相关试卷

1、下面是小强的化简分式 $(\frac{2 x - 8}{x - 3} - 1) \div \frac{x - 5}{x^{2} - 9}$ 的过程：
解：原式 $= (\frac{2 x - 8}{x - 3} - \frac{x - 3}{x - 3}) \div \frac{x - 5}{(x + 3) (x - 3)}$ …………第一步
$= \frac{2 x - 8 - x - 3}{x - 3} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{x - 5}$ ………………………第二步
$= \frac{(x - 11) (x + 3)}{x - 5}$ ……………………………………第三步

(1)、小强的化简过程从第__________步开始出现错误；

(2)、请你写出正确的化简过程，并从2、3、4、5中选择一个合适的数代入求值．

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2、计算

(1)、在下面四个式子中任选三个求和
① $\sqrt{9}$ ② ${(π - 3.14)}^{0}$ ③ ${(- 1)}^{2026}$ ④ ${2sin30}^{o}$

(2)、解一元二次方程： $x^{2} - 4 x + 3 = 0$

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3、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $∠ A B D = 2 ∠ C B D$ ，若 $A B = \sqrt{14}$ ， $B C = 7$ ， $▱ A B C D$ 的面积为．

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4、2025年“苏超”火爆全国，足球不仅是全球最受欢迎的运动，更是一种文化纽带．它超越国界，连接人心，激发团队精神与拼搏意志，带来激情与欢乐，成为人们情感交流的桥梁．图①是一次足球比赛的奖杯，图②是从奖杯中抽象出的几何模型， $P A$ 、 $P B$ 是圆的切线， $A, B$ 为切点， $O$ 为圆心，连接 $B O$ 并延长 $B O$ 交射线 $P A$ 于点 $C$ ，若 $P B = 6, P C = 10$ ，则 $O C$ 的长度为．

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5、2026年是丙午马年，“马到功成”将马年与祝福相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“马”、“到”、“功”、“成”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“功”的概率为．

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6、若 $\sqrt{x - 3}$ 在实数范围内有意义，写出一个符合条件的 $x$ 的值．

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7、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，与 $x$ 轴的一个交点坐标 $(4, 0)$ ，其部分图象如图所示，甲乙丙丁四位同学分别写出了下列结论：
甲： $a - b + c < 0$ ；                           乙： $4 a + 2 b + c = 0$ ；
丙：抛物线的顶点坐标为 $(2, b)$ ；             丁：当 $x < 4$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大．
其中结论正确的是（       ）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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8、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，按以下步骤作图：
①以 $B$ 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 $B A$ ， $B C$ 于 $M$ ， $N$ 两点；
②分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $P$ ；
③作射线 $B P$ ，交边 $A C$ 于 $D$ 点．
若 $A C = 4, B C = 3$ ，则线段 $C D$ 的长为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{12}{7}$

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9、反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与一次函数 $y = k x - k (k \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10、若 $x = - 1$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x - 5 = 0$ 的一个根，则该方程的另一个根是（）

A、－5 B、 $\frac{1}{5}$ C、5 D、 $- \frac{1}{5}$

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11、记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有 $x$ 只羊，乙有 $y$ 只羊，可列出方程组是（）

A、 $\{\begin{array}{l} x + 1 = 2 (y - 1) \\ x - 1 = y + 1 \end{array}$ B、 $\{\begin{matrix} x - 1 = 2 (y + 1) \\ x + 1 = y - 1 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{array}{l} 2 (x - 1) = y + 1 \\ x + 1 = y - 1 \end{array}$ D、 $\{\begin{matrix} 2 (x + 1) = y - 1 \\ x - 1 = y + 1 \end{matrix}$

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12、某篮球队5名队员的身高（单位： $cm$ ）分别是：185，185，188，189，193．现增加两名身高是186、190的预备队员，与增加前相比，下列统计量受影响的是（）

A、平均数 B、众数 C、方差 D、中位数

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13、在2026年央视春晚的机器人表演方阵中，舞台被划分为正方形网格．若以舞台中心某点为原点建立平面直角坐标系，已知代表“科技”字样的机器人 $A$ 位于 $(- 1, 0)$ ，代表“未来”字样的机器人 $B$ 位于 $(1, 1)$ ．若代表“强国有我”的机器人 $C$ 位于如图所示位置，则它的坐标是（）

A、 $(3, 3)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(4, 3)$ D、 $(4, 5)$

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14、光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若 $∠ 1 = 50 °$ ， $∠ 2 = 113 °$ ．则 $∠ 4 - ∠ 3$ 的度数为（）

A、 $63 °$ B、 $67 °$ C、 $17 °$ D、 $13 °$

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15、下列各式计算正确的是（）

A、 $a^{2} + 3 a^{2} = 4 a^{4}$ B、 $a^{2} b - a b^{2} = 0$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$

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16、4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点约439000米，将439000用科学记数法表示为（）

A、 $0.439 \times 10^{6}$ B、 $4.39 \times 10^{5}$ C、 $4.39 \times 10^{6}$ D、 $439 \times 10^{3}$

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17、汉字是世界上最古老的文字之一，已有六千多年的历史，是上古时期各大文字体系中唯一的传承者．下列汉字中，可以近似看成轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、下列四个数中，最小的数是（）

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、6

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19、【问题情境】如图，在平面直角坐标系中，点 $A (0, m)$ ， $B (n, 0)$ ，且 ${(m - n)}^{2} + {(n - 2)}^{2} = 0$ ，连接AB，点P、点Q是x轴上的动点，且 $O P = B Q$ ．连接AQ，过O点作 $O D ⊥ A Q$ 于点E，交直线AB于点D，连接DP，试问在运动过程中， $∠ B P D$ 与 $∠ A Q O$ 是否存在某种特定的数量关系．

(1)、直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为_______；

(2)、【深入探究】如图1，当点P、点Q在线段OB上，且P点在Q点的左侧时．
①求证： $∠ D O B = ∠ Q A O$ ；
②试猜想 $∠ B P D$ 与 $∠ A Q O$ 的数量关系，并说明理由．

(3)、【拓展应用】当点P在B点右侧，点Q在x轴负半轴上运动时，若 $∠ A Q O = α$ ，用 $α$ 表示 $∠ B P D =$ _______．（不需证明）

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20、定义，在平面直角坐标系中，对于任意两点 $A (a, b) (a \neq 0, b \neq 0)$ ， $B (m, n)$ ，若点 $T (x, y)$ 满足 $x = \frac{a + m}{a}$ ， $y = \frac{b + n}{b}$ ，那么称点 $T$ 是点A，B的“伴 $A$ 融合点”，例如： $A (- 1, 2)$ ， $B (3, 4)$ ，当点 $T (x, y)$ 满足 $x = \frac{- 1 + 3}{- 1} = - 2$ ， $y = \frac{2 + 4}{2} = 3$ 时，则点 $T (- 2, 3)$ 是点A，B的“伴 $A$ 融合点”．

(1)、已知点 $A (2, - 4)$ ， $B (- 2, 8)$ ，点 $T$ 是点A，B的“伴 $A$ 融合点”，则点 $T$ 的坐标为_____；

(2)、已知点 $Q (a, b)$ 是直线 $y = x$ 上在第一象限内的一动点， $P (m, n)$ 是抛物线 $y = - 2 x^{2}$ 上一动点，点 $T (x, y)$ 是点 $Q$ ， $P$ 的“伴 $Q$ 融合点”，试求出 $T$ 中 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式（表达式中含 $a$ ），并判断所有点 $T (x, y)$ 中是否存在最高点？若存在，求出最高点的坐标；若不存在，说明理由；

(3)、 $M (- 1, y_{1})$ ， $N (a - 1, y_{2})$ 为（2）中 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式所对应的图象上两点，若点 $M$ ， $N$ 之间的图象（包括点 $M$ ， $N$ ）的最高点与最低点纵坐标的差为 $6 a^{2}$ ，求 $a$ 的值．

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