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1、定义：a是不为1的有理数，我们把 $\frac{1}{1 - a}$ 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 $\frac{1}{1 - 2} = - 1$ ， $- 1$ 的差倒数是 $\frac{1}{1 - (- 1)} = \frac{1}{2}$ ，已知 $a_{1} = - \frac{1}{2}$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 的差倒数， $a_{3}$ 是 $a_{2}$ 的差倒数， $a_{4}$ 是 $a_{3}$ 的差倒数，…，以此类推，则 $a_{2025} =$ ．

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2、比较大小： $- \frac{4}{9}$ $- \frac{5}{9}$ （填“ $<$ ”，“ $=$ ”或“ $>$ ”）．

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3、求 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{2025}$ 的值，可令 $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{2025}$ ，则 $2 S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{2025} + 2^{2026}$ ，因此 $2 S - S = 2^{2026} - 1$ ， $S = 2^{2026} - 1$ ．参照以上推理，计算 $4 + 4^{2} + 4^{3} + \dots + 4^{2024} + 4^{2025}$ 的值为（　　）

A、 $4^{2026} - 1$ B、 $4^{2026} - 4$ C、 $\frac{4^{2026} - 4}{3}$ D、 $\frac{4^{2026} - 1}{3}$

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4、现定义新运算“※”对任意有理数a、b，规定 $a ※ b = (a + b) (a - b)$ ，例如： $1 ※ 2 = (1 + 2) (1 - 2) = - 3$ ，则计算 $3 ※ [(- 1) ※ 2] =$ （　　）

A、 $- 6$ B、 $- 9$ C、0 D、18

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5、下列运算正确的是（　　）

A、 $- 2^{2} \div {(- 2)}^{2} = 1$ B、 ${(- 2 \frac{1}{3})}^{3} = - 8 \frac{1}{27}$ C、 $- 5 \div \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = - 25$ D、 $- 5 - 7 = - 12$

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6、若有理数 $a > 0, b < 0$ ，则 $\frac{a}{| a |} + \frac{b}{| b |}$ 的值为（　　）

A、 $- 1$ B、0 C、2 D、1

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7、下列说法不正确的是（　　）

A、一个数的相反数一定是正数 B、0是绝对值最小的有理数 C、一个有理数不是整数就是分数 D、 $- 1$ 的绝对值是1

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8、已知a是最大的负整数，b是最小的正整数，则 $a - b =$ （　　）

A、0 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 1$

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9、如图，正方形 $A B C D$ 中，点E在边 $A D$ 上（不与端点A，D重合），点A关于直线 $B E$ 的对称点为点F，连接 $C F$ ，设 $∠ A B E = α$ ．

(1)、求 $∠ B C F$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）；

(2)、将 $△ A B E$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ C B H$ ，点E的对应点为点H，画出旋转后的 $△ C B H$ ；

(3)、在（2）的条件下连接 $B F$ ， $H F$ ．当E为 $A D$ 的中点时，判断 $△ B F H$ 的形状，并说明理由．

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10、数学活动探究
【主题】三角点阵前n行的点数计算
【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，……，如果要用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n行的点数总和是 $1 + 2 + 3 + \dots + (n - 2) + (n - 1) + n$ ，于是得到 $1 + 2 + 3 + \dots + (n - 2) + (n - 1) + n = \frac{1}{2} n (n + 1)$ ．
这就是说，三角点阵中前n行的点数总和是 $\frac{1}{2} n (n + 1)$ ．
【实践探索】请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n行的点数和能是 $55$ 吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理．
【拓展探索】
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…， $2 n$ ， …，请探究出前n行的点数总和满足的规律．
（3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是 $120$ 吗？如果能，求出n；如果不能，请说明道理．

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11、如图，已知矩形 $A B C D$ 的周长为 $36cm$ ，矩形绕它的一条边 $C D$ 旋转形成一个圆柱．设矩形的一边 $A B$ 的长为 $x cm (x > 0)$ ，旋转形成的圆柱的侧面积为 $S {cm}^{2}$ ．

(1)、求S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；

(2)、求当x取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大．

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12、已知关于x的方程 $a x^{2} - (2 a + 1) x + a - 2 = 0$ （a为实数）

(1)、若方程有两个实数根，求a的取值范围；

(2)、若 $x = 2$ 是方程的一个根，抛物线 $y = a x^{2} - (2 a + 1) x + a - 2$ 与x轴交于A、B两点，结合图形（画草图），写出 $y > 0$ 时自变量x的取值范围；

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13、已知二次函数 $y = - x^{2} + 4 x$ ，求出该函数图象的顶点坐标和对称轴．

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14、解一元二次方程： $x^{2} - 2 x = 3$ ．

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15、如图，在平面直角坐标系中，点 $P$ 在第一象限， $⊙ P$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴都相切，且经过矩形 $A O B C$ 的顶点 $C$ ．与 $B C$ 相交于点 $D$ ，若 $⊙ P$ 的半径为 $3$ ，点 $B$ 的坐标是 $(5, 0)$ ，则点 $D$ 的坐标是．

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16、若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0 (a \neq 0)$ 的一个解是 $x = 1$ ，则 $2025 - a - b$ 的值是．

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17、如图， $A B$ 是半圆O的直径，点C、D在半圆O上，若 $∠ B D C = 130 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数为．

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18、将抛物线 $y = - {(x - 1)}^{2} - 4$ 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到的抛物线的解析式为．

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19、在平面直角坐标系中，点 $A (- 3, 4)$ 关于原点对称的点的坐标为．

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20、已知点 $M (x + 2, 2 x - 5)$ 关于原点对称的点在第二象限，则x的取值范围是（）

A、 $x > - 2$ B、 $- 2 < x < \frac{5}{2}$ C、 $x < \frac{5}{2}$ D、 $x < - 2$

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