相关试卷

1、计算： ${(- a^{3})}^{2} =$ ．

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2、某数学实践小组的同学把测量某塔

M N

作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方案和数据如表：

课题

测量某塔 $M N$ 的高度

测量工具

皮尺、标杆、测角仪等

测量方案示意图

说明

如图，在A处放置一个测角仪，调整测角仪的高度，当测角仪的高度 $A B$ 为 $1 m$ 时，恰好测得点M的仰角为 $54 ． 5 °$ ；某一时刻，塔 $M N$ 在阳光下的影子为 $D N$ ，来回调整标杆 $C E$ 的位置，当标杆移动到C处时，标杆影子的顶端与塔影子的顶端恰好重合于点D，此时测得 $A C = 20$ m， $C D = 5 m$ ．已知标杆 $C E$ 的高度为 $4m$ ， $M N ⊥ D N$ ， $A B ⊥ D N$ ， $C E ⊥ D N$ ，点D，C，A，N在一条直线上．

请根据上述方案及其数据求出这个塔 $M N$ 的高度．（结果精确到 $1m$ ；参考数据： $\sin 54.5 ° \approx 0.81$ ， $\cos 54.5 ° \approx 0.58$ ， $\tan 54.5 ° \approx 1.40$ ）

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3、综合与实践
八年级下册课本第64页中的“数学活动”——折纸引起了许多同学的兴趣．于是，数学活动课上，数学老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作发现】
如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $M$ 在边 $A D$ 上，将矩形纸片 $A B C D$ 沿 $M C$ 折叠，使点 $D$ 落在点 $D^{'}$ 处， $M D^{'}$ 与 $B C$ 交于点 $N$ ．根据以上操作，易得 $∠ C M D = ∠ C M D^{'}$ ，再结合矩形的性质，可得 $∠ C M D = ∠ M C N$ ，进而得到 $M N = C N$ ．
【初步应用】
如图2，继续将矩形纸片 $A B C D$ 折叠，使 $A M$ 恰好落在直线 $M D^{'}$ 上，点 $A$ 落在点 $A^{'}$ 处，点 $B$ 落在点 $B^{'}$ 处，折痕为 $M E$ ．
（1）求证： $E C = 2 M N$ ．
（2）若 $C D = 2$ ， $M D = 4$ ，求 $E C$ 的长．
【迁移探究】
如图3，将矩形纸片换成正方形纸片，按照如下步骤操作：
步骤一：对折正方形纸片 $A B C D$ ，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把纸片展平．
步骤二：在 $A D$ 上选一点 $P$ ，沿 $B P$ 折叠，使点 $A$ 落在正方形内部的点 $M$ 处，把纸片展平，连接 $P M$ ， $B M$ ，延长 $P M$ 交 $C D$ 于点 $Q$ ，连接 $B Q$ ．
（3）若正方形纸片 $A B C D$ 的边长为 $8 cm$ ， $F Q = 1 cm$ ，直接写出 $A P$ 的长．

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4、2024年12月4日，中国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”，被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.2025年蛇年春节是春节“申遗”成功后的第一个春节，某中学为了提高学生对“非遗文化”的了解，组织七、八年级学生开展了一次“非遗文化”知识竞赛，并从中各抽取25名学生的竞赛成绩（竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分分别记为10分、9分、8分、7分）进行整理分析，并绘制统计图、表如下：
年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
8.76
a
9
1.06
八年级
8.76
8
b
1.38

(1)、根据以上信息，直接写出： $a =$ ______， $b =$ ______．把七年级竞赛成绩的条形统计图补充完整．

(2)、请你分析在这两个年级中，成绩更稳定的是哪个年级，并说明理由．

(3)、若该校七年级有学生500人参加本次知识竞赛，八年级有学生450人参加本次知识竞赛，且规定不低于9分的成绩为优秀，请你估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中，成绩为优秀的学生共有多少人．

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5、如图，某校劳动实践基地用总长为 $80 m$ 的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为 $42 m$ ．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位： $m^{2}$ ）．

(1)、直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（写x的取值范围）；

(2)、矩形实验田的面积S能达到 $750 m^{2}$ 吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由；

(3)、当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？

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6、如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 6 cm ， B C = 4 cm$ ，点P从点A出发，以每秒 $4 cm$ 的速度沿折线 $A B - B C$ 运动，同时点Q从点C出发，以每秒 $1.5 cm$ 的速度沿射线 $C B$ 方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．

(1)、当点P在 $A B$ 上运动时， $B P =$ _____ $cm$ ．（用含t的代数式表示）

(2)、当点P在 $B C$ 上运动时， $B P =$ _____ $cm$ （用含t的代数式表示）；当点P运动到 $B C$ 的中点时，求线段 $B Q$ 的长；

(3)、当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值．

(4)、当点P在 $B C$ 上运动时，连接 $A P 、 A Q$ ．直接写出 $△ A P Q$ 的面积是 ${3cm}^{2}$ 时t的值．

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7、（1）【探究发现】
如图1，在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是内角 $∠ A B C$ 和外角 $∠ A C D$ 的角平分线的交点，试猜想 $∠ P$ 与 $∠ A$ 之间的数量关系，并证明你的猜想．
【迁移拓展】
（2）如图2，在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是内角 $∠ A B C$ 和外角 $∠ A C D$ 的 $n$ 等分线的交点，即 $∠ P B C = \frac{1}{n} ∠ A B C$ ， $∠ P C D = \frac{1}{n} ∠ A C D$ ，试猜想 $∠ P$ 与 $∠ A$ 之间的数量关系，并证明你的猜想．
【应用创新】
（3）已知，如图3， $A D 、 B E$ 相交于点C， $∠ A B C$ 、 $∠ C D E$ 、 $∠ A C E$ 的角平分线交于点P， $∠ A = 35 °$ ， $∠ E = 25 °$ ，则 $∠ B P D =$ ．

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8、已知关于 $x, y$ 的方程 $(2 m - 6) x^{n + 1} + (n + 2) y^{|m| - 2} = 0$ 是二元一次方程．

(1)、求 $m, n$ 的值；

(2)、若 $y = - 2$ ，求 $x$ 的值．

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9、解不等式组 $\{\begin{matrix} 5 x - 9 \leq 1 \\ \frac{2 x - 1}{3} > x - 2 \end{matrix}$

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10、解二元一次方程组： $\{\begin{matrix} x - y = 3 \\ 3 x - 8 y = 4 \end{matrix}$ ．

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11、如图， $△ A B C$ 中， $B E$ 平分 $∠ A B C ， C E$ 平分 $∠ A C B ， ∠ A = 70 °$ ，则 $∠ B E C =$ ．

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12、如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（　　）

A、96° B、84° C、76° D、72°

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13、解不等式 $\frac{2 x - 1}{3} > 1 - \frac{x - 2}{6}$ ，下列去分母正确的是（　　）

A、 $2 (2 x - 1) > 1 - (x - 2)$ B、 $2 (2 x - 1) < 6 - (x - 2)$ C、 $2 (2 x - 1) > 6 - x - 2$ D、 $2 (2 x - 1) > 6 - (x - 2)$

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14、已知某三角形的三边长分别为3，7， $m$ ，则 $m$ 的值可以是（）

A、1 B、4 C、7 D、10

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15、同学们在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院．同学们分别对两个建筑物的占地面积（图中阴影）进行了数据测量，数据如图所示．
记图1中回字形福建土楼的占地面积为 $S_{1}$ ，图2中山西大院的占地面积为 $S_{2}$ ．
（1）若 $b > a > 0$ ，比较 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的大小： $S_{1}$ $S_{2}$ （填“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ”）；
（2）若 $\frac{S_{2}}{S_{1}} = \frac{9}{10}$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值为．

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16、小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．
①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为 $S_{1}$ ）更大；
②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为 $S_{2}$ ）更大．
【数据采集】
为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示．
【数据应用】

(1)、请分别计算这两个建筑物的占地面积；

(2)、若 $0 < a < b$ ，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ．

(1)、实践操作：利用无刻度直尺和圆规作图（保留作图痕迹）要求：延长 $C B$ 至点 $D$ ，使 $B D = B A$ ，连接 $A D$ ；

(2)、在（1）的条件下，设 $A C = m$ ，求 $tan 15 °$ 的值．

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18、【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如 $x^{2} + x = 1$ ，求 $x^{2} + x + 2024$ 的值，我们将 $x^{2} + x$ 作为一个整体代入，则原式 $= 1 + 2024 = 2025$ ．

(1)、如果代数式 $4 y^{2} - 2 y + 5$ 的值为 $7$ ，那么代数式 $2 y^{2} - y$ 的值为_______．

(2)、如图，若 $a - b = 4$ ，求长方形 $A$ 与 $B$ 的面积差．

(3)、 $A, B$ 两地相距 $150$ 千米，某日，甲从 $A$ 地出发前往 $B$ 地，同时，乙从 $B$ 地出发前往 $A$ 地．已知甲每小时行 $a$ 千米，乙每小时行 $b$ 千米，经过 $3$ 小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距 $20$ 千米的时间．

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19、综合与实践
在初中数学的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验，对下列问题进行研究．
【概念认识】
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，图形 $W$ 上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为 $d$ ．对于点 $P$ 和图形 $W$ 给出如下定义：点 $Q$ 是图形 $W$ 上任意一点，若 $P$ ， $Q$ 两点间的距离有最小值，且最小值恰好为 $d$ ，则称点 $P$ 为图形 $W$ 的“奇妙点”．
【概念理解】
（1）如图1，图形 $W$ 是矩形 $A O B C$ ，其中点 $A$ 的坐标为 $(0, 3)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(4 ， 3)$ ，则 $d =$ ___________，在点 $P_{1} (- 1, 0)$ ， $P_{2} (2, 8)$ ， $P_{3} (3, 1)$ ， $P_{4} (- \sqrt{21}, - 2)$ 中，矩形 $A O B C$ 的“奇妙点”是___________；
【灵活运用】
（2）如图2，图形 $W$ 是中心在原点的正方形 $D E F G$ ，其中 $D$ 点的坐标为 $(1, 1)$ ．若直线 $y = - x + b$ 上存在点 $P$ ，使点 $P$ 为正方形 $D E F G$ 的“奇妙点”．求 $b$ 的取值范围；
（3）已知点 $M (- 1, 0) ， N (0, - \sqrt{3})$ ，图形 $W$ 是以 $T (t ， 0)$ 为圆心，1为半径的 $⊙ T$ ．若线段 $M N$ 上存在点 $P$ ，使点 $P$ 为 $⊙ T$ 的“奇妙点”，直接写出 $t$ 的取值范围．

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20、习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆180人次，若进馆人次的月平均增长率相同，进馆人次的月平均增长率是．

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年级	平均分	中位数	众数	方差
七年级	8.76	a	9	1.06
八年级	8.76	8	b	1.38