沿 $A C$ 折叠，点 $B$ 的对称点为点 $E$ ， $E C$ 与 $A D$ 相交于点 $F$ ．

(1)、如图 $1$ ，求证： $F A = F C ．$

(2)、如图 $2$ ，连结 $D E$ 并延长，交 $B A$ 的延长线于点 $G$ ．
①猜想四边形 $A C D G$ 的形状，并说明理由．
②当 $A C = \sqrt{5} D E$ 时，求 $\frac{B C}{A B}$ 的值．

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19、综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图，外形参数如图 $1$ 所示．装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线 $L$ ，中间的矩形 $A B C D$ 和下方的圆弧 $M$ 组成．抛物线 $L$ 的高度为 $8 c m$ ，矩形 $A B C D$ 的边 $A B = 8 c m$ ， $B C = 6 c m$ ，圆弧 $M$ 的拱高为 $2 c m$ ．在装置内部安装矩形电子显示屏 $E F G H$ ，点 $E$ ， $F$ 在圆弧 $M$ 上，点 $H$ ， $G$ 在抛物线 $L$ 上．
问题解决：如图 $2$ ，该小组以矩形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 为原点，以 $A B$ 边所在的直线为 $x$ 轴，以 $A D$ 边所在的直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：

(1)、分别求出抛物线 $L$ 的函数表达式和圆弧 $M$ 所在圆的半径．

(2)、为满足矩形电子显示屏 $E F G H$ 的空间要求，需要 $E H$ 到 $A D$ 的水平距离为 $1 c m$ ，求此时矩形 $E F G H$ 的面积．

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20、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $O C ⊥ A B$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $D$ 为 $O B$ 上一点（不与端点重合），连结 $C D$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $A B$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $D F = E F$ ．

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $3$ ，且 $B D = B F$ ，求 $E F$ 的长．

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	平均数	众数	中位数
第1组	$a$	4	3
第2组	$1.65$	$b$	1
第3组	$2.25$	2	$c$