相关试卷

1、因式分解：

(1)、 $a^{4} + 64 b^{4};$

(2)、 $x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4} .$

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2、把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作“配方法”。例如，用配方法求x²+6x+11的最小值。
解： x²+6x+11= x²+6x+9+2=(x+3)²+2≥2，
∴x²+6x+11的最小值为2.
请根据上述材料解决下列问题：

(1)、用配方法因式分解： $a^{2} - 12 a + 35;$

(2)、用配方法因式分解： $x^{4} + 4;$

(3)、求 $4 x^{2} + 4 x + 3$ 的最小值.

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3、因式分解：

(1)、 ${(x^{2} + 3 x)}^{2} - 2 (x^{2} + 3 x) - 8;$

(2)、 $(x^{4} - 4 x^{2} + 1) (x^{4} + 3 x^{2} + 1) + 10 x^{4} .$

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4、阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，简化原多项式的结构，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.
例：用换元法因式分解： $(x^{2} - 4 x + 1) (x^{2} - 4 x + 2) - 12 .$
解：设 $x^{2} - 4 x = y ，$
则原式=(y+1)(y+2)-12
$= y^{2} + 3 y - 10$
=(y+5)(y-2)
$= (x^{2} - 4 x + 5) (x^{2} - 4 x - 2)$ .
请你用换元法对多项式 $(x^{2} - 3 x + 2) (x^{2} - 3 x - 5) - 8$ 进行因式分解.

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5、一个等腰三角形的两边长a，b满足 $9 a^{2} - b^{2} = - 13 ， 3 a + b = 13 ，$ 则这个等腰三角形的周长为.

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6、如图，大正方形ABCD和小正方形AEFG的周长和为20，且阴影部分的面积是10，则BE的长为.

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7、若m+n=3，mn=1，则 $m^{3} n + m n^{3} + 2 m^{2} n^{2} =$ .

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8、已知 $a^{2} b = 2 ，$ 则 $- a b (a^{5} b^{2} - a^{3} b - a) =$ .

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9、已知 $x^{2} - 2 y^{2} - 4 = 0 ，$ 则 $- 2 x^{2} + 4 y^{2} - 3 =$ .

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10、阅读材料：
$x^{2} + 2 a x - 3 a^{2}$
$= (x^{2} + 2 a x + a^{2}) - a^{2} - 3 a^{2}$
$= {(x + a)}^{2} - 4 a^{2}$
$= {(x + a)}^{2} - {(2 a)}^{2}$
=(x+3a)(x-a).
像这样因式分解的方法称为“配方法”.
利用“配方法”，解决下列问题：

(1)、因式分解： $a^{2} - 8 a + 15 =$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的三边长是a，b，c，且满足 $a^{2} + b^{2} - 14 a - 8 b + 65 = 0 ，$ C为奇数，求 $△ A B C$ 的周长的最小值.

(3)、当x为何值时，多项式 $- 2 x^{2} - 4 x + 3$ 有最大值?并求出这个最大值.

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11、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如： $4 = 2^{2} - 0^{2}, 12 = 4^{2} - 2^{2}, 20 = 6^{2} - 4^{2},$ 因此4，12，20都是“神秘数”.

(1)、36是“神秘数”吗?为什么?

(2)、设两个连续偶数为2k十2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗?为什么?

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12、已知2⁹⁶-1可被60~70之间的两个整数整除，求这两个整数的和.

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13、简便计算：

(1)、 $1.9 9^{2} + 1.99 \times 0.01;$

(2)、 $202 4^{2} + 2024 - 202 5^{2};$

(3)、 $80 0^{2} - 1600 \times 798 + 79 8^{2};$

(4)、 $\frac{202 0^{2} - 200 1^{2} - 1 9^{2}}{2001 \times 19};$

(5)、 $(1 - \frac{1}{2^{2}}) \times (1 - \frac{1}{3^{2}}) \times (1 - \frac{1}{4^{2}}) \times \dots \times (1 - \frac{1}{9^{2}}) \times (1 - \frac{1}{1 0^{2}}) \times \dots \times (1 - \frac{1}{n^{2}}) .$

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14、如图，在△ABC中，∠C=90°，E，F分别是AC，BC上的点，AE=16，BF=12，P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为.

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15、

(1)、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=13，BC=12，点 D 在边 AB上，AD=AC，AE⊥CD，垂足为E，F是BC的中点，连接EF，则EF的长为.

(2)、如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为( )

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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16、

(1)、如图，在△ABC中，∠BAC=68°，点 D，E，F分别是三边AB，AC，BC的中点，连接DF，EF，则∠DFE=°.

(2)、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=12，BD=8，CD=6，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形 EFGH 的周长为( )

A、14 B、18 C、20 D、22

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17、已知三次四项式 $2 x^{3} - 5 x^{2} - 6 x + k$ 因式分解后有一个因式是x-3，试求k的值及另一个因式.

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18、 1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用待定系数法因式分解.关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明：因式分解： $x^{3} + 2 x^{2} - 3 .$
解：观察可知当x=1时，原式=0，因此原式可分解为(x-1)与另一个整式的积.令 $x^{3} + 2 x^{2} - 3 = (x - 1) (x^{2} + b x + c) ，$
而 $(x - 1) (x^{2} + b x + c) = x^{3} + (b - 1) x^{2} + (c - b) x - c$
∵等式两边x同次幂的系数相等，
$∴ {\begin{matrix} b - 1 = 2 ， \\ c - b = 0 ， \\ - c = - 3 ， \end{matrix}$ 解得 ${\begin{matrix} b = 3 ， \\ c = 3 ， \end{matrix}$
$∴ x^{3} + 2 x^{2} - 3 = (x - 1) (x^{2} + 3 x + 3) .$
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：

(1)、若x+1是多项式 $x^{3} + a x + 1$ 的因式，求a 的值，并将多项式 $x^{3} + a x + 1$ 因式分解；

(2)、若多项式 $3 x^{4} + a x^{3} + b x - 34$ 含有因式x+1及x-2，求a，b的值.

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19、因式分解：

(1)、 $x^{2} + 2 x - 15;$

(2)、(p-4)(p+1)+6；

(3)、 $2 x^{2} - x - 6;$

(4)、 $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x;$

(5)、 ${(m^{2} + 2 m)}^{2} - 7 (m^{2} + 2 m) - 8;$

(6)、 ${(a - b)}^{2} - 4 (a - b - 1) .$

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20、甲、乙两个同学对多项式 $x^{2} + a x + b$ 因式分解时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，则多项式 $x^{2} + a x + b$ 因式分解的正确结果为.

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