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1、阅读下面的材料，回答问题.
【任务】测量车祸场地 $A$ ， $B$ 两点之间的距离（如图①）.由于需要保护车祸场地，不能进入场地内测量.
【工具】一个皮尺和一个量角器（如图②），还有笔和纸.
小明利用皮尺测量，求出了车祸场地 $A$ ， $B$ 两点之间的距离，测量及求解过程如下：
【测量过程】如图③，在车祸场地外选一点 $C$ ，用皮尺测量 $A C = 2 a m$ ，取 $A C$ 的中点 $O$ ，将皮尺从点 $B$ 开始，测量 $B O = b m$ ，然后延长至 $D$ ，使 $O D = B O = b m$ ，测量 $C D = c m$ .
【求解过程】因为 $O$ 是 $A C$ 的中点，所以 $O A = O C$ .因为 $O B = O D$ ， $∠ A O B = ∠ C O D$ ，
所以 $△ O A B ≌ △ O C D$ ，所以 $A B = C D = c m$ .
答： $A$ ， $B$ 两点之间的距离为 $c m$ .

(1)、小明得出“ $A B = C D$ ”的依据是；

(2)、请你利用上面的工具，通过测量长度或角度，并利用现阶段所学知识，求出 $A$ ， $B$ 两点之间的距离，要求写出测量过程（不同于小明的测量过程）及求解过程.

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2、如图，线段 $A B$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ，连接 $A E$ ， $B D$ ，过点 $B$ 作 $B F / / A E$ ，交 $D E$ 于点 $F$ ，且 $E M = F M$ .

(1)、求证： $A E = B F$ ；

(2)、 $C$ 为 $D E$ 上一点，连接 $A C$ ，若 $∠ E = 90^{\circ}$ ， $∠ D B F = ∠ C A E$ ，求证： $C D = F E$ .

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3、在 $△ A B C$ 中， $B A = B C$ ，点 $D$ 在边 $C B$ 上，且 $D B = D A = A C$ .

(1)、如图①，求 $∠ B$ 与 $∠ C$ 的度数；

(2)、若 $M$ 为线段 $B D$ 上的点，过 $M$ 作直线 $M H ⊥ A D$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $H$ ，分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于点 $N$ ， $E$ ，如图②，求证： $△ A N E$ 是等腰三角形.

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B D$ ， $C E$ 分别是边 $A C$ ， $A B$ 上的高， $B D$ 与 $C E$ 相交于点 $O$ .

(1)、求证： $O B = O C$ ；

(2)、若 $∠ A B C = 50^{\circ}$ ，求 $∠ B O C$ 的度数.

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5、如图，在一块长方形的木板上，已知线段 $A B$ 和 $A B$ 外一点 $C$ ，请用尺规作图的方法作一条经过点 $C$ 的线段 $C D$ ，使 $C D / / A B$ 且与木板边缘交于点 $D$ .

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6、如图， $A E = B E$ ， $∠ A E B = 90^{\circ}$ ， $A D ⊥ D C$ 于点 $D$ ， $B C ⊥ D C$ 于点 $C$ ，点 $D$ ， $E$ ， $C$ 在同一直线上， $A D = 15$ ， $B C = 35$ ，求 $D C$ 的长.

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7、如图，飞机从 $A$ 地向正北方向飞行 $1400 k m$ 到达 $B$ 地，再从 $B$ 地向南偏东 $60^{\circ}$ 的方向飞行 $1400 k m$ 到达 $C$ 地（即 $∠ A B C = 60^{\circ}$ ），求 $A$ ， $C$ 两地的距离.

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8、如图，在边长为4的等边三角形 $A B C$ 中， $E$ 是高 $A D$ 上的任意一点，连接 $C E$ ，以 $C E$ 为边作等边三角形 $C E F$ ，连接 $B F$ ， $D F$ ，延长 $D F$ 至点 $G$ ，使 $G F = D F$ .若 $B F ⊥ D F$ ，则 $D G$ 的长度是 .

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9、如图， $△ A B C$ 的两条外角平分线 $A P$ ， $C P$ 相交于点 $P$ ， $P B ⊥ A C$ 于点 $H$ .若 $∠ A B C = ∠ A C B = 60^{\circ}$ ，则下列结论： $① ∠ A B P = 30^{\circ}$ ； $② ∠ A P C = 60^{\circ}$ ； $③ P A / / B C$ .其中正确的是 .（填序号）

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 80^{\circ}$ ，进行如下操作：①以点 $B$ 为圆心，小于 $A B$ 的长为半径作弧，分别交 $B A$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ；②分别以点 $E$ ， $F$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $M$ ；③作射线 $B M$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，则 $∠ B D C$ 的度数为.

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11、三个全等的三角形按如图所示摆放，则 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3$ 的度数为 .

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，分别以点 $B$ 和点 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $D$ ，作直线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $E$ .若 $∠ B A C = 110^{\circ}$ ，则 $∠ B A E$ 的度数为 .

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13、在 $△ A B C$ 中，若 $∠ A + ∠ C = 2 ∠ B$ ，则 $∠ B =$ .

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14、在 $△ A B C$ 和 $△ A' B' C'$ 中，已知 $∠ A = ∠ B'$ ， $A B = B' C'$ ，增加一个条件：，可以使 $△ A B C ≌ △ B' C' A'$ .

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15、要说明命题“任何数 $a$ 的平方都是正数”是假命题，可以举的反例是 $a =$ .

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16、将两个大小相同的含 $30^{\circ}$ 角的直角三角板如图摆放， $B E$ 交 $C F$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $M$ ， $A B$ 交 $C F$ 于点 $N$ ，则下列结论： $① ∠ E A M = ∠ F A N$ ； $② △ A C N ≌ △ A B M$ ； $③ ∠ E A F + ∠ B A C = 120^{\circ}$ ； $④ E M = F N$ ； $⑤ C F ⊥ B E$ .其中正确的有（）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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17、如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为点 $D$ ，点 $E$ 在线段 $A D$ 上， $∠ E B C = 45^{\circ}$ ，则 $∠ A C E$ 等于（）

A、 $15^{\circ}$ B、 $30^{\circ}$ C、 $45^{\circ}$ D、 $60^{\circ}$

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为边 $B C$ 上的高， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ， $∠ B = 50^{\circ}$ ， $∠ C = 80^{\circ}$ ，则 $∠ D A E$ 的度数为（）

A、 $15^{\circ}$ B、 $20^{\circ}$ C、 $25^{\circ}$ D、 $30^{\circ}$

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19、一个等腰三角形的两边长分别为2，5，则这个等腰三角形的周长为（）

A、9 B、12 C、9或12 D、11或12或13

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C$ 的垂直平分线分别交 $A C$ ， $B C$ 于 $E$ ， $D$ 两点，且 $A B = 4$ ， $B C = 7$ ，则 $△ A B D$ 的周长是（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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