相关试卷

1、体育课上嘉嘉同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似的在作是抛物线的一部分，如图1是嘉嘉连续两次蛙跳的运动示意图，规定嘉嘉距离地面的竖直高度为 $y (m)$ ，距离起跳点的水平距离为 $x (m)$ ，第一个蛙跳的起跳点为原点，并在 $(1, 0.4)$ 达到最高点，在点 $A$ 处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳，路线为抛物钱 $I_{2} : y = a (x - h)^{2} + k (a \neq 0)$ ，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线 $L_{1}$ 相同．

(1)、求嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线 $L_{1}$ 的函数解析式；

(2)、若嘉嘉第二个蛙跳后，在距离第一次蛙跳的起跳点 $2.6 m$ 时，到达最高点．
①求k的值；
②在距离原点 $3 m$ 处，水平放置一个距离地面高度为 $0.12 m$ 的可调节支撑杆，判断嘉嘉在第二个蛙跳中是否会越过可调节支撑杆？并说明理由；

(3)、如图2为提高训练效果，老师指导嘉嘉在可调节坡度的斜坡（近似看作直线 $y = m x (m \neq 0)$ 出进行训练， $P$ 为斜坡与 $L_{1}$ 的交点，在点 $Q$ 处设置可调节支撑杆；且 $P Q ⊥ x$ 轴．当 $\frac{1}{8} \leq m \leq \frac{1}{5}$ ，且抛物线 $L_{2}$ 与抛物线 $L_{1}$ 的顶点的纵坐标恰好相等时，直接写出 $h$ 的取值范围．

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1 ， m)$ ， $B (3 ， n)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 上，设抛物线的对称轴为 $x = t$ ．

(1)、若 $m = n$ ，求t；

(2)、若 $t = 2$ ，写出m ， n ， c的大小关系；

(3)、设点 $E (x_{0} ， m)$ ，（ $x_{0} \neq - 1$ ）在抛物线上，若 $c < m < n$ ，求t的取值范围及 $x_{0}$ 的取值范围．

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3、阅读与思考

观察下列方程系数的特征及其根的特征，解决问题：

方程及其根		方程及其根
方程及其关联方程	方程的根	方程及其关联方程	方程的根
$① 2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$	$x_{1} = \frac{1}{2}$ ， $x_{2} = 1$	$① x^{2} + 2 x - 3 = 0$	$x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 1$
$② 2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$	$x_{1} = - \frac{1}{2}$ ， $x_{2} = - 1$	$② x^{2} - 2 x - 3 = 0$	$x_{1} = 3$ ， $x_{2} = - 1$
$⋯ ⋯$		$⋯ ⋯$

(1)、请描述一元二次方程和关联方程的系数特征及它们根的关系特征．

(2)、方程

x^{2} - 2 x - 4 = 0

和

x^{2} + 2 x - 4 = 0

是不是关联方程？求解两个方程并判断两个方程的根是否符合根的关系特征．

(3)、请以一元二次方程

a x^{2} + b x + c = 0

（

a \neq 0

，

b^{2} - 4 a c \geq 0

）为例证明关联方程根的关系特征．

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4、在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点都在边长均为1个单位长度的正方形网格的格点上．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于原点对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $C_{1}$ 的坐标；

(2)、画出 $△ A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 后的图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出点 $B_{2}$ 的坐标；

(3)、写出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 经过怎样的旋转可直接得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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5、下面是李华用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题．
解一元二次方程： $3 x (3 x - 1) = 1 - 3 x$ ：
解：原方程可以化简为 $3 x (3 x - 1) = - (3 x - 1) . \dots \dots$ 第一步
两边同时除以 $(3 x - 1)$ 得 $3 x = - 1 . \dots \dots$ 第二步
系数化为 $1$ ，得 $x = \frac{1}{3} . \dots \dots$ 第三步
任务：

(1)、李华的解法是不正确的，他从第步开始出现了错误．

(2)、请完成这个方程的正确解题过程．

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6、已知点 $A (0, 3)$ ，点B在直线 $y = 2$ 上运动，把点A绕点B逆时针旋转 $90 °$ ，点A的对应点为点C ，我们发现点C随点B变化而变化．若点C在运动变化过程中始终在抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的上方，设点B的横坐标为m ，则m的取值范围是．

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7、如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△ $A' O B'$ ，若∠AOB=10°，则∠AOB^'的度数.

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8、在中考体育测试中，小刚投出的实心球在空中的运动轨迹如图所示．实心球行进的高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间满足关系式 $y = - \frac{9}{80} (x - 8) (x + 2) (x > 0)$ ，则实心球投出的水平距离 $O A$ 为 $m$ ．

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9、如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b = 0$ 有解，那么系数a ， b的符号关系是．

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10、将抛物线 $y = 2 {(x - 3)}^{2} + 1$ 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线解析式是．

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11、一元二次方程 $\frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} = 1$ 的解是．

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12、某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为 $40 m$ ．如图所示，设矩形一边长为 $x$ $m$ ，另一边长为 $y m$ ，矩形的面积为 $S$ $m^{2}$ 当x在一定范围内变化时， $y$ 和 $S$ 都随 $x$ 的变化而变化，则 $y$ 与 $x$ ， $S$ 与 $x$ 满足的函数关系分别是（　　）

A、一次函数关系，二次函数关系 B、反比例函数关系，二次函数关系 C、一次函数关系，反比例函数关系 D、反比例函数关系，一次函数关系

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13、如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 是抛物线 $y = - (x - h)^{2} + 5$ 上的任意一点，过点 $A$ 作 $A B ∥ x$ 轴交抛物线于点 $B$ ，若 $A B = 4$ ，则点 $B$ 到 $x$ 轴的距离为(　　)

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、如图，在长为62m、宽为42m的长方形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为 $2400 m^{2}$ ，设道路的宽为 $x (m)$ ，则可列方程为（　　）

A、 $(62 - x) (42 - x) = 2400$ B、 $(30 - x) (40 - x) = 600$ C、 $62 \times 42 - 62 x - 42 x = 2400$ D、 $62 x + 42 x = 2400$

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15、下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $a x^{2} - 2 x = 5$ B、 $(x + 2) (x - 3) = 1$ C、 $y = {(x + 1)}^{2} - 3$ D、 $x^{2} - 2 x = x (x + 3) + 1$

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16、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象的对称轴是直线 $x = 1$ ，则以下四个结论：① $2 a + b = 0$ ， ② $a + c > b$ ， ③ $4 a c - 4 a < b^{2}$ ， ④ $3 a + c < 0$ 中，正确的有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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17、如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转角 $α (0 ° < α < 180 °)$ 得到 $△ A D E$ ，点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $B C$ 边上，若 $D E ⊥ A C, ∠ C A D = 25 °$ ，则旋转角 $α$ 的度数是（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $70 °$

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18、若点 $(- 1, y_{1})$ ， $(2, y_{2})$ ， $(4, y_{3})$ 都在二次函数 $y = 2 x^{2}$ 的图象上，则（）

A、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ B、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ C、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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19、当关于 $x$ 的二次函数 $y = (a - 1) x^{2} + a^{2} + 4 a$ 的最大值为 $5$ 时， $a$ 的值为(　　)

A、 $- 1$ B、 $- 5$ C、 $- 1$ 或 $- 5$ D、 $- 1$ 或 $- 2$

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20、已知点 $A (a, 2)$ 与点 $B (3, b)$ 关于原点对称，则 $a + b$ 的值为（　　）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- 5$ D、5

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