相关试卷

1、如图，在平面直角坐标系中， $A (- 1, 4)$ ， $B (- 3, 3)$ ， $C (- 2, 1)$ ．

(1)、求出 $△ A B C$ 的面积．

(2)、作 $△ A B C$ 关于x轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(3)、在y轴上找一点P，使得 $P A + P C$ 的值最小，请在图中作出点P（保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标．

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2、按要求完成下列各题：

(1)、计算： $- 1^{2026} - 2^{- 3} \times 8 + {(π - 3.14)}^{0} - |- 1|$ ；

(2)、先化简代数式 $\frac{a^{2} - 2 a + 1}{a^{2} - 1} \div (1 - \frac{3}{a + 1})$ ，再选择一个你喜欢的a的值代入求值．

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3、如图，P为等边三角形 $A B C$ 外一点，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ．已知 $P A = 5$ ， $P C = 3$ ， O为 $P B$ 的中点，则 $O B$ 的最大值为．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中，点O为三角形的重心，D为 $O C$ 中点，若 $△ A B C$ 的面积为24，则 $△ B O D$ 的面积是．

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5、两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母a；乙同学：当 $a = 3$ 时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式．

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6、我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约 $0 .0000000004m$ ，其中 $0 .0000000004m$ 用科学记数法表示为．

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7、如图，已知：∠MON＝30°，点A₁ ， A₂ ， A₃……在射线ON上，点B₁ ， B₂ ， B₃……在射线OM上，△A₁B₁A₂ ， △A₂B₂A₃ ， △A₃B₃A₄……均为等边三角形，若OA₁＝1，则△A₇B₇A₈的边长为（　　）

A、64 B、32 C、16 D、128

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，以点 $B$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $B A$ ， $B C$ 于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，作射线 $B P$ 交 $A C$ 于点D．则下列结论错误的是（）

A、 $B P$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线 B、 $A D = B D$ C、 $S_{△ C B D} : S_{△ A B D} = 1 : 3$ D、 $\frac{C D}{A B} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

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9、王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： $x - 1, a - b, 3, x^{2} - 1, a, x + 1$ 分别对应六个字：北，爱，我，数，学，河，现将 $3 a (x^{2} - 1) - 3 b (x^{2} - 1)$ 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A、我爱数学 B、爱河北 C、河北数学 D、我爱河北

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10、在探究证明“三角形的内角和等于 $180 °$ ”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于 $180 °$ ”的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、若把分式 $\frac{a}{2 a - b}$ 中的a，b都扩大到原来的2倍，那么分式的值（）

A、扩大为原来的4倍 B、扩大为原来的2倍 C、不变 D、缩小到原来的 $\frac{1}{2}$

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12、等腰三角形的两内角的度数之比为 $1 : 4$ ，则这个等腰三角形顶角的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $120 °$ C、 $20 °$ 或 $120 °$ D、 $80 °$ 或 $120 °$

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13、如图， $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 是 $△ A B C$ 的两个外角，若 $∠ B A C = 39 °$ ，则 $∠ 1 + ∠ 2 =$ （）

A、 $118 °$ B、 $219 °$ C、 $198 °$ D、 $188 °$

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14、如图，为估计沙堆两侧点A，B间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点C，测得 $A C = 4 m$ ， $B C = 7 m$ ，那么点A，B两点之间的距离可能是（）

A、 $3 m$ B、 $8 m$ C、 $11 m$ D、 $12 m$

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15、【综合与实践】
【猜想】（1）如图①， $∠ E O F$ 的顶点O在正方形 $A D B C$ 两条对角线的交点处， $∠ E O F = 90 °$ ，将 $∠ E O F$ 绕点O旋转，旋转过程中， $∠ E O F$ 的两边分别与正方形 $A D B C$ 的边 $B C$ 和 $C A$ 交于点E和点F（点F与点C、A不重合），则 $O E$ 与 $O F$ 之间满足的数量关系是______；
【问题情境】在数学活动课上，老师提出了一个问题：如图，在等腰 $△ A C B$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， O是 $A B$ 的中点，E是直线 $B C$ 上的一个动点，过点O作 $O F ⊥ O E$ ，交直线 $A C$ 于点F．
【证明猜想】（2）如图②，当点E在线段 $C B$ 上时，请判断线段 $O E, O F$ 的数量关系，并说明理由；
【类比探究】（3）如图③，当点E在线段 $C B$ 的延长线上时，（2）中的结论是否依然成立？请说明理由．

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16、综合与实践
特例感知：
（1）如图，已知线段 $A B = 14 cm$ ，点C为线段 $A B$ 上的一个动点，点D，E分别是 $A C$ 和 $B C$ 的中点．若 $A C = 4 cm$ ，则线段 $D E =$            $cm$ ；
知识迁移：
（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图①，若 $∠ A O B = 120 °$ ， $O C$ 是 $∠ A O B$ 内部的一条射线，射线 $O M$ 平分 $∠ A O C$ ，射线 $O N$ 平分 $∠ B O C$ ，求 $∠ M O N$ 的度数．
拓展探究：
（3）已知 $∠ C O D$ 在 $∠ A O B$ 内部的位置如图②所示， $∠ A O B = α °$ $(α < 180)$ ， $∠ C O D = 30 °$ ，且 $∠ D O M = 2 ∠ A O M$ ， $∠ C O N = 2 ∠ B O N$ ，请直接写出 $∠ M O N =$            $°$ ．（用含α的式子表示）
综合提升：
（4）如图③所示，若 $∠ A O B = 120 °$ ， $∠ C O D = 60 °$ ，射线 $O E$ 、 $O F$ 分别在 $∠ A O C$ 和 $∠ B O D$ 的内部．且 $∠ E O C = \frac{1}{3} ∠ A O C$ ， $∠ D O F = \frac{1}{3} ∠ B O D$ ，请直接写出 $∠ E O F =$            $°$ ．

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17、如图，小明探究北师大教材综合实践“制作视力表”的相关内容：当测试距离为 $5 m$ 时，标准视力表中最大的“”字高度为 $72.7 mm$ ，当测试距离为 $3 m$ 时，最大的“”字高度为 $mm$ ．

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18、书是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本《数学杂谈》如图1，该书的长为 $23 cm$ ，宽为 $16 cm$ ，厚度为 $2 cm$ ，小华用一张长方形纸（如图2所示）包好了这本书，在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度，设用该包书纸包这本书时折进去的宽度为 $a cm$ ．

(1)、该包书纸的长为______ $cm$ ；宽为______ $cm$ ；（用含 $a$ 的代数式表示）

(2)、当 $a = 1$ 时，求该包书纸的面积（不含阴影部分）．

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19、如图，木匠师傅经过刨平的木板上的 $A$ ， $B$ 两点，可以弹出一条笔直的墨线，请你解释这一实际应用的数学基本事实是．

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20、材料一：如图1，由画函数 $y = - 6 x$ 与 $y = - 6 x + 5$ 的图象可知，直线 $y = - 6 x + 5$ 可以由直线 $y = - 6 x$ 向上平移5个单位长度得到．由此我们得到正确的结论一：在直线 $l_{1}$ ： $y = k_{1} x + b_{1}$ 与直线 $l_{2}$ ： $y = k_{2} x + b_{2}$ 中，如果 $k_{1} = k_{2}$ 且 $b_{1} \neq b_{2}$ ，那么 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，反过来，也成立．
材料二：如图2，由画函数 $y = 2 x - 1$ 与 $y = - 0.5 x + 1$ 的图象可知，利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的．由此我们得到正确的结论二：在直线 $l_{1}$ ： $y = k_{1} x + b_{1}$ 与 $l_{2}$ ： $y = k_{2} x + b_{2}$ 中，如果 $k_{1} \cdot k_{2} = - 1$ ，那么 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，反过来，也成立．
应用举例：已知直线 $y = - \frac{1}{6} x + 5$ 与直线 $y = k x + 2$ 互相垂直，则 $- \frac{1}{6} k = - 1$ ，所以 $k = 6$ ．
解决问题：

(1)、请写出一条直线解析式，使它与直线 $y = x - 3$ 平行．

(2)、如图3，点A坐标为 $(- 1, 0)$ ，点P是直线 $y = - 3 x + 2$ 上一动点，当点P运动到何位置时，线段 $P A$ 的长度最小？画出图形，并求出此时点P的坐标．

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