相关试卷

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”（如图1）进行研究．

定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形．

（1）在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有______（填序号）；

①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．

性质探究

（2）如图2，若E，F，G，H分别是等角线四边形$ABCD$四条边$AB$ ， $BC$ ， $CD$ ， $DA$的中点，此时以E，F，G，H为顶点的四边形称为它的中点四边形，当$AC\perp BD$时，请判断中点四边形$EFGH$的形状并说明理由；

（3）如图3，在$△ABC$中，$AB=13,BC=11,CA=8$ ， D为$△ABC$外一点，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以A，B，C，D为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积．

问题提出：如图1，在$△ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$ ， 交$BC$于点D，且$\angle ACB=2\angle B$ ， 则$AB$ ， $CD$ ， $AC$之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

方法运用：

（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长$AC$至点E，使得$AE=AB$ ， 连接$DE$ ， ……，请判断$AB$ ， $CD$ ， $AC$之间的数量关系并补充完整解题过程．

（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在$AB$上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段$AB$上截取$AF$ ， 使得$AF=$①________，连接②________．请补全空格，并在图3中画出辅助线．

延伸探究：

（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形$ABCDE$中，$EA=ED$ ， $AB+DC=BC$ ， $\angle A+\angle D=180°$ ， 若$\angle BCD=140°$ ， 求$\angle BCE$的度数．

折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．

实践操作：如图1，将平行四边形$ABCD$沿对角线$AC$翻折，使点$D$落在平行四边形$ABCD$所在平面内，$BC$和$AE$相交于点$F$ ， 连接$BE$ ．

解决问题：

【特例分析】

（1）当$m=-2$ ， $-1$ ， 2时，其图象对应为图中的$y_1$ ， $y_2$ ， $y_3$ ， 观察图象：发现二次函数$y=m{x}^2-2mx+3$恒过两个定点分别为______，______，对称轴为______；

【性质运用】

（2）将函数$y=m{x}^2-2mx+3$图象向下平移$4\left|m\right|$个单位，若所得图象的顶点落在$x$轴上，求$m$的值；

（3）已知点$P\left(\frac{1}{2},6-m\right)$ ， $Q\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ ， 线段$PQ$与此函数图象有且只有一个公共点$m$的取值范围为______．

【概念理解】

（1）如图①，若入射角$\alpha$的度数为$60°$ ， 折射率$n=\sqrt{3}$ ， 求折射角$\beta$的度数．

（2）如图②，直线$l$是真空与某种介质的分界线，折射率$n=2$ ， $PA$是入射光线，点$A$是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线$AQ$ ． （保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

【深入思考】

（3）如图③，直线$l$是真空与某种介质的分界线，折射率$n=\frac{4}{3}$ ， 直线$l$上有一个位置固定的遮光板$AB$ ， 且$M$是$AB$的中点；在直线$l$下方有一个圆形区域$\odot O$ ， 且$\odot O$与$AB$相切于点$M$ ． 点光源$P$在直线$l$的上方，经过遮光板$AB$的遮挡，使得折射光线不能进入$\odot O$的内部，已知$\odot O$的半径为$\sqrt{3}$ ， $AB=2$ ． （假设入射光线在端点$A$ ， $B$处能够发生折射），求点光源$P$到直线$l$的距离的最大值．

【数据采集】：如图，点$A$ 是桥塔顶部一点，$AB$ 即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点$C$处时，测得桥塔顶部$A$ 处的俯角 $\angle DCA=37°$ ， 底部$B$处的俯角 $\angle DCB=59°$ ， 沿水平方向由点 $C$ 飞行$56$米到达点 $D$处，在$D$ 处测得$A$ 处的俯角． $\angle D=45°$ ， 已知图中各点均在同一竖直平面内；

【数据应用】：

（1）请根据以上数据求桥塔$AB$ 的高度(结果精确到1米．参考数据： $\text{sin}{59}^{\circ }\approx 0.86\mathrm{，}\text{cos}{59}^{\circ }\approx 0.52\mathrm{，}\text{tan}{59}^{\circ }\approx 1.66\mathrm{，}\text{sin}37\approx 0.60\mathrm{，}\text{cos}{37}^{\circ }\approx 0.80\mathrm{，}\text{tan}{37}^{\circ }\approx 0.75$)；

【方案反思】：

（2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点$C$到水平地面$EF$的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案($37°\mathrm{，}59°$ ， $56$米， $45°$）中至多可以删减的数据为             ．

【问题情境】：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下（忽略空气阻力），物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度y与距投放点的水平距离x之间的函数表达式为$y=h-\frac{5}{v^2}{x}^2$ ． 其中，h表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离（单位：米），v表示投放物资时无人机的水平初速度（单位：米/秒）．

【实践探究】：如图，1号无人机在空中以$v_1=20$米/秒的速度向平坦地面投放物资A，2号无人机在1号无人机竖直上方100米处以$v_2=10$米/秒的速度，投放物资B，已知1号，2号无人机及物资A，B的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系，物资A的运动路径即为抛物线$y_1$ ， 物资B的运动路径即为抛物线$y_2$ ．

【问题解决】：

问题探究：