相关试卷

1、小明与小华两位同学解一元二次方程

3 (x - 5) = {(x - 5)}^{2}

的过程如下框：

小明：

两边同除以 $(x - 5)$ 得

$3 = x - 5$ ．

则 $x = 8$ ．

小华：

移项，得 $3 (x - 5) - {(x - 5)}^{2} = 0$ ．

提取公因式，得 $(x - 5) (3 - x - 5) = 0$ ．

则 $x - 5 = 0$ 或 $3 - x - 5 = 0$ ．

解得 $x_{1} = 5$ ， $x_{2} = - 2$ ．

(1)、你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果．

小明的解法，小华的解法．（填“正确”或者“不正确”）

(2)、请你选择合适的方法解一元二次方程

3 (2 x + 1) = {(2 x + 1)}^{2}

．

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2、计算： $\sqrt{9} - | 2 | + 3 c o s 60 ° - {(3 - π)}^{0}$ ．

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点为 $P (- 1, k)$ ，且经过点 $A (- 3, 0)$ ，其部分图象如图所示，下面四个结论中，
$①$ $a < 0$ ；
$②$ $b = - 2 a$ ；
$③$ 若点 $M (2, m)$ 在此抛物线上，则 $m < 0$ ；
$④$ 若点 $N (t, n)$ 在此抛物线上且 $n < c$ ，则 $t > 0$ ．
所有正确结论的序号是．

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4、山西某中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少．据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的 $70 %$ ．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为 $x$ ，根据题意，可列方程为．

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5、如图， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 关于点 $O$ 位似，已知 $O A : A D = 1 : 1$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 的面积比为．

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6、如图，小颖为测量学校旗杆 $A B$ 的高度，她在C处放置一块镜子，然后退到D处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部A．已知小颖的眼睛E离地面的高度 $E D = 1.5 m$ ，她离镜子的水平距离 $C D = 0.5 m$ ，镜子C离旗杆的底部B处的距离 $B C = 2 m$ ，且B，C，D三点在同一水平直线上，则旗杆 $A B$ 的高度为．

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7、若二次根式 $\sqrt{2 x - 1}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是．

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8、计算： $(\sqrt{5} - \sqrt{2}) (\sqrt{5} + \sqrt{2}) =$ ．

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9、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，点 $N$ 在 $B C$ 边上，点 $M$ 为 $A B$ 边上的动点，点 $D$ 、 $E$ 分别为 $C N, M N$ 的中点，则 $D E$ 的最小值是（）

A、2 B、2.5 C、2.4 D、1.2

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10、人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若 $A B 、 A C$ 的长都为 $2 m$ ，当 $a = 65 °$ 时，人字梯顶端离地面的高度约是____ $m$ ．（结果精确到0.1m，参考依据： $s i n 65 ° \approx 0.91$ ， $c o s 65 ° \approx 0.42 ， t a n 65 ° \approx 2.14)$ （）

A、2.1 B、1.9 C、1.8 D、1.6

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11、如图，直线 $A D$ ， $B C$ 相交于点O， $A B ∥ E F ∥ C D$ ．若 $A O = 4$ ， $O F = 2$ ， $F D = 4$ ，则 $\frac{B O}{O C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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12、如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 在 $A C$ 上， $∠ D B C = ∠ A .$ 若 $A C = 8$ ， $c o s A = \frac{4}{5}$ ，则 $B D$ 的长度为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、 $\frac{15}{4}$ D、 $4$

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13、将点 $Q (m + 2, m + 3)$ 向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是（）

A、 $(- 3, - 2)$ B、 $(- 6, 0)$ C、 $(0, 6)$ D、 $(5, 0)$

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14、下列各式中，计算正确的是（）

A、 $\sqrt{25} = \pm 5$ B、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ C、 $\sqrt[3]{(- 2)^{3}} = - 2$ D、 $3 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 3$

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15、三阶幻方又叫九宫格．由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则 $a - b + c - d$ 的值为（）

A、5 B、 $- 1$ C、1 D、0

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16、《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，前n天截取的木棍总长度为（）尺

A、 $\frac{1}{2^{n - 1}}$ B、 $1 - \frac{1}{2^{n - 1}}$ C、 $\frac{1}{2^{n}}$ D、 $1 - \frac{1}{2^{n}}$

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17、在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段中点的概念与角平分线的概念相似，甚至它们在题目设计上有类似之处，解题思路可以互相借鉴．

(1)、【初步感知】
如图1，已知线段 $A B = 6$ ， C是线段 $A B$ 上的一点，M是 $A C$ 的中点，N是 $B C$ 的中点．
①若 $A C = 2$ ，求 $M N$ 的长度；
②若 $A C = b$ ，则 $M N$ 的长度为．

(2)、【类比迁移】
“创新”小组的同学类比问题（1）想到了一道有关角的问题，如下：
如图2，已知 $∠ A O B = 70 °$ ，在角的内部作射线 $O C$ ，再分别作 $∠ A O C$ 和 $∠ B O C$ 的平分线 $O M$ ， $O N$ ．
①若 $∠ A O C = 20 °$ ，求 $∠ M O N$ 的度数；
②若 $∠ A O C = m °$ ，则 $∠ M O N =$ ．

(3)、【创新应用】
“领航”小组在“创新”小组的基础上提出以下两个问题：
①若C是直线 $A B$ 上的一点，M是 $A C$ 的中点，N是 $B C$ 的中点， $A B = a$ ， $A C = b$ ，则 $M N =$ ；
②若 $∠ A O B = n °$ ， $∠ A O C = m °$ ，在 $∠ A O B$ 的外部作射线 $O C$ ，再分别作 $∠ A O C$ 和 $∠ B O C$ 的平分线 $O M$ ， $O N$ ，则 $∠ M O N =$ ．

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18、如图，已知数轴上有C，D，E三点，它们分别对应有理数 $c$ ， $d$ ， $e$ ，且满足 $| c + 8 | + {(d - 4)}^{2} + | e - 20 | = 0$ ，请解答下列问题．

(1)、填空： $c =$ ， $d =$ ， $e =$ ；

(2)、如果有一动点 $A$ 从 $C$ 点出发，以每秒 $4$ 个单位长度的速度沿数轴向左运动，多少秒后， $A$ 点到 $D$ ， $E$ 两点的距离之和为 $56$ 个单位长度；

(3)、如果有一动点 $M$ 从 $C$ 点出发，以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿数轴向右运动，到达 $D$ 点后立即按原速度折返；同时动点 $N$ 从 $E$ 点出发，以每秒 $4$ 个单位长度的速度向左运动，到达O点后立即按原速度折返．当 $M$ ， $N$ 中有一点回到出发点时，两点同时停止运动．设运动时间为 $t$ （单位：秒）；当点 $M$ 和点 $N$ 之间的距离为 $4$ 个单位长度时，请直接写出 $t$ 的值．

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19、“水是生命之源”，某城市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取水费：
用水量/月
单价（元/ $m^{3}$ ）
不超过 $40 m^{3}$
1
超过 $40 m^{3}$ 的部分
$1.5$
另：每立方米用水加收0.2元的城市污水处理费

(1)、如果1月份该用户用水量为 $34 m^{3}$ ，那么该用户1月份应该缴纳水费多少元？

(2)、某用户2月份共缴纳水费65元，那么该用户2月份用水多少 $m^{3}$ ？

(3)、若该用户水表3月份出了故障，只有70%的用水量记入水表中，这样该用户在3月份只缴纳了 $63.3$ 元水费，问该用户3月份实际应该缴纳水费多少元？

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20、综合与实践
如图是某校田径运动场平面图，运动场跑道由直跑道和半环形跑道组成，最中间（即阴影部分）长方形的长为 $a m$ ，环形跑道内侧半圆的半径为 $r m$ ，跑道宽为 $c m$ ．

(1)、用含有 $a$ ， $r$ 的代数式表示跑道内侧的周长为 $m$ ；

(2)、用含有 $a$ ， $r$ ， $c$ 的代数式表示跑道外侧的周长为 $m$ ；

(3)、当 $a = 25$ ， $r = 10$ 时，求小强沿着跑道内侧跑一圈的路程．（ $π$ 取 $3$ ）．

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用水量/月	单价（元/ $m^{3}$ ）
不超过 $40 m^{3}$	1
超过 $40 m^{3}$ 的部分	$1.5$