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1、2025年4月23日第30个世界读书日主题“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2、如图， $⊙ O_{1}$ 与 $⊙ O_{2}$ 外切于点 $O$ ，以直线 $O_{1} O_{2}$ 为 $x$ 轴， $O$ 为坐标原点，建立平面直角坐标系，在 $x$ 轴上方的两圆的外公切线 $A B$ 与 $⊙ O_{1}$ 相切于点 $A$ ，与 $⊙ O_{2}$ 相切于点 $B$ ，直线 $A B$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，若 $O A = 3 \sqrt{3}, O B = 3$ .

(1)、求经过 $O_{1} 、 C 、 O_{2}$ 三点的抛物线的解析式；

(2)、若 $- 3 \sqrt{3} \leq x_{1} < x_{2} \leq \sqrt{3}$ ，求证： $x_{1} x_{2} + \sqrt{3} (x_{1} + x_{2}) < 9$ ；

(3)、如图，设直线 $y = k x + m$ 与 (1)中的抛物线相交于 $M$ 、 $N$ 两点，且线段 $M N$ 被 $y$ 轴平分，求：当 $M C ⊥ N C$ 时， $△ M C N$ 的面积.

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3、如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，点 $I$ 是它的内心，射线 $A I$ 、 $B I$ 各交对边于点 $D$ 、 $E$ ，射线 $A D$ 、 $B E$ 各交 $⊙ O$ 于点 $M 、 N$ . 求证： $A M \cdot I D = A N \cdot I B$ .

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4、已知反比例函数 $y = \frac{k}{2 x}$ 的图象与一次函数 $y = 2 x - 1$ 的图象在第一象限内交于点 $A$ ，其中一次函数的图象过点 $(a, b)$ 和 $(a + 1, b + k)$ .

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、请问在 $x$ 轴上是否存在点 $B$ ，使 $△ A O B$ 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的 $B$ 点坐标；若不存在，请说明理由.

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5、已知 $a, b$ 为正整数，关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 a x + b = 0$ 的两个实根为 $x_{1}, x_{2}$ ，关于 $y$ 的方程 $y^{2} + 2 a y + b = 0$ 的两个实根为 $y_{1}, y_{2}$ ，且 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 104$ ，求 $b$ 的最小值.

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6、如图所示，直径为 $d$ 的一个圆盘没有任何滑动的沿一个直径为 $3 d$ 的铁环的内侧滚动，当圆盘的圆心返回到起始位置时，圆盘已围绕自己的圆心转了．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A C = B C$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 内一点， $P A = 3$ ， $P B = 1$ ， $P C = 2$ ，则 $△ B P C$ 的面积是.

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8、已知实数 $x, y, z$ 满足 $y + z = 0, x y z = 3, |x| + |y| + |z|$ 的最小值为.

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9、四条边长分别为 $1 、 2 、 3 、 4$ 的梯形的面积是.

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10、如图，在 $△ A B C$ 中，高 $A D$ 和 $B E$ 交于点 $H$ ，且 $B H = A C$ ，则 $∠ A B C =$ .

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11、计算： $\sqrt{6 - 4 \sqrt{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{- 1} - 2 {sin45}^{\circ} =$ .

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12、如图， $A, B$ 是函数 $y_{1} = x^{2} + x - 1$ 和 $y_{2} = - 0.5 x^{2} + 0.7 x + 0.8$ 图象的公共点 (点 $A$ 在点 $B$ 左侧).

(1)、当 $x$ 为何值时， $y_{1} = y_{2}$ ；

(2)、函数 $y_{1} = x^{2} + x - 1$ 和 $y_{2} = - 0.5 x^{2} + 0.7 x + 0.8$ 的图象在 $A, B$ 两点之间的部分形成一个封闭曲线.
①过原点 $O$ 的一条直线与该封闭曲线有两个交点，若这两个交点关于原点对称，求这两个交点的坐标；
②求证：封闭曲线所围成的面积大于 2 .

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13、如图，矩形 $A B C D$ 中，设 $A D = k \cdot A B (k > 1)$ ，点 $E$ 在边 $A D$ 上，点 $A$ 关于 $B E$ 的对称点为 $F$ ，连接 $E F, B F, C F$ .

(1)、若 $k = 2$ ，当点 $B$ 到直线 $C F$ 的距离最大时，求 $∠ B C F$ 的度数；

(2)、连接 $D F$ ，若 $B, D, F$ 三点共线，且 $∠ D F C = 90^{\circ}$ ，求 $k^{2}$ 的值.

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14、如图，在平面内， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $A C = B C = 3 \sqrt{2}$ ， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，点 $D$ 为线段 $A B$ 上一个动点，以 $C D$ 为边作正方形 $C D E F$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 依次为顺时针方向.

(1)、求证： $A D = B F$ ；

(2)、当 $t a n ∠ B E F = \frac{3}{4}$ 时，求 $B F$ 的长；

(3)、在点 $D$ 从 $A$ 向 $B$ 运动的过程中，当 $B E = \sqrt{2}$ 时，求 $A D$ 的长.

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15、设 $< x >$ 为不小于 $x + 1$ 的最小整数，求满足 $3 x - 2 < x > + 1 = 0$ 的 $x$ 的值.

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16、解关于 $x$ 的不等式： $\frac{2 x - 1}{a} - \frac{x - 1}{a^{2}} < 2$ ( $a$ 为常数且 $a \neq 0$ ).

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17、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，正方形 $A B C D$ 的顶点 $A (t, 0), C (t - 2,0)$ ，直线 $y = x + 1$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $M, N$ . 若对于线段 $M N$ 上的任意一点 $P$ ，在正方形 $A B C D$ 的边上都存在点 $Q$ ，使得线段 $P Q$ 的长度不大于 1，则 $t$ 的取值范围是.

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18、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别在边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $A D$ 上，且 $A E = C G$ ， $B F = D H$ ， $A C与E H, F G$ 分别相交于点 $M, N$ . 若 $\frac{B E}{A E} = \frac{C F}{B F} = m$ ，则 $\frac{A M}{M N}$ 的值为. (用含 $m$ 的代数式表示)

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A$ 为二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2}$ 图象上一点， $B (0,6)$ ，若 $t a n ∠ O B A = \frac{1}{2}$ ，则点 $A$ 的模坐标为.

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20、某射击小组 20 人某次射击训练的成绩如图所示，则这次射击成绩的中位数是.

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