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1、我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果 $m x + n = 0$ ，其中m、n为有理数，x为无理数，那么 $m = 0$ ， $n = 0$ ，运用上述知识解决下列问题：

(1)、如果 $(m + 2) \sqrt{2} + (n - 1) = 0$ ，其中m、n为有理数，求m和n的值；

(2)、如果 $2 m - n + (3 m - \frac{1}{2} n - 4) \sqrt{3} = 4$ ，其中m、n为有理数，求 $2 m - 3 n$ 的立方根；

(3)、若m、n均为有理数，且 $(m + 1) \sqrt{2} + m - 17 = 2 \sqrt{2} - n^{2}$ ．求 $| m + n |$ 的算术平方根．

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2、先观察下列等式，再回答问题：
第一个等式： $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} = 1 \frac{1}{2}$ ；
第二个等式： $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 1 \frac{1}{6}$ ；
第三个等式： $\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 \frac{1}{12}$ ．

(1)、根据上述三个等式提供的信息填空， $\sqrt{1 + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{6^{2}}} =$ =；

(2)、请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；

(3)、对于任何实数a ， $[a]$ 表示不超过a的最大整数，如 $[3] = 3$ ， $[\sqrt{5}] = 2$ ，计算： $[\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + ⋯ + \sqrt{1 + \frac{1}{202 3^{2}} + \frac{1}{202 4^{2}}}]$ 的值．

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3、一个正数 $a$ 的两个平方根分别是 $- 2 b + 1$ 和 $b - 2$ ；且 $\sqrt[3]{b + 6} = \sqrt[3]{c + 2}$ ．

(1)、求 $a ， b ， c$ ；

(2)、求 $a^{2} + b^{2} - c^{2}$ 的平方根．

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4、已知 $4 a - 11$ 的平方根是 $- 3$ 和 $3$ ， $3 a + b - 1$ 的算术平方根是 $4$ ， $c$ 是 $\sqrt{13}$ 的整数部分．

(1)、求 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值；

(2)、求 $3 a - b + c$ 的平方根．

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5、如图所示， $a$ ， $b$ ， $c$ 是数轴上三个点 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的实数．其中 $a$ 是 $4$ 的一个平方根， $b$ 是 $- 27$ 的立方根， $c$ 是 $1 - 3 \sqrt{2}$ 的相反数．

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、先化简，再求值： $\sqrt{{(a)}^{2}} + | b - a | - | c |$

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6、计算：

(1)、49 $x^{2}$ = 64 ；

(2)、 $\frac{1}{4} {(x - 3)}^{3} = 16$ ；

(3)、 $| - 3 | - \sqrt{16} + \sqrt[3]{- 8} + {(- 2)}^{2}$

(4)、 $(2 \sqrt{2} - \sqrt{3}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2})$

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7、已知a ， b为实数，满足 $a = \sqrt[3]{8}$ ，且 $\sqrt{a - b + 1} = a - b + 1$ ，则 $a + b$ 的值．

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8、若 $| a + b + 1 |$ 与 $\sqrt[]{a + 2 b + 4}$ 互为相反数，则 $a b =$ ．

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9、如下图，直径为1个单位长度的圆从表示 $- 1$ 的点 $A$ 沿数轴向左滚动一周（不滑动），圆上的一点由点A到达点B ，点B表示的数是．

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10、已知 $| a | = 5$ ， $\sqrt{b^{2}} = 8$ ，且 $| a + b | = a + b$ ，则 $a - b$ 的值为．

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11、已知 $a_{1}$ 为实数，规定运算： $a_{2} = 1 - \frac{1}{a_{1}}, a_{3} = 1 - \frac{1}{a_{2}}, a_{4} = 1 - \frac{1}{a_{3}}, a_{5} = 1 - \frac{1}{a_{4}}, ⋯$ ， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}}$ ．按上述规定，当 $a_{1} = 2$ 时， $\sqrt[3]{a_{2025}}$ 的值等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、0

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12、根据图中的程序，当输入 $x$ 为 $64$ 时，输出 $y$ 的值是（　　）

A、 $\sqrt[3]{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $8$

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13、若 $a = \sqrt[3]{7}$ ， $b = \sqrt{5}$ ， $c = 2$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、 $b \leq c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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14、已知 $a ， b$ 分别是 $\sqrt{5}$ 的整数部分和小数部分，那么 $a \times b$ 的值是（　　）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5} - 4$ C、2 D、5

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15、大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图， $\frac{B C}{A B}$ 的值接近黄金比 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，则下列估算正确的是（）

A、 $0 < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < \frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{5} < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < 1$ D、 $1 < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < 2$

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16、如果 ${(2 x - y)}^{2} + \sqrt{x + y - 3} = 0$ ，则 $x - y$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、 $- 2$

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17、已知 $2 a$ 的平方根是 $\pm 2$ ， $3$ 是 $3 a + b$ 的立方根，则 $a - 2 b$ 的值是（）

A、 $- 20$ B、 $- 25$ C、 $- 30$ D、 $- 40$

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18、化简 $| 1 - \sqrt{3} |$ 的值为（）

A、 $1 - \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $- 1 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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19、下列各数中，是无理数的是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{34}{7}$ C、 $\sqrt{4}$ D、3.1415926

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20、已知两条平行线 $A B$ ， $C D$ ，一块直角三角尺 $E F G (∠ E F G = 90 ° ， ∠ E G F = 30 ° ， ∠ F E G = 60 °)$ ，且点 $E ， F$ 不可能同时落在直线 $A B$ 和 $C D$ 之间．

(1)、如图1，把三角尺的顶点 $E ， G$ 分别放在 $A B ， C D$ 上，若 $∠ B E G = 150 °$ ，则 $∠ F G C$ 的度数为 $°$ ；

(2)、如图2，把三角尺的锐角顶点 $G$ 放在 $C D$ 上，且保持不动，若点 $E$ 恰好落在 $A B$ 和 $C D$ 之间，且 $A B$ 与线段 $E F$ 交于点 $M$ ，若 $∠ B M E = 45 °$ ，求 $∠ F G C$ 的度数；

(3)、把三角尺的锐角顶点 $G$ 放在 $C D$ 上，且保持不动，旋转三角尺，若存在 $∠ F G C = 7 ∠ D G E (∠ D G E < 30 °)$ ，请直接写出射线 $G F$ 与 $A B$ 所夹锐角的度数．

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