相关试卷

1、如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $D$ 为边 $A C$ 的中点， $B D = 12 cm$ ， $P$ 为中线 $B D$ 上的动点，则 $P C + \frac{1}{2} P B$ 的最小值是．

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2、如图， $A M ⊥ M N$ 于 $M$ ，且 $M N : N C = 1 : 2$ ， $A N = A C$ ，若 $∠ N A C = 40 °$ ，则 $∠ M A N =$ ．

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3、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ 的平分线交于点O， $∠ A C B$ 的外角平分线所在直线与 $∠ A B C$ 的平分线相交于点D，与 $∠ A B C$ 的外角平分线相交于点E，则下列4个结论一定正确的有（）个．
① $∠ B O C = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ A$ ；② $∠ D = \frac{1}{2} ∠ A$ ；③ $∠ E = ∠ A$ ；④ $∠ E + ∠ D C F = 90 ° + ∠ A B D$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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4、对于正数 $x$ ，规定 $f (x) = \frac{x}{1 + x}$ ，例如： $f (3) = \frac{3}{1 + 3} = \frac{3}{4}$ ， $f (\frac{1}{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$ ，则 $f (\frac{1}{2025}) + f (\frac{1}{2024}) + \dots + f (\frac{1}{2}) + f (1) + f (2) + \dots + f (2024) + f (2025)$ 的值为（）

A、2025 B、2024 C、 $2023.5$ D、 $2024.5$

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ， $D$ 是线段 $B C$ 上一点，连接 $A D$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ A D$ ，且 $A E = A D$ ，连接 $E C$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，若 $B D = 3.3$ ， $B F = 2.5$ ，则 $A B$ 的长度为（）

A、8.3 B、8.5 C、8.7 D、9.1

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6、若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足 $a b - a c = b^{2} - b c$ ，则这个三角形一定是（）

A、直角三角形 B、等边三角形 C、锐角三角形 D、等腰三角形

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7、2025年3月14日是第六个“国际数学日”，中国邮政发行《数学之美》特种邮票．某网店在“6-18”年中大促活动当天，售出“小版邮票册”和“邮票合集套装”共35套．其中，“小版邮票册”的销售额为970元，“邮票合集套装”的销售额为1050元，已知“小版邮票册”的单价比“邮票合集套装”的单价贵55元．聪聪和明明根据这一情境，分别列出如下方程
聪聪： $\frac{970}{x} - \frac{1050}{35 - x} = 55$
明明： $\frac{970}{y + 55} + \frac{1050}{y} = 35$
下列判断正确的是（）

A、聪聪设的未知量 $x$ 表示“小版邮票册”的单价 B、聪聪设的未知量 $x$ 表示“小版邮票册”的数量 C、明明设的未知量 $y$ 表示“小版邮票册”的单价 D、明明设的未知量 $y$ 表示“小版邮票册”的数量

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $B A = B C$ ， $∠ B = 36 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $E$ 为线段 $A B$ 的中点，则下列结论：① $△ A C D$ 是等腰三角形；② $D E ⊥ B A$ ；③ $A C = B D$ ；④ $C D = D E$ ．其中正确的有（）

A、①③④ B、①② C、①②③ D、①②③④

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9、将分式 $\frac{m n}{m - n}$ 中的 $m$ 、 $n$ 都扩大为原来的3倍，则分式的值（）

A、不变 B、扩大3倍 C、扩大9倍 D、缩小3倍

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10、若点 $M (a, 3)$ 和点 $N (4, b)$ 关于y轴对称，则 ${(a + b)}^{2025}$ 的值为．

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11、长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度 $C E$ ，他们进行了如下操作：
①测得水平距离 $B D$ 的长为 $15$ 米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $B C$ 的长为 $25$ 米；
③牵线放风筝的小明的身高为 $1.6$ 米．

(1)、求风筝的垂直高度 $C E$ ；

(2)、如果小明想风筝沿 $C D$ 方向下降 $12$ 米，则他应该往回收线多少米？

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12、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，则 $sin A$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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13、我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何．”其大意是：现在一斗清酒价值：10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设清酒有 $x$ 斗，根据题意可列方程为（）

A、 $3 x + 10 (5 - x) = 30$ B、 $\frac{x}{3} + \frac{30 - x}{10} = 5$ C、 $\frac{x}{10} + \frac{30 - x}{3} = 5$ D、 $10 x + 3 (5 - x) = 30$

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14、如图，三角形 $A B C$ 是一个正三角形，它的周长为 $30cm$ ，点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿三角形的边一直按 $B \to C \to A \to B \dots$ 的顺序以 $a$ $a cm/s$ 的速度匀速运动，同时点 $Q$ 从点 $C$ 出发，沿三角形的边一直按 $C \to A \to B \to C \dots$ 的顺序以 $3cm/s$ 的速度匀速运动．

(1)、 $∠ A =$ 度， $B C =$ $cm$ ；

(2)、当 $a = 4$ 时， $P, Q$ 两点运动多少秒时第一次相遇；

(3)、若 $P, Q$ 两点运动15秒时第一次相遇，求 $a$ 的值．

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15、“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，其核心是将相关问题或部分看作一个整体，通过整体的代入、运算或转化，简化求解过程．“整体思想”在多项式的化简与求值中应用较为广泛，如下图是一道可利用“整体思想”解答的拓展题．
【阅读理解】
因为 $m^{2} + m + 3 = 9$
所以 $m^{2} + m = 6$
所以 $2 m^{2} + 2 m + 9 = 2 (m^{2} + m) + 9 = 2 \times 6 + 9 = 21$
所以代数式 $2 m^{2} + 2 m + 9$ 的值为21
【方法运用】
（1）若代数式 $n^{3} + n$ 的值为 $- 5$ ，求代数式 $3 n^{3} + 3 n + 10$ 的值；
（2）当 $x = 1$ 时，代数式 $a x^{3} + b x + 4$ 的值为10，求当 $x = - 1$ 时，代数式 $a x^{3} + b x - 16$ 的值；
【拓展应用】
（3）若 $3 a - b = 10, a b = - 3$ ，求 $(5 a b - 2 a + 3 b) - 7 (a - a b)$ 的值．

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16、如图， $∠ A O B = 160 °$ ，将直角三角尺一个顶点放在点 $O$ 处，使其余两个顶点 $C, D$ 始终在 $∠ A O B$ 的内部（点 $D$ 也可以在射线 $O B$ 上）， $∠ C O D = 30 °$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 在射线 $O B$ 上时，求 $∠ A O C$ 的度数；

(2)、如图2，当点 $D$ 在射线 $O B$ 上，且 $O M$ 平分 $∠ A O B$ 时，求 $∠ C O M$ 的度数；

(3)、如图3，当 $O M$ 平分 $∠ A O B$ ， $O D$ 平分 $∠ B O C$ 时，求 $∠ C O M$ 的度数．

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17、已知 $A = 2 x^{2} + 3 x y - 3 y, B = - x^{2} + x y - y$ ．

(1)、若 $|x + 2| + {(y - 1)}^{2} = 0$ ，求 $2 A + 4 B$ 的值；

(2)、若 $2 A + 4 B$ 的值与 $y$ 无关，求 $x$ 的值．

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18、现有四个整式： $x^{2} - 1$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{x + 1}{3}$ ， $- 2$ ．

(1)、若将其中任意两个整式用等号连接，则共能组成___________个方程；

(2)、在（1）所组成的方程中，选择一个一元一次方程进行解方程．

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19、一建材公司主营水泥、砂石等建筑材料，其水泥仓库需每日统计原料进出量以便管理库存，并核算运输成本.12月10日，仓库根据运输单据整理出当日水泥进出记录（运进用正数表示，运出用负数表示），具体数据如下：
进出数量（单位：吨）
$- 30$
40
$- 10$
20
$- 50$
进出次数
2
1
3
3
2
请你帮助仓库管理员解决以下两个问题：

(1)、核算当日仓库的水泥总量相较于原有库存增加或减少了多少吨？

(2)、运输公司提供两种运费结算方案：
方案一：运进水泥，每吨收取运费5元，运出水泥因为需要额外增加装卸和防护措施费用，每吨收取运费8元；方案二：为简化核算，无论运进还是运出水泥，每吨统一收取运费6元．
请通过计算，从节约成本的角度考虑应该选择哪种方案更合算？

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20、为了解学生对假期安全知识的掌握情况，学校在寒假前对全体学生进行了安全知识测试（满分100分）．现随机抽取部分学生的成绩进行整理、分析（成绩共分成五组： $A$ ： $50 \leq x < 60$ ， $B$ ： $60 \leq x < 70$ ， $C$ ： $70 \leq x < 80$ ， $D$ ： $80 \leq x < 90$ ， $E$ ： $90 \leq x < 100$ ），绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息解答下列问题：

(1)、此次随机抽取了 ▲ 名学生的成绩，请将频数直方图补充完整；

(2)、在扇形统计图中， $B$ 组所在扇形的圆心角是度；

(3)、若测试成绩大于等于80分定为“优秀”等级，请你估计全校1200名学生中测试成绩为“优秀”等级的大约有多少人？

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进出数量（单位：吨）	$- 30$	40	$- 10$	20	$- 50$
进出次数	2	1	3	3	2