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1、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别是 $A (2, - 1)$ ， $B (1, - 2)$ ， $C (3, - 3)$ ，直线 $l$ （直线 $l$ 上各点的纵坐标都为1）．

(1)、请在图中画出与 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并直接写出点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标；

(2)、在（1）的条件下，画出与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 关于直线 $l$ 对称的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、点 $P (2, - 2)$ 在 $△ A B C$ 的内部，经过（1）和（2）两次变化后，点 $P$ 在 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 中对应点 $P_{2}$ 的坐标是______．

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2、如图，在每个小正方形的边长为 $1$ 的网格中，每个小正方形的顶点叫格点． $△ A B C$ 的顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均为格点，点 $M$ 为 $A B$ 边上任一点．

(1)、 $△ A B C$ 的面积=；

(2)、若点 $N$ 在边 $B C$ 上，且满足 $B M = B N$ ．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 $N$ ，并简要说明点 $N$ 的位置是如何找到的（不要求证明）．

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3、如图， $∠ C = 90 °$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B = 5$ ， $C D = 11$ ， $∠ E A C = 30 °$ ，点 $E$ 是 $B D$ 的中点．则 $A E$ 的长为．

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4、如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，点 $E$ 为 $A C$ 边上一点，连接 $D E$ ， $D E = A E$ ，若 $∠ B = 54 °$ ，则 $∠ A D E$ 的大小为度．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 100 °$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3= ∠ 4$ ．则图中 $x$ 的值为．

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6、若点 $P (2, y)$ 与 $Q (x, 3)$ 关于 $x$ 轴对称，则 $x + y =$ ．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 40 °$ ， $A B = A C$ ， $B D ⊥ A C$ ，垂足为点 $D$ ．若 $M$ ， $N$ 分别是线段 $B D$ ， $B C$ 上的动点，且 $B M = C N$ ，当 $A M + A N$ 最小时， $∠ M A D$ 的大小为（）

A、 $10 °$ B、 $12 °$ C、 $14 °$ D、 $16 °$

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8、如图， $△ A B C$ 是等边三角形，点D，E分别在边 $A B ， B C$ 上，添加下列条件后不能判定 $△ A C E$ 与 $△ C B D$ 全等的是（）

A、 $A D = B E$ B、 $∠ A D C = ∠ A E B$ C、 $∠ C A E = ∠ B C D$ D、 $C D = A E$

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9、如图， $∠ M O N = 80 °$ ，点 $A$ 在射线 $O M$ 上，以点 $O$ 为圆心， $O A$ 长为半径画弧，交射线 $O N$ 于点 $B$ ．若分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，两弧在 $∠ M O N$ 内部交于点 $C$ ，连接 $A C$ ，则 $∠ O A C$ 的大小为（）

A、 $95 °$ B、 $100 °$ C、 $105 °$ D、 $110 °$

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10、如图是一块面积为42的三角形纸板，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别是线段 $A F$ ， $B D$ ， $C E$ 的中点，则阴影部分（ $△ D E F$ ）的面积为（）

A、 $\frac{14}{3}$ B、 $\frac{21}{4}$ C、6 D、7

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11、在探究证明“三角形的内角和是 $180 °$ ”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是 $180 °$ ”的是

A、如图①所示，过点 $C$ 作 $E F ∥ A B$ B、如图②所示，过点 $B$ 作 $B G ∥ A C$ C、如图③所示，过点 $C$ 作 $C D ⊥ A B$ 、垂足为点 $D$ D、如图④所示，过 $A B$ 边上点 $P$ 作 $P M ∥ C B$ ， $P N ∥ A C$

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12、如图，已知 $△ A B C ≌ △ D C B$ ， $∠ A = 84 °$ ， $∠ 1 = 28 °$ ，则 $∠ 2$ 的大小是（）

A、 $38 °$ B、 $40 °$ C、 $42 °$ D、 $44 °$

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13、将两把直尺如图放置，若 $∠ 2 = 125 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数等于（）

A、 $130 °$ B、 $135 °$ C、 $140 °$ D、 $145 °$

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14、如图， $A C ⊥ B C$ ， $A D ⊥ B D$ ，垂足分别为点 $C$ ， $D$ ， $A C = A D$ ，若 $B C = 3$ ，则 $B D$ 的大小为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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15、若三角形的三边长分别为2，7， $a$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $5 \leq a \leq 9$ B、 $6 \leq a \leq 10$ C、 $6 < a < 10$ D、 $5 < a < 9$

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16、在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、石室联合中学初一年级开设了丰富多彩的博雅课程，小石同学在“数学实验与探究”课上借助两根木棒 $P Q 、 M N$ 研究数轴上的动点问题：如图，数轴上有A，B，C三个点分别表示有理数 $- 24$ ， $- 10$ 和12．小石把两根木棒放在数轴上，使点Q与点A重合，点N与点B重合，点P在点Q的左边，点M在点N的左边，且 $P Q = 2 ， M N = 6$ ，木棒 $M N$ 从点B开始以每秒1个单位的速度向右匀速运动；同时，木棒 $P Q$ 从点A开始以每秒3个单位的速度向右匀速运动，当点Q运动到C时，木棒 $P Q$ 立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点P在点Q的左边），当点Q再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，设运动时间为t秒．

(1)、当 $t = 4$ 时，点N表示的数为，点P表示的数为；

(2)、在整个运动的过程中，当线段 $P M$ 和线段 $Q N$ 的长度之和为12时，求出对应的t的值；

(3)、点D为木棒 $P Q$ 上一点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值？若存在，请求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由．

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18、已知关于x的分式方程： $\frac{3}{2} - \frac{1}{3 x - 1} = \frac{m}{6 x - 2}$ ．

(1)、当 $m = 4$ 时，解该分式方程；

(2)、若该分式方程无解，求m的值．

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19、如图， $A B$ 与 $C D$ 交于点O，已知 $△ A O D ≌ △ C O B, ∠ A = 40 °, ∠ D = 25 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $30 °$ C、 $35 °$ D、 $40 °$

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20、给出如下定义：在平面内，对于线段 $A B$ ，若点C满足， $C A = C B$ ，称C是线段 $A B$ 的“美好点”；特别地，若满足 $∠ A C B = 90 °$ ，称C是线段 $A B$ 的“黄金美好点”．

(1)、如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = \frac{1}{3} x$ ， P是直线 $y = \frac{1}{3} x$ 上一点，已知点 $A (5 ， 0)$ ；
①若P的横坐标为9，则点A ▲ （填写“是”或“不是”）线段 $O P$ 的“美好点”；
②若P是线段 $O A$ 的美好点，求P的坐标；

(2)、如图2，若直线 $y = - x + t$ 与x轴相交于点B，与直线 $y = \frac{1}{3} x$ 相交于点C，将 $△ O B C$ 沿直线 $B C$ 翻折到 $△ D B C$ ，若平面直角坐标系上一点 $M (m ， 1)$ ，满足M是线段 $B D$ 的“黄金美好点”，求 $△ M B D$ 的面积；

(3)、如图3，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = \frac{1}{3} x$ ， P是直线 $y = \frac{1}{3} x$ 上一点， $A (5 ， 0)$ ， N是平面直角坐标系上一点，若点N是线段 $O P$ 的“黄金美好点”，且N是线段 $O A$ 的“美好点”，求满足条件的N的坐标．

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