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1、【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系．
【应用】（1）如图， $P Q ∥ M N$ ， A，B分别在 $P Q$ ， $M N$ 上， $A C$ 平分 $∠ P A B$ 交 $M N$ 于点C．
①如图1，D为B点右侧的直线 $M N$ 上一点， $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $M N$ 于点E．当 $∠ A D C = 40 °$ ， $∠ A E C = 60 °$ ，求 $∠ B A D$ 和 $∠ P A C$ 的度数；
②如图2，若点D在射线 $C B$ 上运动， $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $M N$ 于点E．过点E作 $E F ⊥ A C$ ，垂足为F，请求出 $∠ A E F$ 与 $∠ A D B$ 的数量关系．
【拓展】（2）如图3， $P Q ∥ M N$ ，连接 $A B$ ，且 $∠ A B N = 40 °$ ，射线 $A C$ 自 $A Q$ 顺时针旋转至 $A P$ 便立即回转，射线 $B D$ 自 $B M$ 顺时针旋转至 $B N$ 便立即回转，两条射线不停交叉．射线 $A C$ 转动的速度是4度/秒，射线 $B D$ 转动的速度是12度/秒，若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，当射线 $A C$ 第一次从 $A Q$ 转至 $A B$ 的过程中， $A C$ 与 $B D$ 互相垂直时，请求出此时t的值．

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2、对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对 $(a, b)$ 与 $(c, d)$ ．我们规定： $(a, b) \otimes (c, d) = a^{2} + d^{2} - b c$ ．例如： $(1, 2) \otimes (3, 4) = 1^{2} + 4^{2} - 2 \times 3 = 11$ ．

(1)、若 $(x, k x) \otimes (2 y, - y)$ 是一个完全平方式，求常数k的值；

(2)、若 $2 x + y = 8$ ，且 $(3 x + y, 2 x^{2} + 3 y^{2}) \otimes (3, x - 3 y) = 48$ ，求 $x y$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，将长方形 $A B C D$ 及长方形 $C E F G$ 按照如图方式放置，其中点E、G分别在边 $C D$ 、 $B C$ 上，连接 $B D$ 、 $B F$ 、 $D F$ 、 $E G .$ 若 $A B = 2 x$ ， $B C = 8 x$ ， $C E = y$ ， $C G = 4 y$ ，求图中阴影部分的面积．

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3、已知a，b，c为 $△ A B C$ 的三条边，

(1)、若 $a = 5$ ， $b = 6$ ， $△ A B C$ 的周长是小于17的奇数，求c的长．

(2)、若 $△ A B C$ 为等腰三角形，且a，b满足 $a^{2} + b^{2} - 4 a - 6 b + 13 = 0$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B D ⊥ A C$ 于点D，点E在 $A B$ 上，连接 $C E$ 交 $B D$ 于点F，若 $B E = B F$ ，过A作 $A H ⊥ C E$ ，交 $C E$ 的延长线于点G，交 $C B$ 的延长线于点H．若 $△ A H C$ 的面积为14，且 $A C + A B = 16$ ，则 $A C - A B$ 的值为．

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5、如图， $P Q ∥ M N$ ， $l ⊥ M N$ ，垂足为 $A$ ， $l$ 交 $P Q$ 于点 $B$ ，点 $C$ 在射线 $A M$ 上．若 $∠ A C B < 60 °$ ，在直线 $P Q$ 上取一点 $D$ ，连接 $C D$ ，过点 $D$ 作 $D E ⊥ C D$ ．交直线 $l$ 于点 $E$ ．若 $∠ B D E = 30 °$ ，则 $∠ A C D =$ ．

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6、从1至中50任意抽取的一个数记为a，则 $3^{a}$ 的末位数字是7的概率是．

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7、若多项式 $(x^{2} + a x - 2)$ 与 $(x + 3 b)$ 的乘积中不含 $x^{2}$ 的项，则 $2^{a + 3 b - 1}$ 的值为．

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8、若 $a^{2} = 2 a + 1$ ，则 ${(a - 1)}^{2} =$ ．

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9、已知 $∠ A O B = 90 °$ ，直线 $C D$ 与 $O A$ 交于点C，与 $O B$ 交于点D，点C，D均不与点O重合， $C E$ 平分 $∠ D C O$ ， $D E$ 平分 $∠ C D O$ ．

(1)、如图1，当 $∠ O C D = 40 °$ 时， $∠ C E D$ 的度数为______；

(2)、如图2，延长 $C E$ 与 $B O$ 交于点F，过E作射线 $E G$ 与 $C D$ 交于点G，且满足 $∠ C F O - ∠ G E D = 45 °$ ，求证： $G E ∥ D O$ ；

(3)、如图3，过点C作 $C M ⊥ C N$ ， $M N$ 是 $∠ C O D$ 的外角平分线所在直线，与射线 $C E$ 交于点N，与 $C M$ 交于点M．在 $△ C M N$ 中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出 $∠ C D E$ 的度数．

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10、如图，已知 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 、 $F$ 在同一条直线上， $A B = D E$ ， $A B ∥ D E$ ， $B E = C F$ ， $A C$ 与 $D E$ 交于点 $G$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ D E F$ ；

(2)、若 $∠ B = 50 °$ ， $∠ F = 70 °$ ，求 $∠ E G C$ 的度数．

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11、在一只不透明的口袋里，装有若干个红球和白球，它们除了颜色不同外其余都相同，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
b
295
480
601
摸到白球的频率 $\frac{m}{n}$
a
0.64
0.58
0.59
0.60
0.601

(1)、上表中的 $a =$ ______， $b =$ ______；

(2)、“摸到白球的”的概率的估值是______（精确到0.1）；

(3)、如果袋中有12个白球，现从袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从袋中摸出一球是红球的概率是 $\frac{3}{4}$ ，问取走了多少个白球？

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12、先化简，再求值： $[{(2 x - 3 y)}^{2} + (x - 3 y) (x + 3 y) - 2 x (x - y)] \div x$ ，其中 $x = 1$ ， $y = - \frac{1}{2}$ ．

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13、计算

(1)、 ${(- 1)}^{2025} - {(π - 3)}^{0} + {(- \frac{1}{3})}^{- 1} - |- 2|$

(2)、 $(2 x - 1) (3 x + 2) - 3 x (x - 1)$

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14、如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线 $A B$ 的两侧，且 $A E ∥ B F$ ， $E C = D F$ ， $∠ A C E = ∠ B D F$ ，若 $A B = 16$ ， $A C = 4$ ，则 $C D$ 的长为．

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15、如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证哪个公式．（请用含a，b的等式表示）

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16、下列计算正确的是（）

A、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{6}$ B、 ${(3 x y)}^{2} = 3 x^{2} y^{2}$ C、 $3 a^{2} + 2 a^{2} = 5 a^{4}$ D、 $6 a^{2} \div 2 a = 3 a$

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17、若 $∠ A = 25 °$ ，则 $∠ A$ 的余角等于（）

A、 $55 °$ B、 $65 °$ C、 $75 °$ D、 $125 °$

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18、清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为 $0.0000084$ 米，则数据 $0.0000084$ 用科学记数法表示为（）

A、 $8.4 \times 10^{6}$ B、 $8.4 \times 10^{- 5}$ C、 $8.4 \times 10^{- 7}$ D、 $8.4 \times 10^{- 6}$

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19、如图 $1$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $D$ ， $E$ 是 $⊙ O$ 上异于 $A$ ， $B$ 的两点， $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线，连接 $O C$ ， $B D$ ， $B E$ ， $C A$ ，延长 $B E$ 与 $C A$ 的延长线交于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $G F ⊥ B F$ 交 $B A$ 的延长线于点 $G$ ， $∠ G F A = ∠ A B E$ ．

(1)、求证：直线 $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、求证： $O C ∥ B D$ ．

(3)、如图 $2$ ，过点 $D$ 作 $D H ⊥ A B$ 于点 $H$ ，连接 $B C$ 交 $H D$ 于点 $M$ ．探究 $\frac{D M}{D H}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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20、如图1，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点 $C (0, 16)$ ，且过点 $D (- 6, c)$ ．

(1)、求抛物线表达式；

(2)、如图2，点P为抛物线在y轴左侧的一个动点，过点P作 $P F ∥ y$ 轴，交直线 $A C$ 于点E，交x轴于点F，连接 $P C, B E, B C$ ，若 $\frac{S_{△ P E C}}{S_{△ B E C}} = \frac{4}{5}$ 时，求点P的坐标；

(3)、如图3，点M是抛物线的顶点，点P为抛物线对称轴上的一个动点，连接 $A P$ ，求 $\sqrt{2} A P + P M$ 的最小值．

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摸球的次数n	100	150	200	500	800	1000
摸到白球的次数m	59	96	b	295	480	601
摸到白球的频率 $\frac{m}{n}$	a	0.64	0.58	0.59	0.60	0.601