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1、如图， $O$ 是 $△ A B C$ 内一点，且点 $O$ 到三边 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 的距离相等，即 $O P = O M = O N$ ，若 $∠ A B C = 80 °$ ，则 $∠ A O C$ 的度数是（）

A、 $140 °$ B、 $130 °$ C、 $120 °$ D、 $110 °$

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2、问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图 $①$ ，在平行四边形 $A B C D$ 中， $B E ⊥ A D$ ，垂足为 $E$ ， $F$ 为 $C D$ 的中点，连接 $E F$ ， $B F$ ，试猜想 $E F$ 与 $B F$ 的数量关系，并加以证明；

(1)、独立思考：请解答老师提出的问题；

(2)、实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将平行四边形 $A B C D$ 沿着 $B F$ （ $F$ 为 $C D$ 的中点）所在直线折叠，如图 $②$ ，点 $C$ 的对应点为 $C^{'}$ ，连接 $D C^{'}$ 并延长交 $A B$ 于点 $G$ ，请判断 $A G$ 与 $B G$ 的数量关系，并加以证明；

(3)、问题解决：智慧小组突发奇想，将平行四边形 $A B C D$ 沿过点 $B$ 的直线折叠，如图 $③$ ，点 $A$ 的对应点 $A^{'}$ ，使 $A^{'} B ⊥ C D$ 于点 $H$ ，连接 $A^{'} M$ ，交 $C D$ 于点 $N$ ．若此平行四边形 $A B C D$ 的面积为 $20$ ， $A B = 5$ ， $B C = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ ，求图中阴影部分（四边形 $B H N M$ ）的面积．

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3、在平面直角坐标系中，四边形 $O A B C$ 是矩形，点 $A ， C$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象分别与矩形 $O A B C$ 的边 $B C ， A B$ 相交于点 $D$ ， $E$ ．

(1)、如图1，若 $O A = \sqrt{2} O C = 2$ ，
①点 $B$ 的坐标是___________；
②连接 $O D ， D E$ ，当 $O D ⊥ D E$ 时，探究点 $D ， E$ 是否分别为线段 $B C ， A B$ 的中点，并证明；

(2)、如图2，过点 $D$ 作 $D F ⊥ O A$ ，垂足为点 $F$ ，连接 $O D$ ， $E F$ ．当 $O D ∥ E F$ 时，探究点 $F ， E$ 是否分别为线段 $O A ， A B$ 的黄金分割点，并证明．

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4、综合与实践．
【主题】探究化学实验中的数学问题．
【实践操作】如图是排水法收集气体的化学实验装置示意图，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．
【数学建模】将图1的示意图抽象成题图2，已知试管 $A B$ 的长为 $15 cm$ ，过点 $B$ 作 $A H$ 的垂线段，垂足为 $C$ ，交 $D G$ 于点 $E$ ，试管倾斜角 $∠ A B C = 8 °$ ，试管与导管的夹角 $∠ A B F = 143 °$ ．
【问题解决】

(1)、求 $∠ B F M$ 的度数；

(2)、铁夹 $D$ 到水平桌面 $H N$ 的距离是 $17 cm$ ，测量可得导管露在水槽外的部分 $B F$ 为 $8 cm$ ，则水槽的高度 $M N$ 约为多少？（结果精确到 $0.1 cm$ ；参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $sin 8^{\circ} \approx 0.14$ ， $cos 8^{\circ} \approx 0.99$ ， $tan 8^{\circ} \approx 0.14$ ）

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5、如图，已知点 $E$ 是矩形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上一点， $B F ⊥ A E$ 于点 $F$ ．若 $A D ＝ 12, D E ＝ 5, A F ＝ 4$ ，求 $B F$ 的长．

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6、如图，菱形 $A B C D$ 的边长为4，E，F分别是 $A B ， A D$ 边上的动点， $B E = A F$ ， $∠ B A D = 120 °$ ，则下列结论：① $△ B E C ≌ △ A F C$ ；② $△ E C F$ 为等边三角形；③若 $A F = 1$ ，则 $\frac{G F}{G E} = \frac{1}{2}$ ；④ $∠ A G E = ∠ A F C$ ．其中正确的有．（填序号）

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7、如图，在平面直角坐标系中，正六边形 $A B C D E F$ 的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数 $y = \frac{9 \sqrt{3}}{x}$ 位于第一象限的图象上，则正六边形 $A B C D E F$ 的边长为；

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ，若 $A D = 3$ ， $D B = 2$ ， $B C = 6$ ，则 $D E$ 的长为．

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9、如图，边长12的正方形 $A B C D$ 中，有一个小正方形 $E F G H$ ，其中E、F、G分别在 $A B$ 、 $B C$ 、 $F D$ 上．若 $B F = 3$ ，则小正方形的边长为（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、1 D、6

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10、如图是一个正三棱柱，则它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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11、若点 $(2, - 6)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，则该图象也过点（）

A、 $(3, 4)$ B、 $(3, - 4)$ C、 $(- 2, - 6)$ D、 $(- 6, - 2)$

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12、如已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象过点 $A (- 3, 0)$ 和点 $B (1, 0)$ ，且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是 $- 2$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、写出这个二次函数图象的对称轴、顶点坐标：

(3)、抛物线的对称轴上有一动点 $P$ ，求出 $P A + P D$ 的最小值．

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13、如图， $B D$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $A$ 是 $B D$ 延长线上的一点，点 $E$ 在 $⊙ O$ 上， $B C ⊥ A E$ ，交 $A E$ 的延长线于点 $C$ ， $B C$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，且点 $E$ 是 $\overset{⏜}{D F}$ 的中点．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A D = 3$ ， $A E = 5 \sqrt{2}$ ，求 $A B$ 的长度．

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14、如图，护林员在一个斜坡上的点 $A$ 处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地 $A B$ 进行浇灌， $O A = 10 m$ ，点 $A$ 处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口 $A$ 的水平距离为 $6 m$ 时，达到距离地面 $O B$ 的竖直高度的最大值为 $13 m$ ．以 $O B$ 所在的水平方向为 $x$ 轴， $O A$ 所在的竖直方向为 $y$ 轴建立平面直角坐标系．

(1)、求图中水柱所在抛物线的函数解析式；

(2)、若该装置浇灌的最远点 $C$ 离地面的竖直高度为 $1 m$ ，求此时喷到 $C$ 处的水柱距出水口的水平距离．

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15、黄河流域作为中华文明的摇篮，孕育了多个重要的史前文化，新石器时代晚期文化有龙山文化、大汶口文化、马家窑文化、齐家文化．这四种文化的陶器是其重要标志，反映了农业经济、手工业发展和社会复杂化．以下是几种陶器的图片：A．蛋壳黑陶；B．彩陶盉；C．涡纹彩陶瓮；D．蚕纹二联陶罐．

(1)、小夏从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．涡纹彩陶瓮”的概率是_________．

(2)、为学习和宣传黄河文化，小甘先从上面四幅图中任选一幅，小夏再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．蛋壳黑陶”和“D．蚕纹二联陶罐”的概率．

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16、如图，在平面直角坐标系中，将正方形 $O A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $45 °$ 后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ，依此方式，绕点 $O$ 连续旋转2026次得到正方形 $O A_{2026} B_{2026} C_{2026}$ ，如果点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，那么点 $B_{2026}$ 的坐标为．

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17、如图1是某博物馆屋顶的部分图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示， $\overset{⏜}{A B}$ 是以点 $O$ 为圆心，半径为 $18 cm$ 的弧， $∠ A O B = 50 °$ ，则 $\overset{⏜}{A B}$ 的长是cm．

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18、如图，在边长为4的正方形 $A B C D$ 中，动点 $P$ 从 $A$ 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $A B$ 向 $B$ 点运动，同时动点 $Q$ 从 $B$ 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $B \to C \to D$ 方向运动，当 $P$ 运动到 $B$ 点时， $P$ ， $Q$ 两点同时停止运动．设 $P$ 点运动的时间为 $t$ ， $△ A P Q$ 的面积为 $S$ ，则 $S$ 与 $t$ 函数关系的图象是（　　）

A、 B、 C、 D、

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19、刘家峡大红枣果实色泽鲜红、皮薄、肉厚、核小、清脆、质地细嫩、香甜可口．现跟踪调查了刘家峡大红枣树苗的移植成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计刘家峡大红枣树苗移植成活的概率是（）

A、0.80 B、0.85 C、0.90 D、0.95

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20、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °, A B = B C$ ， D为 $△ A B C$ 内一点， $∠ A D B = 90 °$ ，其中 $45 ° < ∠ A B D < 90 °$ ，将线段 $B D$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $B E$ ，连接 $C E$ ，作直线 $E D$ 交 $A C$ 于点F．

(1)、求 $∠ C E B$ 的度数；

(2)、用等式表示 $F D, B E, A D$ 的数量关系，并证明．

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