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1、已知 $a, b, b, d$ 都是整数，且 $a < 2 b, b < 3 c, c <$ $4 d, d < 50$ ，那么 $a$ 的最大值是.

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2、如图，直线 $y = 2 x + 4$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A, B$ 两点，点 $C$ 是第二象限内一点，连结 $C B$ ，若 $∠ C B A = 45^{\circ}$ ，则直线 $B C$ 的解析式为.

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 13, A B = 24, D$ 是 $A B$ 边上的一个动点，点 $E$ 与点 $A$ 关于直线 $C D$ 对称，当 $△ A D E$ 为直角三角形时， $A D$ 的长为.

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4、五个边长为 1 的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，过 $(a, 0), (3, 3)$ 的一条直线将这五个正方形分成面积相等的两部分，则 $a$ 的值是.

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5、对于三个数 $a, b, c$ ，用 $m i n {a, b, c}$ 表示这三个数中最小的数. 例如： $m i n {- 1, 2, 3} = - 1, m i n {- 1, 2, a} = \{\begin{array}{l} a, a \leq - 1 \\ - 1, a > - 1 \end{array}$ ，则对于任意的 $x$ ， $m i n \{2 x, x + 2, - \frac{3}{2} x + 12\}$ 的最大值为.

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6、若 $a > 0$ ，则 $a + \frac{1}{a}$ 的最小值为.

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7、若 $[x + \frac{1}{100}] + [x + \frac{2}{100}] + \dots + [x + \frac{99}{100}] + [x + 1] = 356$ ，其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，则 $x$ 的可取值为 ( )

A、3.54 B、3.45 C、3.44 D、3.55

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90^{\circ}$ ， $∠ B = 60^{\circ}$ ， $A B = 2$ ，若点 $D$ 是 $B C$ 边上的动点，则 $2 A D + D C$ 的最小值是 ( )

A、6 B、 $2 \sqrt{3} + 6$ C、 $\sqrt{3} + 3$ D、4

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9、如图，在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}, B C = 6, A C = 8$ ， $A B$ 的垂直平分线 $D E$ 交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ，则 $D E$ 的长为( )

A、6 B、 $\frac{20}{3}$ C、 $\frac{25}{3}$ D、8

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10、已知 $A = \frac{1}{1^{2} + 1} + \frac{1}{2^{2} + 2} + \frac{1}{3^{2} + 3} + \dots + \frac{1}{2023^{2} + 2023}$ ，则 $A =$ ( )

A、1 B、 $\frac{2022}{2023}$ C、 $\frac{2023}{2024}$ D、 $\frac{2021}{2022}$

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11、线段 $y = - \frac{1}{2} x + a (0 \leq x \leq 3)$ ，当 $a$ 的值由 -1 增加到 2 时，该线段运动所经过的平面区域的面积为( )

A、6 B、8 C、9 D、10

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12、nbsp；若关于 $x$ 的一元一次不等式组 $\{\begin{array}{l} 1 < x \leq 3 \\ x > m \end{array}$ 有解，则 $m$ 的取值范围为( )

A、 $m < 3$ B、 $m \geq 3$ C、 $m < 1$ D、 $1 \leq m < 3$

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13、如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $A B = a$ ，点P是 $B C$ 上一动点（不与点B，C重合），将PA绕点P按顺时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $P E$ ．
【初步感知】
（1）在点P的运动过程中，试探究 $∠ P A B$ 与 $∠ C P E$ 的数量关系．
【深入研究】
（2）连接 $C E$ ，在点P的运动过程中，试探究 $\frac{C E}{B P}$ 的值．
【拓展延伸】
（3） $A E$ 与 $C D$ 相交于点F，在点P的运动过程中，试探究 $△ P C F$ 的周长是否为定值，若是，求出 $△ P C F$ 的周长；若不是，请说明理由．

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14、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点G、H分别是 $A B$ 、 $C D$ 的中点，点E、F在对角线 $A C$ 上，且 $A E = C F$ ．

(1)、求证：四边形 $E G F H$ 是平行四边形；

(2)、连接 $B D$ 交 $A C$ 于点O，若 $B D = 10$ ， $A E + C F = E F$ ，求 $E G$ 的长．

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15、“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段 $M N$ 上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路 $M N$ 旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知 $∠ C B N = 60 °$ ， $B C = 200$ 米， $A C = 100 \sqrt{6}$ 米．

(1)、请求出观测点C到公路 $M N$ 的距离；

(2)、此车超速了吗？请说明理由．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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16、如图，已知 $∠ A = ∠ D = 90 °$ ， $E 、 F$ 在线段 $B C$ 上， $A F 、 D E$ 相交于点 $O, A B = C D$ ，且 $B E = C F$ ．求证： $△ A B F ≌ △ D C E$ ．

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17、计算： $\sqrt{2} \times (- \sqrt{6}) - |- 3| + {(\frac{1}{4})}^{- 2}$ ．

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18、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 5$ ， $A C = 12$ ， P为斜边 $A B$ 上一动点，过点P分别作 $P E ∥ B C$ 交 $A C$ 于点E，作 $P F ∥ A C$ 交 $B C$ 于点F．则 $E F$ 的最小值为．

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19、如图，将矩形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折叠，点 $D$ 落在点 $F$ 处， $A F$ 与 $B C$ 相交于点 $E$ ， $A B = 4, A D = 8$ ，则 $A E$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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20、关于一次函数 $y = - 2 x + 1$ ，下列结论正确的是（）

A、函数必过点 $(- 2, 1)$ B、 $y$ 的值随着 $x$ 的增大而增大 C、图象与 $x$ 轴交于点 $(\frac{1}{2}, 0)$ D、图象经过第一、三、四象限

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